高考数学复习专题练习第4讲 椭 圆
第4讲 椭 圆
一、选择题
1．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝ ( )．
A. B. C. D．4
解析 a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(－，0)，设P(－，m)(m>0)，则＋m2＝1，解得m＝，所以|PF1|＝，根据椭圆定义：|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2×2－＝.
答案 A
2．已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B，则△ABM的周长为( )
A．4 B．8
C．12 D．16
解析 直线y＝k(x＋)过定点N(－，0)，而M、N恰为椭圆＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8.
答案 B
3．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是 ( )．
A. B.
C.∪ D.∪
解析 椭圆标准方程为x2＋＝1.当m>1时，e2＝1－∈，解得m>；当0
b>0)的中心为O，左焦点为F，A是椭圆上的一点.·＝0且·＝2，则该椭圆的离心率是 ( )．
A. B.
C．3－ D．3＋
解析 因为·＝0，且·＝·(－)，所以·＝2，所以||＝||＝c，所以||＝c，且∠AOF＝45°，设椭圆的右焦点是F′，在△AOF′中，由余弦定理可得AF′＝ c，由椭圆定义可得AF＋AF′＝ c＋ c＝2a，即(1＋)c＝2a，故离心率e＝＝＝.
答案 A
5．如果椭圆＋＝1(a＞b＞0)上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为( )
A．(0，，－1] B．[－1,1][来源:Z&xx&k.Com]
C．(0，－1] D．[－1,1)
解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过点P作左准线的垂线，垂足为M，则＝e，故|PF1|＝|PM|e.又|PF1|＝2a－|PF2|，|PM|＝|PF2|，所以有(1＋e)|PF2|＝2a，则|PF2|＝∈[a－c，a＋c]，即a－c≤≤a＋c，解得：e∈[－1,1)．
答案 B
6．若点F1，F2为椭圆＋y2＝1的焦点，P为椭圆上的点，当△F1PF2
的面积为1时，·的值是( )
A．0 B．1
C．3 D．6
解析 △F1PF2的面积为1，设P(x1，y1)，
则有·|2c|·|y1|＝1，即|y1|＝1，
∴y1＝±，代入椭圆方程得：x1＝±，
∴不妨令点P为，又∴F1(－，0)，F2(，0)
∴＝，＝
∴·＝2－2＋2＝－3＋＝0.
答案 A
二、填空题
7．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．
解析 椭圆的焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(p，t)则m＋＝5(p－)，即＝p，t＝，又＋n2＝1，且＋＝1，由上面两式解得m＝0，n＝±1，即点A的坐标是(0，±1)．
答案 (0,1)或(0，－1)
8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
解析 由△ABF2的周长等于4a＝16，得a＝4，又知离心率为，即＝，进而c
＝2，所以a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，∴C的方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
9． F1，F2为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点，A，B分别为双曲线的左、右顶点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且满足∠MAB＝30°，则该双曲线的离心率为________．
解析 如图，以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝c2，双曲线的渐近线为y＝x.
由得M(a，b)，
∴△MAB为直角三角形．
∴在Rt△MAB中，tan 30°＝＝＝.
∴＝.∴e＝ ＝ ＝.
答案
10. 如图，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为________．
解析 设标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题可知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a，
∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.
S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b
＝(2b－b)b＝2－，
∴b2＝2，∴b＝，∴a＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
三、解答题
11．已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，·＝0，若椭圆的离心率等于.
(1)求直线AO的方程(O为坐标原点)；
(2)直线AO交椭圆于点B，若三角形ABF2的面积等于4，求椭圆的方程．
解 (1)由·＝0，知AF2⊥F1F2，
∵椭圆的离心率等于，∴c＝a，可得b2＝a2.
设椭圆方程为x2＋2y2＝a2.
设A(x0，y0)，由·＝0，知x0＝c，
∴A(c，y0)，代入椭圆方程可得y0＝a，
∴A，故直线AO的斜率k＝，
直线AO的方程为y＝x.
(2)连接AF1，BF1，AF2，BF2，
由椭圆的对称性可知，S△ABF2＝S△ABF1＝S△AF1F2，
∴·2c·a＝4.
又由c＝a，解得a2＝16，b2＝16－8＝8.
故椭圆方程为＋＝1.
12．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足
·＝2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意得解得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k1(x－2)＋1，代入椭圆C的方程得，(3＋4k)x2－8k1(2k1－1)x＋16k－16k1－8＝0.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]2－4(3＋4k)(16k－16k1－8)＝32(6k1＋3)＞0，所以k1＞－.又x1＋x2＝，x1x2＝，
因为·＝2，
即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝，
所以(x1－2)·(x2－2)(1＋k)＝|PM|2＝.即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k)＝.
所以(1＋k)＝＝，解得k1＝±.
因为k1＞－，所以k1＝.
于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝x.
13． 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．
(1)解 由题意知，b＝＝.
因为离心率e＝＝，所以＝ ＝.
所以a＝2.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明 由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，
则直线PM的方程为y＝x＋1， ①
直线QN的方程为y＝x＋2. ②
法一 联立①②解得x＝，y＝，
即T.由＋＝1，可得x＝8－4y.
因为2＋2＝
＝＝＝＝1，
所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
法二 设T(x，y)，联立①②解得x0＝，y0＝.
因为＋＝1，所以2＋2＝1.
整理得＋＝(2y－3)2，
所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1.
所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
14． 如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．
解 (1) 如图，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．
因△AB1B2是直角三角形，
又|AB1|＝|AB2|，
故∠B1AB2为直角，
因此|OA|＝|OB2|，得b＝.
结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，
故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，
故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：＋＝1.
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，
因此y1＋y2＝，y1·y2＝－，
又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，
所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
＝－－＋16＝－，
由PB2⊥QB2，得·＝0，
即16m2－64＝0，解得m＝±2.
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
