【数学】江西省赣州市石城中学2019-2020学年高一上学期期中考试试题（解析版）

【数学】江西省赣州市石城中学2019-2020学年高一上学期期中考试试题（解析版）

www.ks5u.com 江西省赣州市石城中学2019-2020学年 高一上学期期中考试试题 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意的）‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C．‎ ‎2.在映射中，，且，则元素在作用下的原像是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，解得 在作用下的原像是 故答案选A.‎ ‎3.下列函数中哪个与函数是相同函数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于A，的定义域为，与 的定义域R不相同，故不是同一函数；对于 B，的定义域为，与 的定义域R不相同，故不是同一函数；对于C， 的对应法则与的对应法则不同，故不是同一函数；对于D.,与定义域及对应法则相同，故是同一个函数.故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域，解析式，属于中档题.‎ ‎4.若函数，则等于（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，函数，令，则．‎ 故选：B．‎ ‎5.函数的定义域，则实数的值为（ ）‎ A. B. 3 C. 9 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，函数有意义，满足，‎ 又由函数的定义域为，所以，解得．‎ 故选：B．‎ ‎6.设， ，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，根据指数函数的性质，可得，即，‎ 根据对数函数的性质，可得，即，‎ ‎，即，所以．故选：A．‎ ‎7.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，函数定义域为，‎ 且，即为奇函数，排除，，当时，，，即时，，可排除D，故选C.‎ ‎8.已知函数且在上单调递减，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，‎ 函数且在上单调递减，‎ 则满足，解得，即实数的取值范围为．‎ 故选：A．‎ ‎9.若函数为奇函数且在上为减函数，又，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，函数奇函数且在上为减函数，且，‎ 可得为奇函数且在上为减函数，又，‎ 当时，则满足，即，即，解得，‎ 当时，则满足，即，即，解得，‎ 综上可得不等式的解集为．‎ 故选：C．‎ ‎10.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，函数的定义域为，‎ 即在上恒成立，‎ 由，解得，‎ 当时，不等式可化为在恒成立；‎ 当时，不等式可化为，解得，不符合题意，舍去；‎ 当时，即时，则满足， ‎ 即，解得或，‎ 综上可得，实数的取值范围是．‎ 故选：D．‎ ‎11.对于任意两个正整数 ，定义某种运算，法则如下：当都是正奇数时， ‎ ‎ ；当不全为正奇数时， ，则在此定义下，集合 的真子集的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，当 都是正奇数时， ；‎ 当不全为正奇数时， ； 若 都是正奇数，则由 ，可得 ，‎ 此时符合条件的数对为（ 满足条件的共8个； 若不全为正奇数时， ，由 ，可得 ，则符合条件的数对分别为 共5个； 故集合 中的元素个数是13， 所以集合的真子集的个数是 故选C．‎ ‎12.已知是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有 ‎，记，,则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，不妨设，则，‎ 因为，即，‎ 所以，即，‎ 设，所以函数在为单调递减函数，‎ 又由是定义在R上的奇函数，则，‎ 所以函数是定义域上的偶函数，‎ 可得，,，‎ 又由，所以，即．‎ 故选：A．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.幂函数在区间上是增函数，则_______.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】由题意，幂函数，则，解得或，‎ 当时，函数，由幂函数的性质可得函数在区间上是增函数；‎ 当时，函数，此时函数在区间上不单调函数，不符合题意，（舍去），‎ 综上可得，．‎ 故答案为：．‎ ‎14.若集合A={x|ax2+ax+1=0，x∈R}不含有任何元素，则实数a的取值范围是_____．‎ ‎【答案】0≤a＜4‎ ‎【解析】当时,原方程可化为，显然无解，当时，一元二次方程 无解则需，即，解得，综上.‎ ‎15.若只有一个实数解，则实数的取值范围_____.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】作出函数的图象，如图所示，‎ 结合图象可得，方程只有一个实数解，‎ 即函数与的图象只有一个交点，则满足或．‎ 故答案为：或．‎ ‎16.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ‎______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，函数在区间上单调递增，‎ 设，根据复合函数的单调性的判定方法，‎ 可得函数在区间上单调递减，且在区间上恒成立，‎ 所以，解得，即实数的取值范围为．‎ 故答案为：．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共70分17题10分，其他12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（1）计算：；‎ ‎（2）计算：.‎ ‎【解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算，可得 ‎； ‎ ‎（2）由题意，根据对数的运算公式，可得 ‎ ‎ ‎.‎ ‎18.已知集合 ‎（1）若，求 ；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【解】（1）由题意，当时，集合，‎ 则 或 所以 或 ； ‎ ‎（2）由，可得，‎ ‎①当时，即，解得，符合题意；‎ ‎②当时，则满足，解得．‎ 综上所述，实数的取值范围.‎ ‎19.已知．‎ ‎（1）当，时，求函数的值域；‎ ‎（2）若函数在区间内有最大值-5，求的值．‎ ‎【解】（1）当时，的对称轴，开口向下，‎ 时，函数单调递减，‎ 当时，函数有最大值，‎ 当时，函数有最小值，‎ 故函数的值域；‎ ‎（2）∵的开口向下，对称轴，‎ ‎①当，即时，在上单调递增，函数取最大值．‎ 令，得，（舍去）．‎ ‎②当，即时，时， 取最大值为，‎ 令，得．‎ ‎③当，即时，在内递减，‎ ‎∴时， 取最大值为，‎ 令，得，解得，或，其中．‎ 综上所述，或 ‎20.旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元.旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅游团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有60人.设旅行团的人数为人，飞机票价格为元，旅行社的利润为元.‎ ‎（1）写出飞机票价格元与旅行团人数之间的函数关系式；‎ ‎（2）当旅游团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润.‎ ‎【解】（1）依题意得，‎ ‎（2）设利润为，则 ‎ 当且时，‎ 当且时，‎ ‎∴或58时，可获最大利润为18060元.‎ ‎21.定义在上的奇函数，已知当时，．‎ ‎（1）求在上的解析式；‎ ‎（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解】（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，‎ 所以，解得，‎ 又由当时，，‎ 当时，则，可得，‎ 又是奇函数，所以，‎ 所以当时，． ‎ ‎（2）因为，恒成立，‎ 即在恒成立，可得在时恒成立，‎ 因为，所以，‎ 设函数，根据基本初等函数的性质，可得函数在上单调递减，‎ 因为时，所以函数的最大值为，‎ 所以，即实数的取值范围是．‎ ‎22.已知函数，对任意a，恒有，且当时，有．‎ Ⅰ求；‎ Ⅱ求证：在R上为增函数；‎ Ⅲ若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【解】Ⅰ根据题意，在中，‎ 令，则，则有；‎ Ⅱ证明：任取，，且设，则，，‎ 又由，‎ 则，‎ 则有，故在R上为增函数．‎ Ⅲ根据题意，，‎ 即，则，‎ 又由，则，‎ 又由在R上为增函数，则，‎ 令，，则，‎ 则原问题转化为在上恒成立，‎ 即对任意恒成立，‎ 令，只需，‎ 而，，‎ 当时，，则．‎ 故t的取值范围是．‎