2018-2019学年天津市六校（静海一中、宝坻一中、杨村一中等）高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年天津市六校（静海一中、宝坻一中、杨村一中等）高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年天津市六校（静海一中、宝坻一中、杨村一中等）高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．集合，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先化简集合M、N，再利用交集定义直接求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵集合＝{1，2，3}，‎ N＝{x|8}＝{x|﹣1＜x＜3}，‎ ‎∴M∩N＝{1，2}．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集的定义及运算，考查不等式的解法，涉及绝对值不等式、指数函数单调性的应用，注意条件是基础题．‎ ‎2．函数在区间内有零点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，只需求f（1）、f（2）、f（3），再根据函数在一个区间两个端点的函数值符号相反则确定函数存在零点，进行判断．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）＝x24，函数在区间上为连续函数，‎ 由f（1）＝1﹣1﹣4＝﹣4＜0，f（2）＝440，f（3）＝940，‎ 由零点存在定理知，在区间（2，3）上f（x）必有零点，‎ ‎∴k＝2，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数零点的概念、函数零点的判定定理及应用，本题的解题关键是检验函数值的符号，属于容易题．‎ ‎3．设，向量，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据平面向量垂直与共线定理，列出方程组求出x、y的值，即可求得结果．‎ ‎【详解】‎ x，y∈R，向量，，，‎ 且，，‎ ‎∴，‎ 解得x＝1，y＝﹣2；‎ ‎∴（1，1），（2，﹣2）；‎ ‎∴（3，﹣1），‎ ‎.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的坐标运算，正确将向量垂直与共线关系用坐标表示是关键，是基础题．‎ ‎4．若函数在区间上单调递减，且，.则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合＜0，＞1得答案．‎ ‎【详解】‎ 由5+4x﹣x2＞0，可得﹣1＜x＜5，‎ 函数t＝5+4x﹣x2的增区间为（﹣1，2），‎ 要使在区间（a﹣1，a+1）上单调递减，‎ 则，即0≤a≤1．‎ 而b＝＜0，c＝＞1，‎ ‎∴b＜a＜c．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复合函数的单调性以及应用．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，涉及指数函数单调性的应用，是中档题．‎ ‎5．设函数 且是上的减函数，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，利用分段函数的单调性的性质，可得，由此求得a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数（a＞0且a≠1）是R上的减函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴a＜1，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数单调性的应用，分段函数单调递减：一要注意保证每一段单减，二要注意分段处函数值的大小，属于基础题．‎ ‎6．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，若在 内单调递减，则下面结论正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可判断函数f（x）的周期为6，对称轴为x＝3，所以有f（12.5）＝f（0.5），f（-4.5）＝f（1.5），f（3.5）＝f（2.5），因为0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且函数在（0，3）内单调递减，从而判断大小 ‎【详解】‎ ‎∵函数满足，∴=，‎ ‎∴f（x）在R上是以6为周期的函数，∴f（12.5）＝f（12+0.5）＝f（0.5），‎ 又为偶函数，∴f（x）的对称轴为x＝3，∴f（3.5）＝f（2.5），‎ 又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，‎ 且在（0，3）内单调递减，∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）‎ 即f（3.5）＜f（-4.5）＜f（12.5）‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数周期性与对称性的推导，考查了周期与单调性的综合运用，利用周期与对称把所要比较的变量转化到同一单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，是解决此类问题的常用方法，属于中档题．‎ ‎7．函数（其中，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】B ‎【解析】利用函数的图象求出A，T，求出ω，利用函数的图象经过的特殊点，结合的范围，求出，得到函数的解析式，然后利用诱导公式将解析式换为余弦名称，即可得到平移的单位与方向．‎ ‎【详解】‎ 由图象可知，从而，‎ 将代入到f（x）＝sin（2x+）中得，，‎ 根据||得到，所以函数f（x）的解析式为．‎ 又由诱导公式=cos]=cos（2x-）=cos2(x-)‎ ‎∴只需将g（x）＝cos2x的图象向右平移个单位即可得到f（x）的图象．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了由y＝Asin（ωx+）的部分图象确定其解析式及函数的图象变换，利用诱导公式进行正弦变余弦是解题的关键，属于中档题．‎ ‎8．已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用三角恒等变换化f（x）为正弦型函数，由此求出A、T以及|x1﹣x2|的最小值，从而可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ sin2018xcos2018xcos2018xsin2018x，‎ ‎（cos2018xsin2018x）‎ ‎＝3sin（2018x），‎ ‎∴A＝f（x）max＝3，周期T，‎ 又存在实数x1，x2，对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，‎ ‎∴f（x2）＝f（x）max＝3，f（x1）＝f（x）min＝﹣3，‎ ‎|x1﹣x2|的最小值为T，又A＝3，‎ ‎∴A|x1﹣x2|的最小值为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，是中档题．‎ 二、填空题 ‎9．已知，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式直接化简表达式，求出cosα﹣sinα的值，然后化简，求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由，可得cosα﹣sinα，平方得1﹣sin2α，‎ ‎∴2sinαcosα，‎ ‎∴sinαcosα，‎ 又．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题是基础题，考查运用二倍角公式及两角和的正弦公式进行化简求值问题，熟练运用公式是关键，考查计算能力．‎ ‎10．如图，在矩形中，已知，且，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，代入数量积公式计算．‎ ‎【详解】‎ 以AB为x轴，以AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（6，0），E（6，2），F（2，4）．‎ ‎∴（6，2），（﹣4，4）．∴•24+8＝﹣16．‎ 故答案为﹣16．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可简化数量积运算，是基础题．‎ ‎11．在中，若，且，则的形状为__________三角形.‎ ‎【答案】等腰 ‎【解析】由，推导出C＝120°，由，推导出B＝30°，从而得到△ABC为等腰三角形．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ 即tanA+tanB（1﹣tanAtanB），‎ ‎∴tan（A+B），又A与B都为三角形的内角，‎ ‎∴A+B＝60°，即C＝120°，‎ ‎∵sinBcosB，‎ ‎∴，又C＝120°∴2B＝60°，∴B＝30°，∴A＝30°，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形．‎ 故答案为等腰三角形．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数和二倍角公式的合理运用．‎ ‎12．已知函数，则________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】f（2）＝tan，f（﹣6）＝f（﹣8+2）＝，分别求出即得答案．‎ ‎【详解】‎ 由表达式知，f（2）＝tan1，f（﹣6）＝f（﹣8+2）＝，故f（2）•f（﹣6）＝1×3＝3，‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数值的求解，注意将点代入相应的解析式，属于基础题．‎ ‎13．设函数是定义在的偶函数，在区间是减函数，且图象过点原点，则不等式的解集为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意和偶函数的性质判断出函数f（x）的对称性，结合条件画出f（x）的图象，根据函数的单调性和图象，求出不等式（x﹣1）f（x）<0的解集．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数y＝f（x+1）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，‎ ‎∴f（x+1）＝f（﹣x+1），则f（x）的图象关于直线x＝1对称，‎ ‎∵函数f（x）在（﹣∞，1）上是减函数，‎ ‎∴在（1，+∞）上是增函数，‎ 又f（0）＝0，∴的大致图像如图所示：‎ ‎∴当x＞1时，f（x）<0＝f（2），解得1＜x<2‎ 当x＜1时，f（x）>0＝f（0），得x＜0，即x＜0，‎ 综上，不等式（x﹣1）f（x）＜0的解集是（﹣∞，0）∪(1，2)，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性、奇偶性、对称性的应用，函数图象的平移，以及根据函数的单调性把不等式转化为自变量不等式，考查转化思想、数形结合思想、分类讨论思想，属于中档题．‎ ‎14．给出下列说法，正确的有__________. ‎ ‎①与共线单位向量的坐标是； ‎ ‎②集合与集合是相等集合；‎ ‎③函数的图象与的图象恰有3个公共点； ‎ ‎④函数的图象是由函数的图象水平向右平移一个单位后，将所得图象在轴右侧部分沿轴翻折到轴左侧替代轴左侧部分图象，并保留右侧部分而得到.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】与（﹣3，4）共线的单位向量有两个，判定命题①是错误的；‎ 分析出A、B两个集合均表示奇数集，可判断②；‎ 分别画出函数的图象与y＝|x2﹣1|的图象，即可判断③；‎ 运用函数图象平移变换和对称变换，即可判断④．‎ ‎【详解】‎ 对于①，与（﹣3，4）共线的单位向量是（，）和（，），‎ ‎∴命题①错误；‎ ‎②集合与集合均表示奇数集，是相等集合，故②正确；‎ ‎③分别画出函数的图象与y＝|x2﹣1|的图象，‎ 可得x＞1和x＜﹣1时，各有一个交点；‎ 当﹣1＜x＜1时，y＝1﹣x2和y＝1+0.1x，联立可得x2+0.1x＝0，‎ 即x＝0或x＝﹣0.1，则有两个交点；‎ 函数的图象与y＝|x2﹣1|的图象共有4个公共点，故③错误；‎ ‎④函数f（|x|﹣1）的图象是由函数f（x）的图象水平向右平移一个单位得到f（x-1）后，‎ 再将所得图象在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧部分图象，‎ 并保留右侧部分而得到，故④正确；‎ 综上可得①③错误；②④正确．‎ 故答案为：②④．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的含义、平面向量的基本概念，考查函数图象的交点和图像变换，考查数形结合思想方法，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎15．设全集为，集合,.‎ ‎（1）；‎ ‎（2）已知，若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】（1）可解出A＝{x|x≤﹣3，或x≥6}，，然后进行交集、补集的运算即可；‎ ‎（2）根据C⊆B可讨论C是否为空集：C＝∅时，2a≥a+1；C≠∅时，，从而可求出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题或，‎ ‎ ，‎ ‎ 或，‎ ‎∴或.‎ ‎（2）∵,‎ ‎①若时，，即满足题意.‎ ‎②若时，，即.‎ 若，则 ，即，‎ 又∵，∴，‎ 综上所述，即可.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集、补集的运算，集合的化简，涉及一元二次不等式和绝对值不等式的解法，当涉及子集的问题时，要注意空集，属于中档题．‎ ‎16．已知函数.‎ ‎（1）求的定义域与最小正周期；‎ ‎（2）当时，求值域.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据函数有意义，，可得定义域，利用三角函数有关系公式将函数化为y＝Asin（ωx+）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期；‎ ‎（2）根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调区间，根据单调性计算最值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得的定义域为.‎ ‎，‎ 所以的最小正周期 ‎ ‎（2）由，‎ 得，‎ 又∵，∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴在x=处取最大，，‎ 又，，∴在x=处取最小，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角基本关系式及二倍角公式的应用，考查了三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．‎ ‎17．已知.‎ ‎（1）求的单增区间和对称轴方程；‎ ‎（2）若，，求.‎ ‎【答案】（1）对称轴方程：，单增区间：；（2）.‎ ‎【解析】先对函数f（x）化简，将其整理成 ‎（1）由正弦函数的性质，令，解出x 的取值范围即得到函数的递增区间；令,，求得对称轴方程；‎ ‎（2）由可得，结合x的范围，得到，由二倍角公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎，若单增，则单减，‎ ‎∴令，得到，‎ ‎∴单增区间，‎ 令,‎ 对称轴方程.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，∴，‎ 又∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数中的恒等变换应用，解题的关键是熟练掌握二倍角公式及诱导公式，利用角的范围结合正弦函数的性质对余弦的正负进行取舍是关键，属于中档题.‎ ‎18．已知函数的定义域为，且对任意的有. 当时，，.‎ ‎（1）求并证明的奇偶性；‎ ‎（2）判断的单调性并证明；‎ ‎（3）求；若对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）0,证明见解析，为奇函数；（2）单调递增，证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】（1）令x＝y＝0，求解f（0）＝0．根据判奇偶即可.‎ ‎（2）f（x）在R上是增函数，任取x1，x2∈R，且x1>x2，则x1﹣x2＞0，可证得，即有f（x1）>f（x2），得到结果；‎ ‎（3）通过f（3）＝f（2）+f（1）求解即可．由f（4x﹣a）+f（6+2x+1）＞6转化为f（4x﹣a+6+2x+1）＞f（3）恒成立．利用函数的单调性，构造函数，转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），∴，‎ 又因为的定义域为R关于原点对称 ‎，∴，‎ 所以为奇函数.‎ ‎（2）则 ‎，‎ 因为，‎ 所以，单调递增.‎ ‎（3）∵，‎ 若，‎ ‎∴f（），由（2）知单调递增，‎ ‎∴，‎ 所以，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的恒成立的应用，涉及抽象函数求值和奇偶性、单调性的证明及应用，利用赋值法是关键，属于中档题．‎ ‎19．已知，函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的方程的解集中恰有两个元素，求的取值范围；‎ ‎（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）当a＝1时，利用对数函数的单调性，直接解不等式f（x）1即可；‎ ‎（2）化简关于x的方程f（x）+2x＝0，通过分离变量推出a的表达式，通过解集中恰有两个元素，利用二次函数的性质，即可求a的取值范围；‎ ‎（3）在R上单调递减利用复合函数的单调性，求解函数的最值，∴令，化简不等式，转化为求解不等式的最大值，然后求得a的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ ‎（2）方程，‎ 即为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 令，则，‎ 由题意得方程在上只有两解，‎ 令, ,‎ 结合图象可得，当时，直线和函数的图象只有两个公共点，‎ 即方程只有两个解．‎ ‎∴实数的范围. ‎ ‎（3）∵函数在上单调递减，‎ ‎∴函数在定义域内单调递减，‎ ‎∴函数在区间上的最大值为，‎ 最小值为，‎ ‎∴，‎ 由题意得，‎ ‎∴恒成立，‎ 令，‎ ‎∴对，恒成立，‎ ‎∵在上单调递增，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的综合应用，复合函数的单调性以及指对复合型函数的最值的求法，利用换元法将指对复合型函数转化为二次函数求最值是关键，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题．‎