高中不等式习题精选精解

高中不等式习题精选精解

高中不等式习题精选精解 一、求取值范围 ‎1、已知，求的取值范围。‎ 解： ‎ ‎ 根据已知条件：‎ ‎ 所以的取值范围是 ‎2、已知，且，求的取值范围。‎ 解：由已知条件，显然 ‎ ‎ ‎ ‎ 综上所述的取值范围是 ‎3、正数满足，求的最小值。‎ 解：‎ ‎ （为正数）‎ ‎4、设实数满足，当时，求的取值范围。‎ y 解：方程表示的是以点（0，1）为圆心的圆，根据题意当直线（为常数）与圆在第二象限相切时，取到最小值；（此时，切点的坐标满足，其它圆上的点都满足（因为在直线的上方），当增大，直线向下方平移，圆上的全部点满足，‎ 因此：‎ x 所以的取值范围是 ‎5、已知函数满足，，求的取值范围。‎ 解：由习已知得：‎ ‎ 设：‎ ‎ ‎ 所以的取值范围是 ‎6、已知：、都是正数，且，，，求的最小值 解：是正数，‎ 的最小值是5，（当且仅当时）。‎ o ‎1 4‎ X1 x2‎ x y ‎7、已知集合与，若，求的取值范围。‎ 解：‎ ‎ 设（*）‎ ‎ 当Ø，即方程（*）无解，显然成立，由得 ‎ ，解得 ‎ 当Ø，且成立，即： 根据图像得出：‎ ‎ ，解得 ‎ ‎ 综合（1）（2）两式，得的取值范围为。‎ ‎8、若关于的方程有实数解，求实数的取值范围。‎ o y x o y x 解一：设，，原题转换为求方程在上有解。‎ ‎ 共有两种情况，一种是有两个根，一种是只 有一个根（如图所示），由二次函数的图像和 性质，得方程在上 有实数解的充要条件为：‎ ‎ 注：两组不等式分别对应两个图 解得 所以的取值范围是 解二：由方程得 ‎ 函数的值域就是的取值范围。‎ ‎ ‎ 所以的取值范围是 二、解不等式 ‎1、‎ 解：不等式与或同解，也可以这样理解：‎ ‎ 符号“”是由符号“>”“=”合成的，故不等式可转化为 或。‎ ‎ 解得：原不等式的解集为 ‎2、.‎ 解：‎ ‎+‎ ‎，用根轴法（零点分段法）画图如下：‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 原不等式的解集为。‎ ‎3、‎ 解：原式等价于 ‎ ，即 注：此为关键 原不等式等价于不等式组解得：‎ ‎4、‎ 解：当时，原不等式化为，得；‎ ‎ 当时，原不等式化为，得；‎ ‎ 当时，原不等式化为，得；‎ ‎ 当时，原不等式化为，得；‎ ‎ 当时，原不等式化为，得 ‎ 综合上面各式，得原不等式的解集为：‎ ‎5、关于的不等式的解集为，求的解集。‎ 解：由题意得：，且 ‎ 则不等式与不等式组同解 ‎ 得所求解集为 ‎6、已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式的解集。‎ 解：关于的不等式的解集是，，‎ 或 ‎ 原不等式的解集是。‎ 三、证明题 ‎1、已知，求证：‎ 证一：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，证毕。‎ 证二：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，证毕。‎ ‎2、设,为偶数,证明 ‎ 证： .‎ ‎ ①当时, ,0 ,‎ ‎ ∴0 ,故 ;‎ ‎ ②当有一个负值时,不妨设,且,即 .‎ ‎ ∵为偶数时,∴0 ,且 ‎∴0 ,故 .‎ ‎ 综合①②可知,原不等式成立 ‎ 注：必须要考虑到已知条件，分类讨论，否则不能直接得出0 ‎ ‎3、求证： ‎ 证：设向量 ,由 ,得 ‎ ‎ 注意：当∥时，即，，，、方向相同，取等号。‎ 当利用公式证明时，会得：‎ ‎ 的错误结论，因为这里取等号 ‎ 的条件是∥，且、方向相反，根据题设条件，∥时，方向相同，故取不到等号，‎ ‎ 计算的结果也使不等式范围缩小了。‎ ‎4、求证： （）‎ 证一：（）‎ ‎ ‎ ‎ 原不等式成立，证毕。‎ 证二：当时，原不等式为：，显然成立；‎ ‎ 假设当取-1时，原不等式成立，即成立，则 ‎ ‎ ‎ ，即取时原不等式也成立。‎ ‎ 综上，对于任意（）原不等式成立，证毕。 ‎ ‎ 注意：此类证明方法称为数学归纳法 ‎ ‎ ‎ ‎5、设，实数满足，求证：‎ 证：‎ ‎=‎ 当，‎ ‚当，‎ ƒ当，‎ 综合‚ƒ式情况，原不等式成立。证毕 注：‚ƒ式的最后一步省略了对的详细分析，正式解题时不能省。分析过程用 ‎ 同号 ‎ 异号 ‎6、已知：，求证：‎ 证：由已知得：，即 ‎ ，及基本不等式，代入式得：‎ ‎ 解得；‎ ‎ ，由式得，‎ ‎ 综上得：。 证毕。‎ ‎7、已知,证明：‎ 证：， ‎ ‎ ，（）同理得：‎ ‎ ‚，ƒ ‚ƒ式两边相加，得 所以原不等式成立，证毕。‎ 注：“”的来由：不等式当且仅当时取等号，得。‎