广东省广州市实验中学、执信中学2018届高三10月联考数学（文）试题（含解析）(1)

广东省广州市实验中学、执信中学2018届高三10月联考数学（文）试题（含解析）(1)

一、填空题：（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求是）‎ ‎1．设全集，，，则（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎2．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：因为复数，在复平面内对应的点分别为，，‎ 所以，，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎3．已知命题，总有，则为（ ）．‎ ‎ A．，使得 B．，使得 ‎ C．，使得 D．，总有 ‎【答案】B ‎【解析】正确率：，易错项：．‎ 解：本题主要考查命题及其关系．‎ 命题的否定是对命题结论的否定，因此为，使得．‎ 故选．‎ ‎4．一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班名同学成绩的平均数为，乙班名同学成绩的中位数为，则（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：已知甲班名同学成绩的平均数为，‎ 即：，‎ 即，则，，‎ 乙班名同学成绩的中位数为，‎ 若，则中位数为，不满足条件，‎ 若，则中位数为，‎ 即，则，‎ 则，‎ 故选．‎ ‎5．已知，则（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：∵，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎6．函数在区间的图像大致为（ ）．‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：，‎ ‎∴为非奇非偶函数，排除、，‎ 当时，‎ ‎，[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎∵，，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎7．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“‎ 今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：该程序框图的作用是求被除后的余数为，被除后的余数为的数，‎ 在所给的选项中，满足被除后的余数为，被除后的余数为的数只有，‎ 故选．‎ ‎8．已知函数的部分图像如图所示，则函数图像的一个对称中心可能为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：根据函数的部分图像，‎ 可得，，‎ ‎∴，‎ 再根据五点法作图可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 则函数，‎ 图像的一个对称中心可能．‎ ‎9．已知等比数列中，，，成等比数列，设为数列的前项和，则等于（ ）．‎ ‎ A． B．或 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：设等比数列的公比为，‎ ‎∵，，成等差数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴，化为，‎ 解得或，‎ 时，，‎ 时，．‎ 故选．‎ ‎10．如图，网格纸上小正方形的长为，粗实线画出的某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：该几何体可以看作是三棱柱割出一个三棱锥形形成的，‎ 故．‎ ‎11．已知函数是定义在上的偶函数，设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（ ）．‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：根据题意，令，其导数，‎ 又由对任意都有成立，‎ 则当时，有成立，即函数在上为增函数，‎ 又由函数是定义在上的偶函数，则，‎ 则有，即函数为偶函数，‎ 则有，且，‎ 则有，‎ 即有，‎ 故选．‎ ‎12．已知正方形的边长为，是的中点，以点为圆心，长为半径为圆，点是该圆上的任一点，在的取值范围是（ ）． ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：‎ 由题意，建立平面直角坐标系，如图在，，，，，‎ 则，，，‎ 所以，则，‎ 当此直线与圆相切时使得在轴的截距取得最值，所以，‎ 解得，‎ 所以的取值范围是 ．‎ 故选．‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷的相应位置）‎ ‎13．已知，，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：由知，，所以，．‎ 故填．‎ ‎14．若，满足，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：若的最大值为，则此时目标函数为，直线与和分别交于，，经过其中一点，‎ 所以或，当时，经检验不符合题意，故．‎ ‎15．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与直线垂直，‎ 则可知，那么结合双曲线的离心率．‎ 故答案为．‎ ‎16．若函数的图像在处的切线与圆相离，则与圆的位置关系是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴在处切线斜率为，‎ ‎∴切线为，即，‎ ‎∵与圆相离，‎ ‎∴，‎ ‎∴，[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴点在圆的内部．‎ ‎[来源:学科网]‎ 三、解答题 ‎17．（本小题满分分）‎ 已知中，，，的对边分别是，，，且，．‎ ‎（）求角和的值．‎ ‎（）若，求的面积． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：（）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 所以或（舍），‎ 即，‎ ‎∵，根据正弦定理可得：‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 经化简得：，‎ ‎∴．‎ ‎（）∵，‎ ‎∴，，‎ 根据余弦定理及题设可得：‎ ‎，‎ 计算得出：，，‎ ‎．‎ ‎18．（本小题满分分）‎ 某校为研究学生语言学科的学习情况，现对高二名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析，将名学生编号为，，，，采用系统抽样的方法等距抽取名学生，将名学生的两科成绩（单位：分）绘成折线图如下： ‎ ‎（）若第一段抽取的学生编号是，写出第五段抽取的学生编号．‎ ‎（）在这两科成绩差超过分的学生中随机抽取人进行访谈，求人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率．  （）根据折线图，比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩，写出你的结论和理由.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】解：（）第一段抽取的学生编号是，间隔为，第五段抽取的学生编号为． （）这两科成绩差超过分的学生，共人，语文成绩高于英语成绩，有人，从中随机抽取人进行访谈，有种，人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率是． （）根据折线图，可以估计该校高二年级学生的语文成绩平均分高，语文成绩相对更稳定．‎ ‎19．（本小题满分分）如图，在四棱锥中，，，，平面平面，为等腰直角三角形，．‎ ‎（）证明：为直角三角形．‎ ‎（）若四棱锥的体积为，求的面积．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（）证：∵，，面面，‎ ‎∴，‎ ‎∴面，‎ 又∵为等腰直角三角形，‎ 且，‎ ‎∴，‎ ‎，【注意有文字】‎ ‎∴面，面，‎ ‎∴，‎ ‎∴为直角三角形．‎ ‎（），‎ ‎∴，‎ 四边形为直角梯形，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎20．（本小题满分分）‎ 已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中点和的顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是，，，．‎ ‎（）求，的标准方程．‎ ‎（）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（）由题意抛物线的顶点为原点，‎ 所以点一定在椭圆上，且，则椭圆上任何点的横坐标的绝对值都小于等于，‎ 所以也在椭圆上，，，故椭圆标准方程，‎ 所以点、在抛物线上，且抛物线开口向右，其方程，，，‎ 所以方程为．‎ ‎（）①当直线斜率不存在时，易知三点共线，不符题意．‎ ‎②当斜率不存在时，设，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，‎ ‎，‎ ‎，‎ 或，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎，‎ 令 ‎，‎ 即，‎ 或．‎ 综上：或．‎ ‎21．（本小题满分分）‎ 已知函数．‎ ‎（）讨论的单调性．‎ ‎（）若，，求的取值范围．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（）函数的定义域为， ‎ 因为，‎ 所以：①当时，对恒成立，‎ 所以在上单调递增．‎ ‎②当时，令或（舍），‎ 当时，，当时，，‎ 所以在上单调递增，‎ 在上单调递减．‎ ‎（）①当时，在单调递增，‎ 令，‎ 即令，即可，‎ ‎∵，‎ ‎∴在恒大于，满足题意．‎ ‎②当时，在单调递增，‎ 在单调递减，‎ 当时，在单调递减，‎ 故令在单调递减，‎ ‎，此时不满足，‎ 当时，在单调递增，‎ 在单调递减，‎ 令 即，‎ 此时为．‎ 综上：的取值范围为．‎ 请考生在第、题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题记分，解答时请写清题号．‎ ‎22．（本小题，满分分）【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】‎ 在极坐标系中，曲线的方程为，点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系．‎ ‎（）求直线的参数方程的标准式和曲线的直角坐标方程．‎ ‎（）若直线与曲线交于，两点，求的值．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（）∵化为直角坐标可得，，‎ ‎∴直线的参数方程为：，‎ ‎∵，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程：，得：，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ ‎23．（本小题满分分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知，不等式的解集是．‎ ‎（）求的值．‎ ‎（）若存在实数解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（）由，得，即，‎ 当时，，因为不等式的解集是，‎ 所以，解得，‎ 当时，，‎ 因为不等式的解集是，‎ 所以，改式无解，‎ 所以．‎ ‎（）因为，‎ 所以要使存在实数解，只需，‎ 解得，‎ 所以实数的取值范围是．‎