2015年5月三明市普通高中毕业班质量检查理科数学试题含答案

2015年5月三明市普通高中毕业班质量检查理科数学试题含答案

‎2015年三明市普通高中毕业班质量检查 理 科 数 学 ‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎ 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ ‎ 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎ 4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据，，…，的标准差 锥体体积公式 ‎ 　　‎ 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ‎ ，‎ 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，那么等于 A． 　　　　　　　　　　 B． ‎ C． 　　 　D．‎ ‎2．已知样本M的数据如下：80，82，82，84，84，84，86，86，86，86，若将样本M的数据分别加上4后得到样本N的数据，那么两样本M，N的数字特征对应相同的是 A．平均数 　 B．众数 C．标准差 D．中位数 ‎3．已知函数，则是 ‎　 A．奇函数 B． 偶函数 ‎　 C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 ‎4．已知数列的前项和，则数列的前10项和为 A． 　 B． C． D．‎ ‎5．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且⊥，‎ 则“⊥”是“⊥”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，若侧视图的面积为，三棱锥的体积为，则的值为 A．　　　　B． 　　　　C． 　　　　　D．1‎ ‎7．已知，那么函数的图象不可能是 ‎　‎ A　　　　　　　　　　　　　　　　　　B ‎ 　‎ C　　　　　　　　　　　　 D ‎8．已知函数将函数的零点按从小到大的顺序排列，构成数列，则该数列的通项公式为 A． B．‎ C． D．an＝2n－2‎ ‎9．已知区域，区域，在内随机投掷一点，则点落在区域内的概率是 A． 　 　B． 　 　C． 　　 D．‎ ‎10．若曲线在点处切线的斜率为，曲线在点处切线的斜率为（），将的值称为这两曲线在，间的“异线曲度”，记作．现给出以下四个命题：‎ ‎①已知曲线，，且，则；‎ ‎②存在两个函数，，其图像上任意两点间的“异线曲度”为常数；‎ ‎③已知抛物线，，若，则；‎ ‎④对于曲线，，当时，若存在实数，使得恒成立，则 的取值范围是．‎ 其中正确命题的个数是 ‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎11．二项式的展开式中，的系数是，则实数＝_____．‎ ‎12．某学校为调查高中三年级男生的身高情况，选取了名男生作为样本，右图是此次调查统计的流程图，若输出的结果是，则身高在以下的频率为＿＿＿＿＿．‎ ‎13．若命题“”为假命题，则实数的取值范围 ‎ 是 ．‎ ‎14．过双曲线 的一个焦点作一条渐近线的垂线，若垂 ‎ 足恰在线段(为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎15．如图，三条平行直线把平面分成①、②、③、④四个区域（不含边界），且直线到的距 离相等．点 在直线上，点在直线上，为平 ‎ 面区域内的点，且满足． ‎ 若所在的区域为④,则的取值范围是是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 已知集合，从中随机抽取两个不同的元素，作为复数(为虚数单位)的实部和虚部．‎ ‎（Ⅰ）求复数在复平面内的对应点位于第一象限的概率；‎ ‎（Ⅱ）设，求的分布列及其数学期望.‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线翻折，得到如图2所示的几何体，使得＝．‎ ‎(Ⅰ) 求证：；‎ ‎(Ⅱ) 若在上存在点，使得，求二面角的余弦值．‎ 图1‎ 图2‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 已知点在以为右焦点的椭圆上，斜率为1的直线过点 与椭圆交于两点，且与直线交于点．‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的离心率；‎ ‎(Ⅱ) 试判断直线，，的斜率是否成等差数列？若成 等差数列，给出证明；若不成等差数列，请说明理由．‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ 如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型，其中，是的中点，，设 ‎，且．‎ ‎(Ⅰ) 若，求的长；‎ ‎(Ⅱ) 求的长，并求的最小值；‎ ‎(Ⅲ) 经市场调查发现，某地对该种金属支架的需求量与有关，且需求量的 函数关系式为（单位：万件），试探究是否存在某种规格 的金属支架在当地需求量为零？并说明理由．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围．‎ ‎（Ⅲ）将函数的导函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数 的图象，试证明：当时， ．‎ ‎21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． ‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵（）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量；‎ ‎（Ⅱ）当时，曲线在矩阵的对应变换作用下得到曲线：，‎ 求的值．‎ ‎（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)．以直角坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若是直线与曲线的内部的公共点，求的取值范围．‎ ‎（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲 已知不等式的解集与不等式的解集相同．‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的最大值及取得最大值时的值．‎ ‎2015年三明市普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考答案及评分标准 一．选择题：　　‎ ‎1—5 BCACB　　6—10 DDABC 二、填空题：‎ ‎11．；　 12．； 　13．；　14．；　15．；‎ 三．解答题： ‎ ‎16．解：（Ⅰ）从集合中随机抽取两个不同的元素，组成复平面内的对应点有种，其中位于第一象限的点有种，所以所求的概率为.　　　……………………6分 ‎（Ⅱ）, ．　　　　　　 ……………………7分 ‎,，，．‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………11分 ‎ ∴. ……………………13分 ‎17．解：（Ⅰ）当时，，，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴平面，而平面，‎ ‎∴．　　　　……………………5分 ‎（Ⅱ）如图，以为原点，所在直线为轴，所 在直线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 由（Ⅰ）知，又，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面⊥平面，‎ 过作，则轴，　　　　　　　　 ……………………7分 在中，，，可得．‎ 故，∵，∴为中点，∴．‎ 设平面的法向量为，‎ 则∴　即 ……………9分 取，则，又平面的法向量为， ………11分 则＝＝．‎ 故二面角的余弦值为．　　　　 ……………………13分 ‎18．解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以.‎ 整理得，，即，‎ 解得或 (舍)，所以离心率.　　　　　　　……………………5分 ‎（Ⅱ）直线，，的斜率成等差数列，证明如下：‎ 由(Ⅰ）知，，∴椭圆 直线的方程为．代入椭圆方程并整理，‎ 得.　 ……………………6分 设，直线，，的斜率分别为k1，k2，k3，‎ 则有.　　　　　　　　　 ……………………8分 可知的坐标为．‎ 所以 ‎，　　　　　 ……………………12分 ‎∴.‎ 故直线，，的斜率成等差数列．　　　 ……………………13分 ‎19．解法一：（Ⅰ）在中，已知，，，由正弦定理得：‎ ‎，故.　 ……………………2分 当时, ＝‎ 故的长为．　　　 ……………………4分 ‎（Ⅱ）在中，已知，，，由余弦定理得：‎ ‎　　　 ……………………5分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 　　　　　　 ……………………7分 因为，所以，即 ‎，‎ 则的最小值为，此时=1，即.　　……………………9分 ‎(用其它方法求出的表达式及最小值酌情给分)‎ ‎（Ⅲ）设x=6θ,,令, ,‎ 问题转化为在是否存在的值，使是,　　　　……………………10分 ‎①当时, |sinx|≤1，必有；‎ ‎②当时, ，因为，所以，‎ 从而,在恒成立，在区间递减，‎ 于是 综上，在 ,恒成立，故不存在某种规格的金属支架,在当地需求量为零. 　　　　　　　　　　‎ ‎……………………13分 解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一．‎ ‎（Ⅲ）设x=6θ,，令, ,　　‎ 问题转化为在是否存在x的值，使得使是,　………………10分 ‎,令，得,‎ ‎∵,故存在,,使得,‎ 易知在单调递，在(递减，在递增，‎ 故在,,‎ ‎∵,注意到,且 ,‎ ‎∴ ,．‎ 这样．……………12分 综上：在 ,恒成立，故不存在某种规格的金属支架, 在当地需求量为零．　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎……………………13分 ‎20．解法一：（Ⅰ）当时，，‎ ‎，‎ 故函数的单调递增区间为. ……………………3分 ‎（Ⅱ）因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，‎ 则当时，不等式恒成立，即恒成立，、‎ 设()，只需即可．‎ 由，　　　　　　…………………4分 ‎(ⅰ) 当时， ，‎ 当时，，函数在上单调递减，‎ 故成立．　　　　　　　　　　　　　 ……………………5分 ‎(ⅱ) 当时，由，因，所以，‎ ‎① 若，即时，在区间上，，‎ 则函数在上单调递增，在上无最大值，‎ 当时，，此时不满足条件；‎ ‎② 若，即时，函数在上单调递减，‎ 在区间上单调递增，同样在上无最大值，‎ 当时， ，不满足条件．　　　　　　　　　……………………7分 ‎(ⅲ) 当时，由，∵，∴，‎ ‎∴，故函数在上单调递减，‎ 故成立．……………………8分 综上所述，实数的取值范围是． ……………………9分 ‎（Ⅲ），∴，‎ ‎ 当时，　　　　…………………10分 ‎∴ ‎ ‎ . ‎ 令，‎ 则.‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ ‎ ∴，即. 　　　　　　……………………14分 ‎ 解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一．‎ ‎ （Ⅲ），∴，‎ ‎ 当时，， …………………10分 ‎ ∴‎ ‎ 设，‎ 当时，结论成立；‎ 当时，‎ ‎∵当时，‎ ‎∴，‎ 当时，上式显然成立.‎ ‎∴‎ 当时，；当时，‎ ‎∴‎ ‎∴，.　　　 ……………………14分 解法三：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一．‎ ‎（Ⅲ），∴，‎ 当时，　　　 …………………10分 ‎∴‎ 以下用数学归纳法证明不等式.‎ ‎①当时，左边，右边，不等式成立；‎ ‎② 假设当时，不等式成立，即，‎ 则 ‎ . ‎ 也就是说，当时，不等式也成立.‎ 由①②可得，对，都成立. ………………14分 ‎21．（1）解：（Ⅰ），令＝＝0，‎ 得或，‎ 当时，由，得，‎ 当时，由，得，‎ 所以对应特征值为2的一个特征向量是；‎ 对应特征值为3的一个特征向量是．　　　　 ……………………4分 ‎（Ⅱ）设曲线上的点在矩阵的作用下变成，则 ‎，即将变换公式代入曲线：可得，‎ ‎，即，即为曲线，‎ ‎∴，又，∴．　　　　　 ……………………7分 ‎（2）解法一：（Ⅰ）∵，∴，∴，即，‎ 所以曲线的直角坐标方程为．　　　……………………4分 ‎（Ⅱ）法一：∵，而，‎ ‎∴，∴，‎ 即的范围是． ……………………7分 解法二：（Ⅰ）同解法一．‎ ‎（Ⅱ）联立解得或 ‎∴的范围是．　　　　 ……………………7分 ‎（3）解：（Ⅰ）不等式的解集为，‎ ‎ 所以方程的两根为.‎ ‎∴ 解得.　　　　　 ……………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，＝，‎ 定义域为.‎ 所以.‎ 则，当且仅当时取等号.‎ 故当时，的最大值为.　　　 …………………7分