北京市延庆区2019届高三第一次模拟考试数学（理）试题 Word版含答案

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延庆区2018—2019学年度模拟考试试卷 ‎ 高三数学（理科） 2019年3月 本试卷共5页，满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合，集合，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2.“”是“方程表示双曲线”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎3. 已知，令，，，那么之间的大小关系为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎4．函数在区间上的零点之和是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5．已知数列中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2019项，则判断框内的条件是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6. 已知曲线（为参数），若曲线上存在点为曲线上一点，则实数 ‎ 的取值范围为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7. 已知一个正四面体的底面积为，那么它的正视图（如右图）的面积为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎8.‎ ‎名运动员参加一次乒乓球比赛，每名运动员都赛场并决出胜 ‎ 负．设第位运动员共胜场，负场（），则错误的 ‎ 结论是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）为定值，与各场比赛的结果无关 ‎（D）为定值，与各场比赛结果无关 ‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎ 9. 已知等比数列的公比为，若，则_____.‎ ‎ 10. 设为虚数单位，如果复数满足，那么的虚部为____.‎ ‎ 11. 如右图，正方形中，为的中点，若，则的值为_____.‎ ‎ 12. 设是定义在上的单调递减函数，能说明“一定存在使得”为假命题 ‎ 的一个函数是_____．‎ ‎13. 已知,设，则_____.‎ ‎14. 已知集合 ，集合满足 ‎ ① 每个集合都恰有7个元素 ; ② ．集合中元素的最大值与最小值之和称 ‎ ‎ 为集合的特征数，记为（），则 的最大值与最小值的和为 .‎ 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ ‎ 如图，在中，点在边上，，，．‎ A D B C ‎（Ⅱ）若， 求的长及的面积．‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ ‎ 2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米. 下表为2007年—2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据. 单位：平方米.‎ ‎2007年 ‎2008年 ‎2009年 ‎2010年 ‎2011年 ‎2012年 ‎2013年 ‎2014年 ‎2015年 ‎2016年 城镇 ‎18.66‎ ‎20.25‎ ‎22.79‎ ‎25‎ ‎27.1‎ ‎28.3‎ ‎31.6‎ ‎32.9‎ ‎34.6‎ ‎36.6‎ 农村 ‎23.3‎ ‎24.8‎ ‎26.5‎ ‎27.9‎ ‎30.7‎ ‎32.4‎ ‎34.1‎ ‎37.1‎ ‎41.2‎ ‎45.8‎ ‎（Ⅰ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2 ‎ ‎ 平方米的概率； ‎ ‎（Ⅱ）在给出的10年数据中，随机抽取三年，记为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人 ‎ ‎ 均住房建筑面积4平方米的年数，求的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据．记2012—2016年中城镇人均住房面积的方差为，农村人均住房面积的方差为，判断与的大小．（只需写出结论）.‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ ‎ 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,, 分别为的中点，点在线段上.‎ F C ‎ A ‎ D P M B E ‎（Ⅰ）求证：直线平面；‎ ‎（Ⅱ）若为的中点，求平面与平面 ‎ 所成二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）设，当为何值时，直线与平面 ‎ ‎ 所成角的正弦值为，求的值.‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ ‎ 已知函数在点处的切线与直线平行.‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）令，求函数的单调区间.‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ ‎ 已知椭圆G:，左、右焦点分别为、，若点在椭圆上.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆交于两个不同的点，，直线， ‎ ‎ 与轴分别交于，两点，求证：．‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 已知集合．‎ 对于，定义与之间的距离为．‎ ‎（Ⅰ），写出所有的；‎ ‎（Ⅱ）任取固定的元素，计算集合中元素个数；‎ ‎（Ⅲ）设，中有个元素，记中所有不同元素间的距离的最小值为．‎ ‎ 证明： ．‎ 延庆区2018—2019学年度一模统一考试答案 数学（理科） 2019.3 ‎ 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C A A B C B D D 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分）‎ ‎9． ‎ ‎10． ‎ ‎11. ‎ ‎12. ‎ ‎13． ‎ ‎14．‎‎132‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分)‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为， 所以，………………………1分 ‎ …………………2分 ‎ 又因为，所以，…………………3分 ‎ …………5分 ‎ ． ……………7分 ‎（Ⅱ）在中，由，…………9分 ‎ 得．…………11分 ‎ ‎ …………12分 ‎ 所以． …………13分 ‎16.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）随机抽取连续两年数据：共9次。…………………1分 ‎ 两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米：共5次。…………………2分 设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”为事件，‎ 因此 …………………3分 ‎（Ⅱ） 所有可能的取值为：0，1，2，3 …………………4分 ‎ …………………8分 随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ …………………10分 ‎ …………………11分 ‎（Ⅲ） …………………13分.‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，所以.‎ ‎ 由分别为的中点，得， ‎ ‎ 所以. ………………1分 ‎ 因为侧面底面，且，面面 ‎ 且面 所以底面. ………………3分 ‎ 又因为底面，所以. ………………4分 ‎ 又因为，平面，平面， ‎ ‎ 所以平面. ………………5分 ‎ ‎（Ⅱ）解：因为底面，，所以两两垂直，故以 ‎ 分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎ 则， ………………6分 ‎ 设平面的法向量为，‎ ‎ 由，，得 ‎ 令, 得. ………………7分 ‎ 为的中点，由（1）知，平面 且， ………8分 ‎ 所以， ………………9分 ‎ 平面与平面所成二面角的余弦值；………………10分 ‎（Ⅲ）‎ ‎ 设，则，‎ ‎ 所以， ………………11分 ‎ ，………………12分 ‎ 由（1）知. 直线与平面所成的角正弦值为 ‎ 所以，即， ………………13分 ‎ 解得. 或 （舍） ………………14分 ‎18.（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ） ………1分 ‎ ………2分 在点处的切线与直线平行 ‎ 解得 ………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ………5分 函数的定义域是， ………6分 所以，…………7分 令， …………8分 又，…………9分 有恒成立 故在上为增函数， ‎ 由， ‎ 所以函数是上单调递减． …………… 11分 ‎ 有恒成立 故在上为减函数， ‎ 由， ‎ 所以函数是上单调递减． …………… 13分 ‎ 综上， 在 和 单调递减 ‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）在椭圆上 ‎ 由 ‎ 解得 ………………3分 所以，椭圆的标准方程为 ………………4分 ‎ ‎ ‎(Ⅱ)由得．………………5分 ‎ 因为直线与椭圆有两个交点，并注意到直线不过点， ‎ 所以解得或．……………6分 设，，则，,……………8分 ‎，．……………10分 显然直线与的斜率存在，设直线与的斜率分别为，，‎ 由（Ⅰ）可知 则 ……………11分 ‎．‎ 因为，所以． ……………13分 ‎ 所以． ………………14分 ‎20.（本小题满分13分）‎ 解 （Ⅰ） …………………4分 ‎（Ⅱ）当时，…………………5分 ‎ 当时， …………………6分 ‎ 写出，…………………7分 ‎ 特别的，． ‎ ‎ 所以 元素个数为 …………………8分 ‎（Ⅲ）记，‎ ‎ 我们证明．一方面显然有．另一方面，且，‎ ‎ 假设他们满足．则由定义有，‎ ‎ 与中不同元素间距离至少为相矛盾．‎ ‎ 从而．‎ ‎ 这表明中任意两元素不相等．从而．‎ ‎ 又中元素有个分量，至多有个元素．‎ ‎ 从而．证毕．…………………13分