2018届二轮复习 导数及其应用 学案（ 江苏专用）

2018届二轮复习 导数及其应用 学案（ 江苏专用）

专题4：导数及其应用 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1． (1)曲线在点(1，0)的切线方程为 ．‎ ‎(2)曲线y＝x3－3x2＋2x过点(0，0)的切线方程为 ．‎ 答案：(1) ．‎ ‎ (2)y＝2x或y＝－x．‎ ‎2．（1）函数f(x)＝2x2－lnx的减区间为 ．‎ ‎（2）函数上是增函数，则实数a 的取值范围为 ．‎ 答案：(1)(0,)．(2)a≤．‎ ‎3．求下列函数极值(或最值)：‎ ‎ (1) f(x)＝xlnx (2)f(x)＝sinx－x，x∈[－，]‎ 答案：(1)当x＝时，f(x)取极小值－．‎ ‎ (2) 当x＝－时，f(x)取最小值－．当x＝时，f(x)取最大值－．‎ ‎4．已知函数f(x)＝ax2－lnx－1(a∈R)，求f(x)在[1，e]上的最小值．‎ 答案：当a≤时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(e)＝ae2－2．‎ ‎ 当＜a＜时，f(x)在[1，e]上的最小值为f()＝(ln2a－1)．‎ ‎ 当a≥时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(1)＝a－1．‎ ‎5．若不等式ax2＞lnx＋1对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．‎ 答案：a＞ ‎6．已知f (x)＝ax2，g(x)＝lnx＋1，若y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个交点，求实数a的取值范围．‎ 答案：(0, )‎ 二、方法联想 ‎1．切线方程 ‎ 涉及函数图象的切线问题，如果已知切点利用切点求切线；如果不知切点，则另设切点坐标求出切线方程的一般形式再来利用已知条件．‎ 注意 (1)“在”与“过”的区别：“在”表示该点为切点，“过”表示该点不一定为切点．‎ ‎(2)用导数求解切线问题：①切点处的导数等于切线斜率；②切点既在切线上；③切点也在曲线上．‎ 变式1‎ 函数上一点处的切线方程为，求的值 答案：a＝2，b＝1‎ ‎（已知切线方程求参数）‎ 变式2‎ 题目：在平面直角坐标系中，直线与曲线和均相切，‎ 切点分别为和,则的值是 ‎ 答案 ． ‎ 解析：由题设函数y＝x2在A(x1，y1)处的切线方程为：y＝2x1 x－x12，‎ 函数y＝x3在B(x2，y2)处的切线方程为y＝3 x22 x－2x23．‎ 所以，解之得：x1＝，x2＝．‎ 所以 ＝．‎ ‎（已知两曲线的公共切线，求切点）‎ 变式3‎ 曲线与曲线公切线（切线相同）的条数为 .‎ 答案：1‎ ‎（求两曲线的公切线条数）‎ 变式4‎ 已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围 答案：‎ 解：设切点坐标，切线斜率为，则有 ‎ 切线方程为：‎ 因为切线过，所以将代入直线方程可得：‎ ‎ ‎ 所以问题等价于方程，令 即直线与有三个不同交点 令解得 所以在单调递减，在单调递增 ‎ ‎ 所以若有三个交点，则 ‎ 所以当时，过点存在3条直线与曲线相切 ‎（已知公切线条数，研究参数的范围）‎ ‎2．函数单调性 ‎(1)如果在某个区间上f ′(x)＞0，那么f(x)为该区间上的增函数；‎ 如果在某个区间上f ′(x)＜0，那么f(x)为该区间上的减函数．‎ ‎(2)如果f(x)在某个区间为增函数，那么在该区间f ′(x)≥0；(f ′(x)不恒为0)‎ 如果f(x)在某个区间为减函数，那么在该区间f ′(x)≤0．(f ′(x)不恒为0)‎ 注意 求单调区间前优先求定义域；单调区间不能用“∪”，用“，”或“和”．‎ 变式1、已知f(x)＝2ax－－(2＋a)ln x(a≥0)．当a＞0时，讨论f(x)的单调性．‎ 答案：f′(x)＝2a＋－(2＋a)＝＝.‎ ‎ ①当0＜a＜2时，f(x)在和上是增函数，在上是减函数；‎ ‎ ②当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；‎ ‎ ③当a＞2时，f(x)在和上是增函数，在上是减函数．‎ ‎（已知导数等于0的两个根，求单调性）‎ 变式2、若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围_______________‎ 答案：‎ ‎（不单调，求参数的范围）‎ 变式3、定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 ．‎ ‎(确定函数单调性)‎ ‎3．函数极值(或最值)‎ 求解步骤：①求函数的定义域；‎ ‎②求f ′(x)＝0在区间内的根；‎ ‎③讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值．‎ ‎④将求得的极值与两端点处的函数值进行比较，得到最大值与最小值．‎ 变式1、已知函数f(x)的导函数f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是_____．‎ 答案：(－1,0)‎ 解答：因为f(x)在x＝a处取到极大值，所以x＝a为f ′(x)的一个零点，且在x＝a的左边f ′(x)＞0，右边f ′(x)＜0，所以导函数f ′(x)的开口向下，且a＞－1，即a的取值范围是(－1,0)．‎ ‎（已知极大（小）值点，求参数范围）‎ 变式2、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______．‎ 答案　(，2)‎ 解答：由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，‎ 所以根据导函数图象可又a>0，解得0,b>0,且函数在x=1处有极值，则ab的最大值为 ；‎ 答案 (考查函数的极值)‎ ‎5.已知a,b为正实数，函数在[0,1]上的最大值为4，则f（x）在[-1,0]上的最小值为 ；答案 (考查函数的最值)‎ ‎6.在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当时，实数b的最小值是 ；‎ ‎ 答案 (考查切线,函数的最值)‎ ‎7.关于x的方程有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是 ；‎ ‎ 答案 (考查方程的解)‎ ‎8.已知函数，直线l:9x+2y+c=0,若当时，函数y=f(x)的图像恒在直线l的下方，则c的取值范围是 ；答案 (考查不等式恒成立,导数的应用)‎ ‎9. 已知，函数.若关于的方程的解集中恰好有一个元素，则的取值范围是 ；答案 (考查函数零点)‎ ‎10.已知函数，，若任意，存在，使，则实数a的取值范围是 ；答案 (考查不等式恒成立,存在问题)‎ ‎11.若函数在[t,t+1]上不单调，则t的取值范围是 ；‎ 答案 (考查导数确定函数单调性)‎ ‎12.设若在上存在单调递增区间，则的取值范围值是 ；答案 (考查导数确定函数单调性)‎ ‎13．设函数 ‎ （1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；‎ ‎ （2）若在上为减函数，求的取值范围.‎ 答案 (1) (2) (考查导数的应用)‎ ‎14.设函数 ‎ ‎（1）当m=e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值;‎ ‎（2）若对任意b>a>0, 恒成立，求m的取值范围.‎ 答案 (1) (2) (考查函数极值, 不等式恒成立)‎ ‎15.现有一张长为80cm宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失，若长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x(cm),高为y(cm),体积为V（）.‎ ‎（1）求出x与y的关系式;‎ ‎（2）求该铁皮盒体积V的最大值.‎ 答案 (1) (2)32000(考查函数应用,函数的最值)‎ ‎16. 已知函数 ‎(1)讨论函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.‎ 答案 (1) 时，单调减；时，单调减，单调增 ‎(2) ‎ ‎(考查函数单调性, 不等式恒成立)‎ ‎17. 已知函数在处取得极值2.‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)上函数,若对任意的,总存在,使得 ‎,求实数的取值范围.‎ 答案 (1) (2) ‎ ‎(考查函数极值,不等式恒成立,存在问题)‎ ‎18.已知函数f(x)＝|x－a|－ln x，a∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2(x10，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．‎ 当a>0时，‎ f(x)＝|x－a|－ln x＝ 若x≥a，f′(x)＝1－＝>0，此时函数f(x)单调递增，‎ 若00时，函数f(x)的单调递减区间为(0，a)；单调递增区间为(a，＋∞)．‎ ‎(2)证明　由(1)知，当a≤0时，函数f(x)单调递增，至多只有一个零点，不合题意；‎ 则必有a>0，此时函数f(x)的单调递减区间为(0，a)；单调递增区间为(a，＋∞)，‎ 由题意，必须f(a)＝－ln a<0，解得a>1.‎ 由f(1)＝a－1－ln 1＝a－1>0，f(a)<0，得x1∈(1，a)．‎ 而f(a2)＝a2－a－aln a＝a(a－1－ln a)，‎ 下面证明：a>1时，a－1－ln a>0.‎ 设g(x)＝x－1－ln x，x>1，‎ 则g′(x)＝1－＝>0，‎ ‎∴g(x)在x>1时递增，则g(x)>g(1)＝0，‎ ‎∴f(a2)＝a2－a－aln a＝a(a－1－ln a)>0，又f(a)<0，‎ ‎∴x2∈(a，a2)，综上，1

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