人教版高中数学选修4-4评估验收卷（一）word版含解析

人教版高中数学选修4-4评估验收卷（一）word版含解析

评估验收卷(一) (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知点M的极坐标为 5，π 3 ，下列所给出的四个坐标中能表 示点M的坐标是( ) A. 5，－ π 3 B. 5，4π 3 C. 5，－ 2π 3 D. 5，－ 5π 3 解析：M的极坐标为 5，π 3 ＋2kπ ，(k∈Z)，取 k＝－1得 5，－ 5π 3 . 答案：D 2．圆ρ＝2cos θ＋π 4 的圆心为( ) A. 1，π 4 B. 1，3 4 π C. 1，5 4 π D. 1，7 4 π 解析：由ρ＝2cos θ＋π 4 得ρ2＝ 2ρcos θ－ 2ρsin θ， 所以 x2＋y2＝ 2x－ 2y， 所以 x－ 2 2 2 ＋ y＋ 2 2 2 ＝1， 圆心的直角坐标为 2 2 ，－ 2 2 ，极坐标为 1，7π 4 . 答案：D 3．将 y＝sin x的图象横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的 1 2 ， 再将纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的 2倍，所得图象的函数解 析式为( ) A．y＝2sin1 2 x B．y＝1 2 sin 2x C．y＝2sin 2x D．y＝1 2 sin 1 2 x 解析：[来源:学,科,网 Z,X,X,K] 答案：D 4．点 A的球坐标为 4，3π 4 ， 3π 4 ，则它的直角坐标为( ) A．(－2，2，－2 2) B．(－2，2，2 2) C．(－2，－2，2 2) D．(2，2，－2 2) 解析： x＝rsinφcos θ＝4× 2 2 × － 2 2 ＝－2， y＝rsin φsin θ＝4× 2 2 × 2 2 ＝2， z＝rcos φ＝4× － 2 2 ＝－2 2. 答案：A 5．在极坐标系中，点(ρ，θ)与点(－ρ，π－θ)的位置关系是( ) A．关于极轴所在直线对称 B．关于极点坐标对称 C．重合 D．关于直线θ＝π 2 对称 解析：因为点(－ρ，π－θ)与点(ρ，－θ)为同一个点，它与(ρ，θ) 关于极轴所在的直线对称． 答案：A 6．直角坐标 B －3， 3，－ π 3 化为柱坐标是( ) A. 2 3，π 6 ， π 3 B. 2 3，5π 6 ， π 3 C. 2 3，5π 6 ，－ π 3 D. 2 3，7π 6 ，－ π 3 解析：因为ρ＝ （－3）2＋（ 3）2＝2 3，tan θ＝－ 3 3 ，θ角的 终边过点(－3，3，0)，故θ＝5π 6 ，所以化为柱坐标为 2 3，5π 6 ，－ π 3 . 答案：C 7．在极坐标系中，过点 2，π 3 且与极轴垂直的直线方程为( ) A．ρ＝－4cos θ B．ρcos θ－1＝0 C．ρsin θ＝－ 3 D．ρ＝－ 3sin θ 解析：设M(ρ，θ)为直线上除 2，π 3 以外的任意一点，则有ρcos θ ＝2·cos π 3 ，则ρcos θ＝1，经检验 2，π 3 符合方程． 答案：B 8．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点 P与定点 Q 1，π 2 的最短 距离等于( ) A. 2－1 B. 5－1 C．1 D. 2 解析：将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点 Q的直角坐标为(0，1)，则 P到 Q的最短距离为 Q与圆心的距离减 去半径的长度，即 2－1. 答案：A 9．在极坐标系中，直线ρcos θ＝1 与圆ρ＝cos θ的位置关系是 ( ) A．相切 B．相交但直线不经过圆心 C．相离 D．相交且直线经过圆心 解析：直线ρcos θ＝1化为直角坐标方程为 x＝1，圆ρ＝cos θ， 即ρ2＝ρcos θ，化为直角坐标方程为 x2＋y2－x＝0，即 x－1 2 2 ＋y2＝1 4 与直线 x＝1相切． 答案：A 10．极坐标系方程θ＝π 3 ，θ＝2π 3 (ρ≥0)和ρ＝4所表示的曲线围成 的图形的面积是( ) A.16π 3 B.8π 3 C.4π 3 D.2π 4 解析：如图所示， 射线θ＝π 3 ，θ＝2π 3 (ρ≥0)与圆ρ＝4围成的图形面积是阴影扇形的 面积： 1 2 ×42×π 3 ＝ 8π 3 . 答案：B 11．点M 1，7π 6 关于直线θ＝π 4 (ρ∈R)的对称点的极坐标为( ) A. 1，4π 3 B. 1，2π 3 C. 1，π 3 D. 1，－ 7π 6 解 析 ： 点 M 1，7π 6 的 直 角 坐 标 为 cos 7π 6 ，sin 7π 6 ＝ － 3 2 ，－ 1 2 ，直线θ＝π 4 (ρ∈R)，即直线 y＝x，点 － 3 2 ，－ 1 2 关于直 线 y＝x的对称点为(－1 2 ，－ 3 2 )，再化为极坐标为 1，4π 3 . 答案：A 12．在极坐标系中，曲线 C1：ρ＝4上有 3个不同的点到曲线 C2： ρsin θ＋π 4 ＝m的距离等于 2，则 m的值为( ) A．2 B．－2 C．±2 D．0 解析：曲线 C1的直角坐标方程为 x2＋y2＝16，曲线 C2的极坐标 方程化为 2 2 ρsin θ＋ 2 2 ρcos θ＝m，化为直角坐标方程为 2 2 y＋ 2 2 x＝ m，即 x＋y－ 2m＝0， 由题意曲线 C1的圆心(0，0)到直线 C2的距离为 2，则 |－ 2m| 12＋12 ＝ 2，故 m＝±2.[来源:Zxxk.Com] 答案：C 二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．把答案填 在题中横线上) 13．在极坐标系中，已知点 A 2，π 2 ，B 2，3π 4 ，O(0，0)，则 △ABO的形状是________________． 解析：因为 A 2，π 2 ，B 2，3π 4 ，所以∠BOA＝π 4 ， 又因为|OA|＝2，|OB|＝ 2，所以 |AB|＝ 2， 所以∠ABO为直角，所以△ABO为等腰直角三角形． 答案：等腰直角三角形 14．将曲线ρ2(1＋sin2θ)＝2化为直角坐标方程为_____________． 解析：将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ代入ρ2＋ρ2sin2θ＝2中得 x2＋y2＋ y2＝2，即 x2 2 ＋y2＝1. 答案： x2 2 ＋y2＝1 15．已知圆的极坐标方程为ρ2＋2ρ(cos θ＋ 3sin θ)＝5，则此圆 被直线θ＝0截得的弦长为________． 解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为(x＋1)2＋(y＋ 3)2＝9 和 y＝0， 所以弦长＝2 R2－d2＝2× 9－3＝2 6. 答案：2 6 16．在极坐标系中，设曲线 C1：ρ＝2sin θ与 C2：ρ＝2cos θ的交 点分别为 A，B，则线段 AB的垂直平分线的极坐标方程为________． 解析：曲线 C1：ρ＝2sin θ即ρ2＝2ρsin θ，化为直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0， 标准方程为 x2＋(y－1)2＝1，圆心 C1(0，1)； 曲线 C2：ρ＝2cos θ即ρ2＝2ρcos θ， 化为直角坐标方程为 x2＋y2－2x＝0， 标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心 C2(1，0)； 线段 AB的垂直平分线即两圆心所在的直线 C1C2， 直角坐标方程为 x＋y－1＝0， 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin θ＋π 4 ＝ 2 2 . 答案：ρsin θ＋π 4 ＝ 2 2 三、解答题(本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10分)在极坐标系中，已知圆C经过点P 2，π 4 ， 圆心为直线ρsin θ－π 3 ＝－ 3 2 与极轴的交点，求圆 C的极坐标方程． 解：在ρsin θ－π 3 ＝－ 3 2 中， 令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆 C的圆心坐标为(1，0)． 因为圆 C经过点 P 2，π 4 ， 所以圆 C的半径[来源:学科网 ZXXK] PC＝ （ 2）2＋12－2×1× 2cos π 4 ＝1， 于是圆 C过极点，所以圆 C的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 18．(本小题满分 12分)在极坐标系中，已知圆 C的圆心坐标为 C 2，π 3 ，半径 R＝ 5，求圆 C的极坐标方程． 解：法一 设 P(ρ，θ)是圆上的任意一点， 则 PC＝R＝ 5. 由余弦定理，得ρ2＋22－2×2×ρcos θ－π 3 ＝5. 化简，得ρ2－4ρcos θ－π 3 －1＝0， 此即为所求的圆 C的方程． 法二 将圆心 C 2，π 3 化成直角坐标为(1， 3)， 半径 R＝ 5，故圆 C的方程为(x－1)2＋(y－ 3)2＝5. 把 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入化简， 得ρ2－4ρcos θ－π 3 －1＝0， 此即为所求的圆 C的方程． 19．(本小题满分 12分)在平面直角坐标系中，已知点 A(3，0)， P是圆 x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交 PA于点 Q， 求点 Q的轨迹的极坐标方程． 解：以 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设 P(1， 2θ)，Q(ρ，θ)，则由 S△OQA＋S△OQP＝S△OAP得 1 2 ·3ρsin θ＋1 2 ρsin θ＝1 2 × 3×1×sin 2θ，化简得ρ＝3 2 cos θ.所以 Q点的轨迹的极坐标方程为ρ＝ 3 2 cos θ. 20．(本小题满分 12分)已知曲线 C1的极坐标方程为ρcos θ－π 3 ＝ －1，曲线 C2的极坐标方程为ρ＝2 2cos θ－π 4 ，判断两曲线的位置 关系． 解：将曲线 C1，C2化为直角坐标方程， 得 C1：x＋ 3y＋2＝0，C2：x2＋y2－2x－2y＝0， 即 C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2. 圆心到直线的距离 d＝ |1＋ 3＋2| 12＋（ 3）2 ＝ 3＋ 3 2 > 2， 所以曲线 C1与 C2相离． 21．(本小题满分12分)在极坐标系中，O为极点，点A 2，π 3 关 于极轴的对称点为 B. (1)求点 B的极坐标和直线 AB的极坐标方程； (2)求△AOB外接圆的极坐标方程． 解：(1)在极坐标系中，O为极点，点 A 2，π 3 关于极轴的对称点 为 B . 则|OA|＝|OB|＝2，∠BOx＝5π 3 ， 故点 B的极坐标为 2，5π 3 ＋2kπ ，k∈Z. 由于直线 AB的直角坐标方程为 x＝1，化为极坐标方程为ρcos θ ＝1. (2)如图，△AOB外接圆的圆心 C在极轴上，且 CA＝CO，∠AOC ＝ π 3 . 故△AOC为等边三角形， 于是 C(2，0)，半径 r＝2，△AOB 外接圆的直角坐标方程为(x －2)2＋y2＝4， 即 x2＋y2－4x＝0. 因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2， 所以ρ2＝4ρcos θ，故ρ＝4cos θ为所求． 22．(本小题满分 12分)在极坐标系中，已知圆 C的圆心 C 3，π 6 ， 半径为 1，Q点在圆周上运动，O为极点． (1)求圆 C的极坐标方程； (2)若 P在直线 OQ上运动，且满足 |OQ| |QP| ＝ 2 3 ，求动点 P的轨迹方 程． 解：如图所示，(1)设M(ρ，θ)为圆 C上任意一点，在△OCM中， |CM|＝1， ∠COM＝|θ－π 6|， 根据余弦定理得 1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos|θ－π 6|，化简整理得ρ2－ 6·ρ·cos θ－π 6 ＋8＝0，即为所求圆 C的极坐标方程． (2)设 Q(ρ1，θ1)，则有ρ21－6·ρ1cos θ1－π 6 ＋8＝0.① 设 P(ρ，θ)，则|OQ|∶|QP|＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3或 |OQ|∶|QP|＝ρ1∶(ρ1＋ρ)＝2∶3. 当ρ1＝2 5 ρ时，又θ1＝θ，即 ρ1＝2 5 ρ， θ1＝θ， 代入①得 4 25 ρ2－6·2 5 ρ·cos θ－π 6 ＋8＝0，整理得 ρ2－15ρcos θ－π 6 ＋50＝0，即为所求 P点的轨迹方程．[来源:学科网] 当ρ1＝2ρ时，又θ1＝θ－π， 同理可得ρ2＋3ρ·cos θ－π 6 ＋2＝0.[来源:Zxxk.Com] 所以点 P 的轨迹方程为 ρ2－ 15ρcos θ－π 6 ＋ 50＝ 0 或 ρ2＋ 3ρcos θ－π 6 ＋2＝0.