数学（理）卷·2018届陕西省西北大学附属中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学（理）卷·2018届陕西省西北大学附属中学高二下学期期中考试（2017-04）

西北大附中 2016—2017 学年下学期期中考试 高二理科数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 120 分，考试用时 100 分钟。 注:所有题目在答题卡上做答 第 I 卷（选择题 共 30 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是最符合题目要求的） 1．“ ”是“ ”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．若 是假命题，则 （ ） A. 是真命题， 是假命题 B. 、 均为假命题 C. 、 至少有一个是假命题 D. 、 至少有一个是真命题 3．用数学归纳法证明等式 1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n＋4 2 (n∈N)时，验证 n＝1，左边应取的项 是 ( ) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 4. 等于 （ ） A． B． C． 1 D． 5. 若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为 （ ） A． B． C． D． 6. 把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比 历史先上，则不同的排法有 （ ） A．48 B．24 C． 60 D．120 7．中心在原点的双曲线，一个焦点为 ，一个焦点到最近顶点的距离是 ， 则双曲线的方程是 （ ） A． B． C． D． 8．已知 A（－1，－2，6），B（1，2，－6），O 为坐标原点，则向量 的夹角是 （ ） A．0 B． C． D． 9. 设 ，那么 的值为 （ ） A： － B：－ C：－ D：-1 10.函数 在区间（1，+∞）内是增函数，则实数 的取值范围 （ ） A．a≤3 B．a＞3 C． a＜3 D．a≥3 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 5 小题， 每小题 4 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。） 11．若 ，其中 、 ， 为虚数单位，则 ___________． 12．在 的展开式中， 的系数为. ___________．(用数字作答) 13．由直线 ， ，曲线 及 轴所围图形的面积是___________． 14．将侧棱相互垂直的三棱锥称为 “直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥 的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”. 已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”.类比此性质，写出直 角三棱锥具有的性质： 。 15．已知椭圆 的焦点重合，则该椭圆 的离心率是 ． 三、解答题（本大题共 4 题，50 分，请写出必要的解答过程）。 16.（10 分） 求直线 和直线 的交点 的坐 标，及点 与 的距离． 17.（12 分）已知函数 . （1）求函数 的导数； （2）求曲线 在点 M（p，0）处的切线方程. 18．（14 分）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形， ， 分别是 的中点． (1)求证： ； (2)在平面 内求一点 ，使 平面 ， 并证明你的结论； (3)求 与平面 所成角的正弦值． 19．（14 分）已知椭圆 的焦距为 ，椭圆 上任意一点到椭 圆两个焦点的距离之和为 6． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点，点 （0，1），且 = ，求直线 的方程． 附加题：（本大题共 3 题，20 分，请写出必要的解答过程） 20.（5 分）如图，在杨辉三角形中，斜线 的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿 形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前 项之和为 ，则 的值为（ ） A．66 B．153 C．295 D．361 21. （5 分）已知 为一次函数，且 ， 则 =_______. 22.（10 分）已知函数 在 处取得极值． ⑴ 求函数 的解析式； ⑵ 求证：对于区间 上任意两个自变量的值 ，都有 ； ⑶ 若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围． 2016-2017 学年下学期期中考试高二(理科)数学参考答案 一、 选择题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A A C A C A A 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 11． 12. 13. 14.直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积 的四分之一． 15. 三．解答题 16．解：将 ，代入 ，得 ， 得 ，而 ，得 ． 17.解：解：（1） . （2）由（1）得在点 M（p，0）处的切线的斜率 ， 所以在点 M（p，0）处的切线方程为 ，即 . 18．解：以 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系(如图)，设 ，则 ， ， ， ， ， ， ． (1) 因为 ，所以 . (2)设 ，则 平面 ， ， ，所以 ， ，所以 ∴ 点坐标为 ，即 点为 的中点． (3)设平面 的法向量为 ． 由 得， 即 ， 取 ，则 ， ，得 ． ， 所以， 与平面 所成角的正弦值的大小为 19．解：（Ⅰ）由已知 ，： ,解得 ， , 所以 ，所以椭圆 C 的方程为 。 （Ⅱ）由 得 ， 直线与椭圆有两个不同的交点，所以 解得 。 设 A（ ， ），B（ ， ） 则 ， ， 计算 ， 所以，A，B 中点坐标 E（ ， ）, 因为 = ，所以 PE⊥AB， , 所以 ,解得 , 经检验，符合题意，所以直线 的方程为 或 。 附加题： 20.D 21. 22. 解：解：⑴ ，依题意有， ， 即 解得 . ∴ . ⑵ ∵ , ∴ 当 时， ，故 在区间 上为减函数， . ∴对于区间 上任意两个自变量的值 ， 都有 . ⑶ ， ∵曲线方程为 ， ∴点 不在曲线上. 设切点为 ，则点 的坐标满足 因 ，故切线的斜率为 ， 整理得 . ∵过点 可作曲线的三条切线， ∴关于 方程 有三个实根. 设 ，则 得， 或 . ∴ 在 上单调递增，同理 在 上单调递减. ∴函数 的极值点为 或 . 又 时， ， 时， . ∴关于 方程 有三个实根的充要条件是 ， 解得 . 故所求的实数 的取值范围是 .