2018届高三数学一轮复习： 第10章 第3节 二项式定理

2018届高三数学一轮复习： 第10章 第3节 二项式定理

第三节　二项式定理 ‎ [考纲传真]　会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．‎ ‎1．二项式定理 ‎(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；‎ ‎(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；‎ ‎(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.‎ ‎2．二项式系数的性质 ‎3.各二项式系数和 ‎(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.‎ ‎(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　　)‎ ‎(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)‎ ‎(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　)‎ ‎(4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(　　)‎ ‎[解析]　(1)错误．应为第k＋1项．‎ ‎(2)错误．当n为偶数时，为中间一项；n为奇数时，为中间的两项．‎ ‎(3)正确．二项式系数只与n和项数有关．‎ ‎(4)错误．令x＝1，可得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n＝(　　)‎ A．7　　　 B.‎6　‎　‎ C.5　　　 D.4‎ B　[(x＋1)n＝(1＋x)n＝1＋C＋Cx2＋…＋Cxn.依题意，得C＝15，解得n＝6(n＝－5舍去)．]‎ ‎3．在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　)‎ A．－7 B.7‎ C.－28 D.28‎ B　[由题意知＋1＝5，解得n＝8，8的展开式的通项Tk＋1＝C8－kk ‎＝(－1)k2k－8Cx8－k.‎ 令8－＝0得k＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C＝7.]‎ ‎4．(2016·北京高考)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________．(用数字作答)‎ ‎60　[依二项式定理，含x2的项为展开式的第3项．‎ ‎∴展开式中T3＝C(－2x)2＝60x2，则x2的系数为60.]‎ ‎5．(2017·济南模拟)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________.‎ ‎－1　[(1＋x)5＝1＋Cx＋Cx2＋Cx3＋Cx4＋Cx5.‎ ‎∴(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的项为(C＋Ca)x2，‎ 依题意得10＋5a＝5，解得a＝－1.]‎ 通项公式及其应用 ‎　(1)(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)‎ A．10　　　 B.‎20　‎　‎ C.30　　　 D.60‎ ‎(2)(2016·山东高考)若5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.‎ ‎(1)C　(2)－2　[(1)法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，‎ 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.‎ 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.‎ 所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.‎ 法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.‎ ‎(2)Tr＋1＝C·(ax2)5－rr＝C·a5－rx10－r.令10－r＝5，解得r＝2.又展开式中x5的系数为－80，则有C·a3＝－80，解得a＝－2.]‎ ‎[规律方法]　1.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．‎ ‎2．求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2017·东北四校联考)若n 的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值等于(　　)‎ A．3 B.4‎ C.5 D.6‎ ‎(2)(2016·全国卷Ⅰ)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)‎ ‎(1)C　(2)10　[(1)二项展开式的通项 若Tr＋1是常数项，则6n－＝0，即n＝r.‎ 又n∈N*，故n的最小值为5.‎ ‎(2)(2x＋)5展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－r·C·‎ 令5－＝3，得r＝4.‎ 故x3的系数为25－4·C＝2C＝10.]‎ 二项式系数与各项系数和 ‎　(1)(2017·武汉调研)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　) ‎ ‎【导学号：01772387】‎ A．212　　　 B.‎211　‎　‎ C.210　　　 D.29‎ ‎(2)(2017·福州质检)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________.‎ ‎(1)D　(2)0　[(1)∵(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，‎ ‎∴C＝C，解得n＝10.‎ 从而C＋C＋C＋…＋C＝210，‎ ‎∴奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.‎ ‎(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1－2)4＝1.‎ 又令x＝0，得a0＝(1－0)4＝1.‎ 因此a1＋a2＋a3＋a4＝0.]‎ ‎[迁移探究1]　若本例(2)中条件不变，问题变为“求a0＋a2＋a4的值”，则结果如何？‎ ‎[解]　在(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，‎ 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.　①4分 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝34.　②8分 由①＋②，可得a0＋a2＋a4＝(34＋1)＝41.12分 ‎[迁移探究2]　若将本例(2)变为“若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016x2 016(x∈R)，则＋＋…＋的值为________．”‎ ‎－1　[令x＝0，得a0＝(1－0)2 016＝1.‎ 令x＝，则a0＋＋＋…＋＝0，‎ ‎∴＋＋…＋＝－1.]‎ ‎[规律方法]　1.第(1)小题求解的关键在于求n，本题常因把“n的等量关系表示为C＝C”，错求n＝12；第(2)小题主要是“赋值”求出a0与各项系数的和．‎ ‎2．求解这类问题要注意：‎ ‎(1)区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；‎ ‎(2)根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.‎ ‎[变式训练2]　(2015·全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.‎ ‎3　[设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.‎ 令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①‎ 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②‎ ‎①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.]‎ 二项式定理的应用 ‎　(1)(2017·豫东名校模拟)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017＝(　　)‎ A．i B.－i C.－1＋i D.－1－i ‎(2)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A．0 B.1‎ C.11 D.12‎ ‎(1)C　(2)D　[(1)x＝＝－1＋i，‎ Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017‎ ‎＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝－1＋i.‎ ‎(2)512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝‎ C·522 012－C·522 011＋…＋C·52·(－1)2 011＋‎ C·(－1)2 012＋a，‎ ‎∵C·522 012－C·522 011＋…＋C·52·(－1)2 011能被13整除．‎ 且512 012＋a能被13整除，‎ ‎∴C·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除．‎ 因此a可取值12.]‎ ‎[规律方法]　1.第(1)题将二项式定理的应用与坐标系中图象点的坐标交汇渗透，命题角度新颖；将图表信息转化为运用二项展开式的系数求待定字母参数，体现数形结合和方程思想的应用．‎ ‎2．第(2)题求解的关键在于将512 012变形为(52－1)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．‎ ‎3．运用二项式定理要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数；②二项式定理的逆用．‎ ‎[变式训练3]　‎ 设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图1031所示，则a＝________.‎ ‎ 【导学号：01772388】‎ 图1031‎ ‎3　[由题意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．‎ 故a0＝1，a1＝3，a2＝4.‎ 又n的通项公式Tr＋1＝Cr(r＝0,1,2，…，n)．‎ 故＝3，＝4，解得a＝3.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)揭示二项展开式的规律，一定要牢记通项Tr＋1＝Can－rbr是展开式的第r＋1项，不是第r项．‎ ‎2．通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(常用待定系数法)．‎ ‎3．展开式的应用：(1)可求解与二项式系数有关的求值问题，常采用赋值法．(2)可证明整除问题(或求余数)．(3)有关组合式的求值证明，常采用构造法．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．‎ ‎2．(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．‎ ‎3．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)．‎