四川省乐山市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

四川省乐山市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

乐山市2018-2019学年高二下学期期末教学质量检测 数学（理科）试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（　　）‎ A. 随机抽样 B. 分层抽样 C. 系统抽样 D. 以上都是 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，其它依次加5，得到样本编号.‎ ‎【详解】对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，‎ 从第二组开始依次加5，得到样本编号为：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，属于系统抽样.‎ ‎【点睛】本题考查系统抽样的概念，考查对概念的理解.‎ ‎2.在复平面内，复数，对应的点分别为，若为线段的中点，则点对应的复数是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用中点坐标公式，求得点的中点，再由复平面内点与复数的对应关系，得到点C对应的复数.‎ ‎【详解】由题意得：，由中点坐标公式得：点，其对应的复数.‎ ‎【点睛】本题考查复平面内点与复数的对应关系，考查对复数相关概念的理解.‎ ‎3.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（　　）‎ A. 18 B. 24 C. 30 D. 36‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于选出的3名学生男女生都有，所以可分成两类，一类是1男2女，一类是2男1女.‎ ‎【详解】由于选出的3名学生男女生都有，所以可分成两类：‎ ‎（1）3人中是1男2女，共有；‎ ‎（2）3人中2男1女，共有；‎ 所以男女生都有的选法种数是.‎ ‎【点睛】本题考查分类与分步计算原理，考查分类讨论思想及简单的计算问题.‎ ‎4.设为虚数单位，则的展开式中含的项为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项展开式，当时，对应项即为含的项.‎ ‎【详解】因为，‎ 当时，.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理中的通项公式，求解时注意，防止出现符号错误.‎ ‎5.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B。‎ 考点：概率问题 ‎6.曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）‎ A. B. C. 和 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，令，故或，经检验可得点的坐标.‎ ‎【详解】因，令，故或，所以或，经检验，点，均不在直线上，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．‎ ‎7.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的x的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图，当输入的数为，则输出的数为，令可得输入的数为.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，解得：.‎ ‎【点睛】本题考查直到型循环，要注意程序框图中循环体执行的次数，否则易选成错误答案.‎ ‎8.已知的分布列为 ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ 设，则的值为（　　）‎ A. 4 B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由的分布列，求出，再由，求得.‎ ‎【详解】，‎ 因为，所以.‎ ‎【点睛】本题考查随机变量的期望计算，对于两个随机变量，具有线性关系，直接利用公式能使运算更简洁.‎ ‎9.在区间上任取两个实数a，b，则函数无零点的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在区间上任取两个实数a，b，其对应的数对构成的区域为正方形，所求事件构成的区域为梯形区域，利用面积比求得概率.‎ ‎【详解】因为函数无零点，所以，‎ 因为，所以，‎ 则事件函数无零点构成的区域为梯形，‎ 在区间上任取两个实数a，b所对应的点构成的区域为正方形，‎ 所以函数无零点的概率.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型计算概率，考查利用面积比求概率，注意所有基本事件构成的区域和事件所含基本事件构成的区域.‎ ‎10.根据如下样本数据得到的回归方程为，则 ‎ ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎7 ‎ ‎8 ‎ ‎ ‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由表格数据的变化情况可知回归直线斜率为负数，中心点为，代入回归方程可知 考点：回归方程 ‎11.若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数在区间上单调递减，得到不等式在恒成立，再根据二次函数根的分布，求实数t的取值范围.‎ ‎【详解】因为函数在区间上单调递减，‎ 所以在恒成立，‎ 所以即解得：.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求解时要充分利用二次函数的图象特征，把恒成立问题转化成只要研究两个端点的函数值正负问题.‎ ‎12.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 )‎ A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，‎ 令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，‎ 函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，‎ 等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，‎ 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）‎ 当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，‎ 由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．‎ 则实数a的取值范围是（0，）．‎ 故选B．‎ 二、填空题。‎ ‎13.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 总体含100个个体，从中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为.‎ ‎【详解】因为总体含100个个体，‎ 所以从中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查简单随机抽样的概念，即若总体有个个体，从中抽取个个体做为样本，则每个个体被抽到的概率均为.‎ ‎14.已知复数z满足，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出复数，代入模的计算公式得.‎ ‎【详解】由，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算及模的计算，属于基础题.‎ ‎15.如图，正方体的棱长为1，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】则,因为平面，‎ 所以所在位置均使该三棱锥的高为；而不论在上的那一个位置，‎ 均为，所以 ‎【考点定位】本题考查空间几何体的体积运算方法，依据空间线面关系推证，进行等积转换是常考点.这里转换底面极为重要，由于两个动点的出现，加大了定值识别的难度.‎ ‎16.若曲线与曲线在上存在公共点，则的取值范围为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，函数与函数在上有公共点，令得：‎ 设则 由得：‎ 当时，，函数在区间上是减函数，‎ 当时，，函数在区间上是增函数，‎ 所以当时，函数在上有最小值 所以．‎ 考点：求参数取值范围．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 ‎17.已知函数 ‎（1）若函数的导函数为偶函数，求的值；‎ ‎（2）若曲线存在两条垂直于轴的切线，求的取值范围 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，由于二次函数为偶函数，所以一次项系数为，进而求得a的值；‎ ‎（2）由题意得存在两个不同的根，转化成二次函数的判别式大于.‎ ‎【详解】（1）∵，‎ 由题因为为偶函数，∴，即 ‎（2）∵曲线存在两条垂直于轴切线，‎ ‎∴关于的方程有两个不相等的实数根，‎ ‎∴，即，∴.‎ ‎∴a的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查三次函数的导数、二次函数的奇偶性、二次函数根的分布问题，考查逻辑推理和运算求解能力，求解时要懂得把曲线存在两条垂直于轴的切线转化成方程有两根.‎ ‎18.为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩进行分析．下面是该生7次考试的成绩．‎ 数学 ‎88‎ ‎83‎ ‎117‎ ‎92‎ ‎108‎ ‎100‎ ‎112‎ 物理 ‎94‎ ‎91‎ ‎108‎ ‎96‎ ‎104‎ ‎101‎ ‎106‎ ‎（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；‎ ‎（2）已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．‎ 参考公式：方差公式：，其中为样本平均数.，。‎ ‎【答案】（1）物理成绩更稳定.证明见解析；（2）130分，建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别算出物理成绩和数学成绩的方差；‎ ‎（2）利用最小二乘法，求出关于的回归方程，再用代入回归方程，求得 ‎.‎ ‎【详解】（1），，‎ ‎∴，∴，从而，‎ ‎∴物理成绩更稳定.‎ ‎（2）由于与之间具有线性相关关系，‎ 根据回归系数公式得到，，‎ ‎∴线性回归方程为，‎ 当时，.‎ 建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高 ‎【点睛】本题考查统计中的方差、回归直线方程等知识，考查基本的数据处理能力，要求计算要细心，防止计算出错.‎ ‎19.已知函数，‎ ‎（1）求在区间上的极小值和极大值；‎ ‎（2）求在（为自然对数的底数）上的最大值．‎ ‎【答案】（1）极小值为，极大值为.（2）答案不唯一，具体见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对三次函数进行求导，解导数不等式，画出表格，从而得到极值；‎ ‎（2）由（1）知函数的性质，再对进行分类讨论，求在的性质，比较两段的最大值，进而得到函数的最大值.‎ ‎【详解】（1）当时，，令，解得或.当x变化时，，的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 递减 极小值 递增 极大值 递减 故当时，函数取得极小值为，‎ 当时，函数取值极大值为.‎ ‎（2）①当时，由（1）知，‎ 函数在和上单调递减，在上单调递增.‎ 因为，，，‎ 所以在上的值大值为2.‎ ‎②当时，，‎ 当时，；‎ 当时，在上单调递增，则在上的最大值为.‎ 故当时，在上最大值为；‎ 当时，在上的最大值为2.‎ ‎【点睛】本题三次函数、对数函数为背景，考查利用导数求三次函数极值，考查分类讨论思想的应用.‎ ‎20.如图，在矩形中，，，是的中点，以为折痕将向上折起，变为，且平面平面．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）90°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用垂直于所在的平面，从而证得；‎ ‎（2）找到三条两两互相垂直的直线，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，再分别求出两个面的法向量，，最后求法向量的夹角的余弦值，进而得到二面角的大小.‎ ‎【详解】（1）证明：∵，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴.‎ ‎（2）如图建立空间直角坐标系，‎ 则、、、、，‎ 从而，，.‎ 设为平面的法向量，‎ 则令，所以，‎ 设为平面的法向量，‎ 则，令，所以，‎ 因此，，有，‎ 即，故二面角的大小为.‎ ‎【点睛】证明线线垂直的一般思路：证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，所以根据题目所给的图形，观察并确定哪一条线垂直于哪一条线所在的平面，是证明的关键.‎ ‎21.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为，其范围为，分为五个级别，畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵.早高峰时段（），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图.‎ ‎（1）这50个路段为中度拥堵的有多少个？‎ ‎（2）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？‎ ‎（3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟，中度拥堵为42分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望.‎ ‎【答案】（1）18（2）3996‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）频率直方图中小矩形的面积等于该段的概率，由此可以得出中度拥堵的概率，继而得出这50个路段中中度拥挤的有多少个；‎ 记事件为一个路段严重拥堵，其概率，则，‎ 所以三个路段至少有一个严重拥堵的概率为；‎ ‎（3）根据频率分布直方图列出分布列，即可求得数学期望. ‎ 试题解析：‎ ‎（1），这50路段为中度拥堵的有18个.‎ ‎（2）设事件“一个路段严重拥堵”，则，‎ 事件三个都未出现路段严重拥堵，则 所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是.‎ ‎（3）由频率分布直方图可得：分布列如下表：‎ ‎30‎ ‎36‎ ‎42‎ ‎60‎ ‎0.1‎ ‎0.44‎ ‎0.36‎ ‎0.1‎ ‎.‎ 此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟.‎ ‎22.已知函数（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，恒成立，求整数的最大值.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) 的最大值为1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据的不同范围，判断导函数的符号，从而得到的单调性；（2）方法一：构造新函数，通过讨论的范围，判断单调性，从而确定结果；方法二：利用分离变量法，把问题变为，求解函数最小值得到结果.‎ ‎【详解】（1） ‎ 当时， 在上递增；‎ 当时，令，解得：‎ 在上递减，在上递增；‎ 当时， 在上递减 ‎（2）由题意得：‎ 即对于恒成立 方法一、令，则 当时， 在上递增，且，符合题意；‎ 当时， 时，单调递增 则存在，使得，且在上递减，在上递增 ‎ ‎ ‎ 由得：‎ 又 整数的最大值为 另一方面，时，，‎ ‎，‎ 时成立 方法二、原不等式等价于：恒成立 令 ‎ 令，则 在上递增，又，‎ 存在，使得 且在上递减，在上递增 又，‎ ‎ ‎ 又，整数的最大值为 ‎【点睛】本题主要考查导数在函数单调性中的应用，以及导数当中的恒成立问题.处理恒成立问题一方面可以构造新函数，通过研究新函数的单调性，求解出范围；另一方面也可以采用分离变量的方式，得到参数与新函数的大小关系，最终确定结果.‎ ‎ ‎