2019届河北省五个一名校联盟高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题（解析版）
2019届河北省五个一名校联盟高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合，，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】求出N中x的范围确定出N，找出与N的交集即可．
【详解】
由N中y，得到1﹣x≥0，即x≤1，
∴N＝{x|x≤1}，
∵M＝{x|﹣2≤x≤2}，∴
∴＝{x|x<-2}，
故选：C．
【点睛】
本题考查交集及补集运算，是基础题．
2．设（其中为虚数单位），则复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用复数的除法运算求解即可
【详解】
由题==
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的运算，是基础题.
3．经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1:3:6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为12人，则n=（ ）
A．30 B．40 C．60 D．80
【答案】B
【解析】根据条件的比例关系求解出老年人和青年人的人数 即可.
【详解】
由题设老年人和青年人人数分别为x,y,
由分层抽样得x:12:y=1:3:6,解得x=4,y=24, 则n=4+12+24=40
故选：B.
【点睛】
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件比例关系求解出老年人和青年人的人数是解决本题的关键．
4．“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解得方程表示焦点在轴上的双曲线的m的范围即可解答.
【详解】
表示焦点在轴上的双曲线⇔,解得1
<3, ∴, ∴
故选：A.
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，离心率范围，明确P在短轴端点处的面积最大是关键.
11．在平面四边形 中，AB=BC=2,AC=AD=2，现沿对角线AC折起,使得平面DAC平面ABC，则此时得到的三棱锥D-ABC外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由平面DAC平面ABC，知
【详解】
由题知又平面DAC平面ABC，∴ ∴O为外接球的球心，由余弦定理得 ∴2R==,R= 所以三棱锥D-ABC外接球的表面积为=
故选：B.
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球问题，是基础题，确定球心位置是关键.
12．已知函数,若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】画出f(x)的图像，令t=f（x）,讨论关于t的二次方程的情况，利用二次函数根的分布列出m的不等式即可.
【详解】
画出f(x)的图像如图所示：
令t=f（x）,则t的二次方程，设g(t)=
当方程的根一个在（0，1），另一个在满足题意,解m∈
当方程的根一个为t=1时，解得m=2 或-1，此时方程变为，或均不合题意舍去，综上m∈
故选：D.
【点睛】
本题考查函数与方程的根，二次函数根的分布，综合性强，是难题，注意外层函数t的二次函数研究要细致.
二、填空题
13．已知向量，则向量在上的投影为_____.
【答案】
【解析】求出
【详解】
，则向量在上的投影为
故答案为
【点睛】
本题考查向量数量积，投影，是基础题，准确运用投影公式是关键.
14．在平面直角坐标系中，若满足约束条件，则的最大值为____.
【答案】
【解析】画出可行域，化x+,平移即可求其最大值.
【详解】
由题画出不等式所表示的可行域，如图阴影所示：
化为x+
直线l:过A时，z取得最大值，联立方程组,解得A(2,1)，
此时z=
故答案为8.
【点睛】
本题考查线性规划问题，是基础题.
15．若过定点的直线与曲线相交不同两点,则直线的斜率的取值范是____.
【答案】
【解析】设直线l:y=kx-1,求导求最值即可.
【详解】
设直线l:y=kx-1,则kx-1=,令g(x)=lnx+,(x)=
x>2,(x)>0, g(x)单调递增；0
故答案为
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，是基础题.
16．在如图所示的四边形区域中，，，,现园林绿化师计划在区域外以为边增加景观区域,当时，景观区域面积的最大值为____.
【答案】
【解析】连接AC,得AD=
【详解】
连接AC,知为等腰三角形，且,AC=ab,即absin
故答案为
【点睛】
本题考查余弦定理，基本不等式求最值，是中档题.
三、解答题
17．已知正项数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【解析】【详解】
（1）∵数列是公差为的等差数列，
∴
∴又是与的等比中项，
，
∴解得舍掉）
故数列的通项公式为
，
【点睛】
本题考查求数列通项公式，数列求和，注意的提系数
18．进入
月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：
（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；
（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前名同学中，推荐人参加自主招生考试，若已知名同学中有名理科生，2名文科生，试求这2人中含文科生的概率.
【答案】(1) 平均值为 (2)
【解析】（1）利用频率分布直方图平均值公式求解即可；（2）由列举法，从6人中选出3人，所有的可能的结果共20种， 含有文科学生的有16种，求解即可.
【详解】
（1）依题意可知：
，
所以综合素质成绩的的平均值为.
（2）设这名同学分别为其中设为文科生，
从6人中选出3人，所有的可能的结果
共20种，
其中含有文科学生的有
16种
所以含文科生的概率为.
【点睛】
本题考查频率分布直方图平均值，古典概型，是基础题，注意运算平均值要准确.
19．如图，在三棱锥中，面，∠BAC=，且=1，过点作平面，分别交于点.
（1）若求证：为的中点；
（2）在（1）的条件下，求点到平面的距离．
【答案】(1)见证明(2)
【解析】（1）取中点，连接,证明面，进而，；（2）利用等体积转化即可.
【详解】
（1）取中点，连接
∵∴，
∵ 面，
∴，又
为的中点，为的中点
（2）设点到平面的距离为，
∵为的中点，
又，，∴，
∵ ∴
又，，AM=，
可得边上的高为，
∴
由
∴h=
【点睛】
本题考查线面垂直的判定，点到面的距离，是中档题，熟练运用定理性质,及求是关键.
20．已知动圆过定点,且在轴上截得的弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）直线过曲线的焦点，与曲线交于、两点，且,都垂直于直线，垂足分别为，直线与轴的交点为,求证为定值.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】（1）设动圆圆心坐标为C(x,y)，由题意得
，能求出曲线方程；（2）设代入
【详解】
（Ⅰ）设动圆圆心坐标为C(x,y)，根据题意得
，
化简得
（Ⅱ）设，,由题意知的斜率一定存在设，
则，得所以，，
，
又
=
【点睛】
本题考查轨迹方程，直线与抛物线位置关系，面积公式及定值问题，是综合题，要注意
21．已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）令，若对任意的，恒有成立，求实数的最大整数.
【答案】（1）见解析（2）7
【解析】（1）（2）由
成立转化为，分离k,构造函数求最值即可.
【详解】
（1）此函数的定义域为，
（1）当时， 在上单调递增，
（2）当时， 单调递减， 单调增
综上所述：当时，在上单调递增
当时， 单调递减， 单调递增.
（2）由（Ⅰ）知
恒成立，则只需恒成立，
则
，
令则只需
则 单调递减，
单调递增，
即的最大整数为
【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性，求最值，考查双变元恒成立问题，综合性强,第二问转化为是关键.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
(1)写出直线L的参数方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，且弦的中点为求的值.
【答案】(1) (2)2+2
【解析】(1)利用直线参数方程公式，及极坐标与直角坐标互化即可求解；（2）将直线参数方程公式代入圆的普通方程，利用韦达定理及中点参数
【详解】
(1)直线的参数方程为：为参数），
曲线的直角坐标方程为：
（2）直线的参数方程代入得：
【点睛】
本题考查直线参数方程，极坐标与直角坐标互化，直线与圆的位置关系，是基础题，注意弦中点参数t=
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数
(1)解关于的不等式
(2) 若, 的解集非空，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：第一步根据解含绝对值不等式，化为两个一元二次不等式分别解出，找出不等式的解集，第二步写出关于的不等式，得到不等式等价于的解集非空，根据“极值原理”，只需大于的最小值，根据绝对值三角不等式求出最值，得到的取值范围.
试题解析：
（1）原不等式可化为：
即：或
由得或
由得或
综上原不等式的解为或
（2）原不等式等价于的解集非空，
令，即，
由，所以，
所以.
【点睛】解含有绝对值的不等式有三种方法，第一种只含有一个绝对值符号，一般使用公式：，；第二种不等式两边均有一个绝对值符号的，可采用两边平方；第三种含有两个绝对值符号的一般采用零点分区间讨论，利用定义讨论去掉绝对值符号是一种解决绝对值问题的通法，必须灵活会用，分离参数，利用“极值原理”求参数的取值范围是常见题型常用方法.
