【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版11-2几何概型学案

【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版11-2几何概型学案

§11.2　几何概型 最新考纲 考情考向分析 1.了解随机数的意义，能运 用模拟的方法估计概率. 2.了解几何概型的意义. 以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些 简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、 不等式的解集等知识交汇考查.在高考中多以选择、 填空题的形式考查，难度为中档. 1.几何概型的定义 事件 A 理解为区域 Ω 的某一子区域 A，A 的概率只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积) 成正比，而与 A 的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型. 2.几何概型的概率公式 P(A)＝μA μΩ，其中 μΩ 表示区域 Ω 的几何度量，μA 表示子区域 A 的几何度量. 3.随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似 值的方法就是模拟方法. (2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本步骤是①用计算器或 计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机 数的个数 M 和总的随机数个数 N；③计算频率 fn(A)＝M N作为所求概率的近似值. 概念方法微思考 1.古典概型与几何概型有什么区别？ 提示　古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件 有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个. 2.几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？ 提示　几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值. 题组一　思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.(　√　) (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每 一点被取到的机会相等.(　√　) (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.(　√　) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(　√　) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.(　×　) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到 1 的概率是 P＝1 9.(　×　) 题组二　教材改编 2.在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于 1 的概率为(　　) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 答案　B 解析　坐标小于 1 的区间为[0,1)，长度为 1，[0,3]的区间长度为 3，故所求概率为1 3. 3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可 中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　) 答案　A 解析　∵P(A)＝3 8，P(B)＝2 8，P(C)＝2 6，P(D)＝1 3， ∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B). 4.设不等式组Error!表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距 离大于 2 的概率是(　　) A.π 4 B.π－2 2 C.π 6 D.4－π 4 答案　D 解析　如图所示， 正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域 D，且区域 D 的面积为 4，而阴影部分(不 包括 )表示的是区域 D 内到坐标原点的距离大于 2 的区域.易知该阴影部分的面积为 4－π. 因此满足条件的概率是4－π 4 ，故选 D. 题组三　易错自纠 5.在区间[－2,4]上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|≤m 的概率为5 6，则 m＝________. 答案　3 解析　由|x|≤m，得－m≤x≤m. 当 00，解得 0n. 如图，由题意知，在矩形 ABCD 内任取一点 Q(m，n)，点 Q 落在阴影部分(不包括 m＝n 这条 直线)的概率即为所求的概率，易知直线 m＝n 恰好将矩形平分， 1A A BDV − 1A ABDV − ∴所求的概率为1 2. 11.已知向量 a＝(－2,1)，b＝(x，y). (1)若 x，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷 两次时第一次、第二次出现的点数，求满足 a·b＝－1 的概率； (2)若 x，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足 a·b<0 的概率. 解　(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为 6×6＝36， 由 a·b＝－1，得－2x＋y＝－1， 所以满足 a·b＝－1 的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共 3 个. 故满足 a·b＝－1 的概率为 3 36＝ 1 12. (2)若 x，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为 Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}. 满足 a·b<0 的基本事件的结果为 A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6 且－2x＋y<0}. 画出图象如图所示，矩形的面积为 S 矩形＝25， 阴影部分的面积为 S 阴影＝25－1 2×2×4＝21， 故满足 a·b<0 的概率为21 25. 12.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等 可能的.如果甲船停泊时间为 1 h，乙船停泊时间为 2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码 头空出的概率. 解　设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与 y，记事件 A 为“两船都不需要等待码头空 出”，则 0≤x≤24，0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达 1 h 以上或乙比甲早到达 2 h 以上，即 y－x≥1 或 x－y≥2.故所求事件构成集合 A＝{(x，y)|y－ x≥1 或 x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}. A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合 Ω 为边长是 24 的正方形及其内部. 所求概率为 P(A)＝A 的面积 Ω 的面积 ＝ (24－1)2 × 1 2＋(24－2)2 × 1 2 242 ＝506.5 576 ＝1 013 1 152. 13.在长为 1 的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于1 2的概率为________. 答案　3 4 解析　设任取两点所表示的数分别为 x，y，则 0≤x≤1，且 0≤y≤1，如图所示，则总事件 所占的面积为 1.记这两点之间的距离小于1 2为事件 A，则 A＝Error!，如图中阴影部分所示， 空白部分所占的面积为 2×1 2×1 2×1 2＝1 4，所以所求两点之间的距离小于1 2的概率 P(A)＝ 1－1 4 1 ＝ 3 4. 14.如图，在面积为 S 的矩形 ABCD 内任取一点 P，则△PBC 的面积小于S 4的概率为________. 答案　1 2 解析　如图，设△PBC 的边 BC 上的高为 PF，线段 PF 所在的直线交 AD 于点 E，当△PBC 的面积等于S 4时，1 2BC·PF＝1 4BC·EF，所以 PF＝1 2EF.过点 P 作 GH 平行于 BC 交 AB 于点 G， 交 CD 于点 H，则满足条件“△PBC 的面积小于S 4”的点 P 落在矩形 GBCH 边界(不包括 BC， GH)及其内部. 设“△PBC 的面积小于S 4”为事件 A，则构成事件 A 的区域的面积为S 2，而试验的全部结果所 构成的区域面积为 S，所以由几何概型的概率计算公式得 P(A)＝ S 2 S＝1 2. 所以△PBC 的面积小于S 4的概率是1 2. 15.在区间[0,1]上随机取两个数 x，y，记 p 1 为事件“x＋y≥ 1 3”的概率，p 2 为事件“|x－ y|≤1 3”的概率，p3 为事件“xy≤1 3”的概率，则(　　) A.p1

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