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文档介绍
2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)
2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学(理)试题 一、单选题 1.若复数,则其虚部为( ) A.1 B. C.2 D. 【答案】A 【解析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数,化简复数为a+bi的形式,即可得到复数的虚部. 【详解】 因为复数i. 所以复数的虚部1 故选:A. 【点睛】 本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的基本概念,考查计算能力. 2.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解不等式得出集合B,根据交集的定义写出A∩B. 【详解】 ,则 故选:C 【点睛】 本题考查了解不等式与交集的运算问题,是基础题. 3.已知等比数列的各项均为正实数,其前项和为,若,,则( ) A.32 B.31 C.64 D.63 【答案】B 【解析】设首项为a1,公比为q,由,又a3=4,可得q=2,再利用求和公式即可得出. 【详解】 设首项为a1,公比为q>0,由,又a3=4, ∴q=2, 又因为,所以a1=1,所以S5=31, 故选:B. 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 4.已知则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可得,=,由的性质可得a<c,同理可得,=,由可得c<b,可得答案. 【详解】 解:由题意得:,=, 在为单调递增函数,a<c, 同理可得:,=, 在R上为单调递增函数,c<b, 综上, 故选C. 【点睛】 本题主要考查利用指数函数、幂函数比较函数值的大小,需熟练掌握指数函数、幂函数的性质. 5.若,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意利用二倍角公式可得sinx+cosx,平方利用同角三角函数的基本关系,可得sin2x的值. 【详解】 ∵sinx+2cos2sinx+cosx+1,∴sinx+cosx,平方可得1+2sinxcosx, 则sin2x=2sinxcosx, 故选:B. 【点睛】 本题主要考查二倍角公式,同角三角函数的基本关系,属于基础题. 6.已知,则( ) A.81 B.80 C.65 D.64 【答案】B 【解析】分别令,代入原式,即可求出结果. 【详解】 因为 令,可得,即; 令,可得:,即, 所以. 故选:B 【点睛】 本题主要考查二项式定理的应用,熟记二项式定理即可,属于常考题型. 7.已知变量,满足,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由约束条件作出可行域,再由z的几何意义求解得答案. 【详解】 由变量x,y满足作出可行域如图: A(2,3),解得B(,), z的几何意义为可行域内动点与定点D(3,﹣1)连线的斜率. ∵kDA4,kDB13. ∴z的取值范围是[﹣13,﹣4]. 故选:B. 【点睛】 本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题. 8.已知扇形,,扇形半径为,是弧上一点,若,则( ). A. B. C. D. 【答案】D 【解析】将已知等式两边同时平方,利用数量积的运算法则计算,可得到cos,即可求得结果. 【详解】 由,两边同时平方得=, 则有3=4+1+2=5+22cos, ∴cos,,故选D. 【点睛】 本题考查了向量数量积的运算,考查了夹角的求法,属于基础题. 9.一个几何体的三视图如图所示.则其体积为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】先由三视图还原该几何体,得到几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥,再根据图中数据,结合棱柱与棱锥的体积公式即可得出结果. 【详解】 由三视图还原该几何体如下: 该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥, 因此其体积为:. 故选:C 【点睛】 本题主要考查由三视图求几何体的体积,熟记几何体的结构特征,以及棱锥与棱柱的体积公式即可,属于常考题型. 10.在三棱锥中,,,,,则三棱锥外接球的体积的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由三角形全等可得∠ABD=∠ACD=90°,故而AD为棱锥外接球的直径,根据勾股定理得出AD关于AB的函数,求出AD的最小值即可得出答案. 【详解】 ∵AB=AC,DB=DC,AD为公共边, ∴△ABD≌△ACD, 又AB⊥BD,即∠ABD=90°,∴∠ACD=90°, 设AD的中点为O,则OA=OB=OD=OC, ∴O为棱锥A﹣BCD的外接球的球心. ∵AB+BD=4,∴AD2=AB2+(4﹣AB)2=2AB2﹣8AB+16=2(AB﹣2)2+8, ∴当AB=2时,AD2取得最小值8,即AD的最小值为2, ∴棱锥外接球的最小半径为AD, ∴外接球的最小体积为V. 故选:C. 【点睛】 本题考查了棱锥的结构特征,棱锥与外接球的位置关系,确定球心位置是解题的关键,属于中档题. 11.已知函数,若,且 ,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析:作出函数的图象,利用消元法转化为关于的函数,构造函数求得函数的导数,利用导数研究函数的单调性与最值,即可得到结论. 详解:作出函数的图象,如图所示,若,且, 则当时,得,即, 则满足, 则,即,则, 设,则, 当,解得,当,解得, 当时,函数取得最小值, 当时,; 当时,, 所以,即的取值范围是,故选A. 点睛:本题主要考查了分段函数的应用,构造新函数,求解新函数的导数,利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键,着重考查了转化与化归的数学思想方法,以及分析问题和解答问题的能力,试题有一定的难度,属于中档试题. 12.已知实数满足,,则 的最大值为( ) A. B.2 C. D.4 【答案】D 【解析】设点在圆上,且,原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值,据此数形结合确定的最大值即可. 【详解】 设点在圆上,且, 原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值, 如图所示,易知取得最大值时点A,C均位于直线下方, 作直线于点,直线于点, 取的中点,作直线于点, 由梯形中位线的性质可知, 当直线时,直线方程为, 两平行线之间的距离:, 由圆的性质, 综上可得:的最大值. 本题选择D选项. 【点睛】 本题主要考查距离公式的应用,等价转化的数学思想,数形结合的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题 13.的值为________. 【答案】1 【解析】根据微积分基本定理,可直接计算出结果. 【详解】 . 故答案为: 【点睛】 本题主要考查求定积分,熟记微积分基本定理即可,属于基础题型. 14.已知双曲线虚轴的一个端点到它的一条渐近线的距离为,则双曲线的离心率为______. 【答案】2 【解析】设双曲线的一个虚轴的端点为(0,b),渐近线方程为y=bx,运用点到直线的距离公式可得b,再由离心率公式,可得所求值. 【详解】 设双曲线虚轴的一个端点(0,b)到 它的一条渐近线y=bx(b>0)的距离为, 可得, 解得b, 则双曲线的离心率e2, 故答案为:2 【点睛】 本题考查双曲线的方程和性质,主要是离心率和渐近线方程,考查点到直线的距离公式,考查方程思想和运算能力,属于基础题. 15.已知递增的等差数列的前n项和为,且,.若,数列的前项和为,则________. 【答案】 【解析】先由数列为递增的等差数列,得到,公差,根据,,求出首项与公差,得到,求出,根据裂项相消的方法即可求出结果. 【详解】 因为为递增的等差数列,所以,公差, 又为等差数列的前n项和,, 所以,即, 由,解得:或,所以或(舍); 因此, 所以, 又数列的前项和为, 所以 . 故答案为: 【点睛】 本题主要考查求数列的和,熟记裂项相消法,以及等差数列的通项公式与求和公式即可,属于常考题型. 三、解答题 16.已知函数,,且,, 恒成立,则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】先由恒成立,得到恒成立,令,得到在上恒成立,所以函数在区间上单调递减,对函数求导,得到在上恒成立,推出在上恒成立,令,用导数的方法研究其单调性,求出最值,即可得出结果. 【详解】 因为,,恒成立, 即恒成立,即恒成立, 令,则在上恒成立, 即函数在区间上单调递减, 又, 因此在上恒成立, 当时,不等式可化为显然成立; 当时,不等式可化为, 令, 则在区间上恒成立, 所以函数在区间上单调递减, 因此,所以, 即实数a的取值范围是. 【点睛】 本题主要考查由不等式恒成立求参数,熟记导数的方法研究函数单调性,最值等即可,属于常考题型. 17.某调查机构为了解人们对某个产品的使用情况是否与性别有关,在网上进行了问卷调查,在调查结果中随机抽取了份进行统计,得到如下列联表: 男性 女性 合计 使用 15 5 20 不使用 10 20 30 合计 25 25 50 (1)请根据调查结果分析:你有多大把握认为使用该产品与性别有关; (2)在不使用该产品的人中,按性别用分层抽样抽取人,再从这人中随机抽取人参加某项活动,记被抽中参加该项活动的女性人数为,求的分布列和数学期望. 附:, 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有把握认为使用该产品与性别有关(2)详见解析 【解析】(1)由题中数据,根据得到的观测值,根据临界值表,即可得出结果; (2)由题意,根据分层抽样的方法得到抽取人则男性应抽取人,女性应抽取人,再从中随机抽取人参加某项活动,记女生的人数为,由题意确定的所有可能取值,求出对应的概率,进而可得出分布列,求出期望. 【详解】 (1)由题中数据可得, , 由于,所以有把握认为使用该产品与性别有关. (2)由列联表知,不使用该产品的人数为,其中男性人,女性人,按性别用分层抽样抽取人则男性应抽取人,女性应抽取人,再从中随机抽取人参加某项活动,记女生的人数为,则的所有可能取值为:,,, 且,,, 所以的概率分布列为 数学期望为:. 【点睛】 本题主要考查独立性检验,以及离散型随机变量的分布列与期望,熟记独立性检验的基本思想,以及离散型随机变量的分布列与期望的概念即可,属于常考题型. 18.已知,,分别是的三个内角,,的对边,且. (1)求角的值; (2)若,边上的中线的长为,求. 【答案】(1);(2) 【解析】(1)利用正弦定理,结合和角的正弦公式,即可求角A的值: (2)若AB=3,AC边上的中线BD的长为,求出AC,再求△ABC的面积. 【详解】 (1)由及正弦定理得:, 即, 即, 即, 因为,所以,则,又,所以. (2)在中,,,,由余弦定理得 ,所以,所以(负值舍去), 又为中点,所以. 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查三角形面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 19.如图,在三棱柱中,已知侧面,,,,点在棱上. (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)试确定点的位置,使得二面角的余弦值为. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)点在的中点. 【解析】试题分析:(Ⅰ)首先根据余弦定理计算,在中满足勾股定理,,然后根据题设所给的平面,得到,这样就证明了线面垂直的条件; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BC、BA、BC1两两垂直,以B为空间坐标系的原点,建立如图所示的坐标系,设,这样设点的坐标,求平面和平面的法向量,根据求,确定点E的位置. 试题解析:解:(Ⅰ)证明:∵BC=,CC1=BB1=2,∠BCC1=,在△BCC1中,由余弦定理,可求得C1B=, ∴C1B2+BC2=,即C1B⊥BC. 又AB⊥侧面BCC1B1,故AB⊥BC1,又CB∩AB=B,所以C1B⊥平面ABC; (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,BC、BA、BC1两两垂直,以B为空间坐标系的原点,建立如图所示的坐标系, 则B(0,0,0),A(0,2,0),C(,0,0),C1(0,0,),B1(﹣,0,), ∴=(0,2,﹣), 设,则=+λ=(0,0,﹣)+λ(﹣,0,)=(﹣λ,0,﹣+λ) 设平面AC1E的一个法向量为=(x,y,z),由,得, 令z=,取=(,1,), 又平面C1EC的一个法向量为=(0,1,0) 所以cos<,>===,解得λ=. 所以当λ=时,二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为. 【考点】1.空间向量的应用;2.线面垂直的证明. 【方法点睛】主要考察了空间向量的应用,属于基础题型,利用空间向量求立体几何中的常见问题的解决方法,(1)证明垂直时,证明线线垂直,即证明直线的方向向量的数量积等于0,证明线面垂直,即证明直线与平面内的两条相交直线的方向向量垂直,即数量积等于0,(2)求异面直线所成角,先求异面直线的方向向量,代入公式,(3)求线面角,先求直线的方向向量和平面的法向量,代入公式,(4)求二面角,先求两个平面的法向量,根据公式,根据二面角的大小确定二面角或. 20.已知,是椭圆:上的两点,线段的中点在直线上. (1)当直线的斜率存在时,求实数的取值范围; (2)设是椭圆的左焦点,若椭圆上存在一点,使,求的值. 【答案】(1);(2) 【解析】(1)设中点,利用点差法得,由点在椭圆内部得,即可求解k的范围 (2)向量坐标化得,,弦长公式得由点在椭圆上,得,进而得AB方程,与椭圆联立得,则可求 【详解】 (1)设,,则,, 两式相减得:, 由线段的中点在直线上,可设此中点,因为直线的斜率存在,所以, 设其斜率为,由式得,即. 由于弦的中点必在椭圆内部,则,解得. 又,所以斜率的取值范围为. (2)由(1)知,,因为椭圆的左焦点为, 所以,,设,则, ,,, 同理可得,因为点在椭圆上,所以, 解得.当时,,直线的方程为, 代入得,由根与系数关系得. 则. 由对称性知,当时也成立,. 【点睛】 本题考查直线与椭圆的位置关系,考查点差法的应用,熟练应用韦达定理及弦长公式求解计算是关键,是中档题 21.已知函数. (1)当时,求函数在上的最小值; (2)若,求证:. 【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】(1)由得,对其求导,解对应的不等式,判断单调性,即可得出最值; (2)先对函数求导,得到,根据,判断函数的单调性,求出最小值,再由导数的方法研究最小值的范围,即可证明结论成立. 【详解】 (1)当时,由,得, 当时,,在上单调递减; 当时,,在上单调递增,∴. (2)由题意,函数的定义域为,, 令,,则,设,则, 易知在上单调递增, ∵,∴,,所以存在唯一的,使, 当时,单调递减,当时,,单调递增, 又∵,, ∴当时,,即在上无零点, ∴存在唯一的,使,即, ∵,∴,则. 当时,,即,单调递减; 当时,,即,单调递增. ∴,. 令,则在上单调递减, ∵∴,又∵∴,从而. 【点睛】 本题主要考查求函数的最值,以及由导数的方法证明不等式恒成立,通常需要对函数求导,用导数的方法研究函数的单调性,极值,最值等即可,属于常考题型. 22.已知直线:与曲线:,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线和曲线的极坐标方程; (2)将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线,这两条直线与曲线分别交于异于极点的,两点,求的面积. 【答案】(1)直线:,曲线:;(2) 【解析】(1)利用 化极坐标方程; (2)由题极坐标方程为:,进而得, ,利用面积公式求解即可 【详解】 (1)则直线的方程为:,∴极坐标方程为:; 曲线的方程:,即,∴极坐标方程为:. (2)将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线,则极坐标方程为:, 设,,则,, 所以的面积. 【点睛】 本题考查极坐标与普通方程的应用,考查极坐标的几何意义,考查面积公式,准确应用几何意义是关键,是基础题 23.已知函数. (Ⅰ)当时,解不等式; (Ⅱ)若对任意,不等式都成立,求a的取值范围. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ) 【解析】(Ⅰ)当时,,分类讨论,即可求解不等式的解集; (Ⅱ)把不等式都成立,转化为恒成立,分类讨论即可求解. 【详解】 (Ⅰ)由题意,当时,, 故或或, 解得:或, 故不等式的解集是; (Ⅱ)若对任意,不等式都成立, 则恒成立, 当时,恒成立,故,解得:, 当时,,解得:, 综上,. 【点睛】 本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及不等式的恒成立问题,其中解答中熟记绝对值不等式的解法,以及不等式恒成立问题的转化是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.查看更多