2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)

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2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)

‎2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学(理)试题 一、单选题 ‎1.若复数,则其虚部为( )‎ A.1 B. C.2 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数,化简复数为a+bi的形式,即可得到复数的虚部.‎ ‎【详解】‎ 因为复数i.‎ 所以复数的虚部1‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的基本概念,考查计算能力.‎ ‎2.已知集合,,则( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】解不等式得出集合B,根据交集的定义写出A∩B.‎ ‎【详解】‎ ‎,则 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了解不等式与交集的运算问题,是基础题.‎ ‎3.已知等比数列的各项均为正实数,其前项和为,若,,则( )‎ A.32 B.31 C.64 D.63‎ ‎【答案】B ‎【解析】设首项为a1,公比为q,由,又a3=4,可得q=2,再利用求和公式即可得出.‎ ‎【详解】‎ 设首项为a1,公比为q>0,由,又a3=4,‎ ‎∴q=2,‎ 又因为,所以a1=1,所以S5=31,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎4.已知则( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得,=,由的性质可得a<c,同理可得,=,由可得c<b,可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解:由题意得:,=,‎ 在为单调递增函数,a<c,‎ 同理可得:,=,‎ 在R上为单调递增函数,c<b,‎ 综上,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用指数函数、幂函数比较函数值的大小,需熟练掌握指数函数、幂函数的性质.‎ ‎5.若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意利用二倍角公式可得sinx+cosx,平方利用同角三角函数的基本关系,可得sin2x的值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵sinx+2cos2sinx+cosx+1,∴sinx+cosx,平方可得1+2sinxcosx,‎ ‎ 则sin2x=2sinxcosx,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二倍角公式,同角三角函数的基本关系,属于基础题.‎ ‎6.已知,则( )‎ A.81 B.80 C.65 D.64‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别令,代入原式,即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为 令,可得,即;‎ 令,可得:,即,‎ 所以.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用,熟记二项式定理即可,属于常考题型.‎ ‎7.已知变量,满足,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由约束条件作出可行域,再由z的几何意义求解得答案.‎ ‎【详解】‎ 由变量x,y满足作出可行域如图:‎ A(2,3),解得B(,),‎ z的几何意义为可行域内动点与定点D(3,﹣1)连线的斜率.‎ ‎∵kDA4,kDB13.‎ ‎∴z的取值范围是[﹣13,﹣4].‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.‎ ‎8.已知扇形,,扇形半径为,是弧上一点,若,则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】将已知等式两边同时平方,利用数量积的运算法则计算,可得到cos,即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由,两边同时平方得=,‎ 则有3=4+1+2=5+22cos,‎ ‎∴cos,,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量数量积的运算,考查了夹角的求法,属于基础题.‎ ‎9.一个几何体的三视图如图所示.则其体积为( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由三视图还原该几何体,得到几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥,再根据图中数据,结合棱柱与棱锥的体积公式即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由三视图还原该几何体如下:‎ 该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥,‎ 因此其体积为:.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题主要考查由三视图求几何体的体积,熟记几何体的结构特征,以及棱锥与棱柱的体积公式即可,属于常考题型.‎ ‎10.在三棱锥中,,,,,则三棱锥外接球的体积的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三角形全等可得∠ABD=∠ACD=90°,故而AD为棱锥外接球的直径,根据勾股定理得出AD关于AB的函数,求出AD的最小值即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵AB=AC,DB=DC,AD为公共边,‎ ‎∴△ABD≌△ACD,‎ 又AB⊥BD,即∠ABD=90°,∴∠ACD=90°,‎ 设AD的中点为O,则OA=OB=OD=OC,‎ ‎∴O为棱锥A﹣BCD的外接球的球心.‎ ‎∵AB+BD=4,∴AD2=AB2+(4﹣AB)2=2AB2﹣8AB+16=2(AB﹣2)2+8,‎ ‎∴当AB=2时,AD2取得最小值8,即AD的最小值为2,‎ ‎∴棱锥外接球的最小半径为AD,‎ ‎∴外接球的最小体积为V.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了棱锥的结构特征,棱锥与外接球的位置关系,确定球心位置是解题的关键,属于中档题.‎ ‎11.已知函数,若,且 ,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析:作出函数的图象,利用消元法转化为关于的函数,构造函数求得函数的导数,利用导数研究函数的单调性与最值,即可得到结论.‎ 详解:作出函数的图象,如图所示,若,且,‎ 则当时,得,即,‎ 则满足,‎ 则,即,则,‎ 设,则,‎ 当,解得,当,解得,‎ 当时,函数取得最小值,‎ 当时,;‎ 当时,,‎ 所以,即的取值范围是,故选A.‎ 点睛:本题主要考查了分段函数的应用,构造新函数,求解新函数的导数,利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键,着重考查了转化与化归的数学思想方法,以及分析问题和解答问题的能力,试题有一定的难度,属于中档试题.‎ ‎12.已知实数满足,,则 的最大值为( )‎ A. B.2 C. D.4‎ ‎【答案】D ‎【解析】设点在圆上,且,原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值,据此数形结合确定的最大值即可.‎ ‎【详解】‎ 设点在圆上,且,‎ 原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值,‎ 如图所示,易知取得最大值时点A,C均位于直线下方,‎ 作直线于点,直线于点,‎ 取的中点,作直线于点,‎ 由梯形中位线的性质可知,‎ 当直线时,直线方程为,‎ 两平行线之间的距离:,‎ 由圆的性质,‎ 综上可得:的最大值.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查距离公式的应用,等价转化的数学思想,数形结合的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 二、填空题 ‎13.的值为________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】根据微积分基本定理,可直接计算出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求定积分,熟记微积分基本定理即可,属于基础题型.‎ ‎14.已知双曲线虚轴的一个端点到它的一条渐近线的距离为,则双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设双曲线的一个虚轴的端点为(0,b),渐近线方程为y=bx,运用点到直线的距离公式可得b,再由离心率公式,可得所求值.‎ ‎【详解】‎ 设双曲线虚轴的一个端点(0,b)到 它的一条渐近线y=bx(b>0)的距离为,‎ 可得,‎ 解得b,‎ 则双曲线的离心率e2,‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程和性质,主要是离心率和渐近线方程,考查点到直线的距离公式,考查方程思想和运算能力,属于基础题.‎ ‎15.已知递增的等差数列的前n项和为,且,.若,数列的前项和为,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由数列为递增的等差数列,得到,公差,根据,,求出首项与公差,得到,求出,根据裂项相消的方法即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为为递增的等差数列,所以,公差,‎ 又为等差数列的前n项和,,‎ 所以,即,‎ 由,解得:或,所以或(舍);‎ 因此,‎ 所以,‎ 又数列的前项和为,‎ 所以 ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求数列的和,熟记裂项相消法,以及等差数列的通项公式与求和公式即可,属于常考题型.‎ 三、解答题 ‎16.已知函数,,且,,‎ 恒成立,则实数a的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由恒成立,得到恒成立,令,得到在上恒成立,所以函数在区间上单调递减,对函数求导,得到在上恒成立,推出在上恒成立,令,用导数的方法研究其单调性,求出最值,即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,,恒成立,‎ 即恒成立,即恒成立,‎ 令,则在上恒成立,‎ 即函数在区间上单调递减,‎ 又,‎ 因此在上恒成立,‎ 当时,不等式可化为显然成立;‎ 当时,不等式可化为,‎ 令,‎ 则在区间上恒成立,‎ 所以函数在区间上单调递减,‎ 因此,所以,‎ 即实数a的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由不等式恒成立求参数,熟记导数的方法研究函数单调性,最值等即可,属于常考题型.‎ ‎17.某调查机构为了解人们对某个产品的使用情况是否与性别有关,在网上进行了问卷调查,在调查结果中随机抽取了份进行统计,得到如下列联表:‎ 男性 女性 合计 使用 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 不使用 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 合计 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ ‎(1)请根据调查结果分析:你有多大把握认为使用该产品与性别有关;‎ ‎(2)在不使用该产品的人中,按性别用分层抽样抽取人,再从这人中随机抽取人参加某项活动,记被抽中参加该项活动的女性人数为,求的分布列和数学期望.‎ 附:,‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1)有把握认为使用该产品与性别有关(2)详见解析 ‎【解析】(1)由题中数据,根据得到的观测值,根据临界值表,即可得出结果;‎ ‎(2)由题意,根据分层抽样的方法得到抽取人则男性应抽取人,女性应抽取人,再从中随机抽取人参加某项活动,记女生的人数为,由题意确定的所有可能取值,求出对应的概率,进而可得出分布列,求出期望.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题中数据可得,‎ ‎,‎ 由于,所以有把握认为使用该产品与性别有关.‎ ‎(2)由列联表知,不使用该产品的人数为,其中男性人,女性人,按性别用分层抽样抽取人则男性应抽取人,女性应抽取人,再从中随机抽取人参加某项活动,记女生的人数为,则的所有可能取值为:,,,‎ 且,,,‎ 所以的概率分布列为 数学期望为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查独立性检验,以及离散型随机变量的分布列与期望,熟记独立性检验的基本思想,以及离散型随机变量的分布列与期望的概念即可,属于常考题型.‎ ‎18.已知,,分别是的三个内角,,的对边,且.‎ ‎(1)求角的值;‎ ‎(2)若,边上的中线的长为,求.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)利用正弦定理,结合和角的正弦公式,即可求角A的值:‎ ‎(2)若AB=3,AC边上的中线BD的长为,求出AC,再求△ABC的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由及正弦定理得:,‎ 即,‎ 即,‎ 即,‎ 因为,所以,则,又,所以.‎ ‎(2)在中,,,,由余弦定理得 ‎,所以,所以(负值舍去),‎ 又为中点,所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查三角形面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎19.如图,在三棱柱中,已知侧面,,,,点在棱上.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)试确定点的位置,使得二面角的余弦值为.‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)点在的中点.‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)首先根据余弦定理计算,在中满足勾股定理,,然后根据题设所给的平面,得到,这样就证明了线面垂直的条件;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,BC、BA、BC1两两垂直,以B为空间坐标系的原点,建立如图所示的坐标系,设,这样设点的坐标,求平面和平面的法向量,根据求,确定点E的位置.‎ 试题解析:解:(Ⅰ)证明:∵BC=,CC1=BB1=2,∠BCC1=,在△BCC1中,由余弦定理,可求得C1B=,‎ ‎∴C1B2+BC2=,即C1B⊥BC. ‎ 又AB⊥侧面BCC1B1,故AB⊥BC1,又CB∩AB=B,所以C1B⊥平面ABC; ‎ ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,BC、BA、BC1两两垂直,以B为空间坐标系的原点,建立如图所示的坐标系,‎ 则B(0,0,0),A(0,2,0),C(,0,0),C1(0,0,),B1(﹣,0,),‎ ‎∴=(0,2,﹣),‎ 设,则=+λ=(0,0,﹣)+λ(﹣,0,)=(﹣λ,0,﹣+λ)‎ 设平面AC1E的一个法向量为=(x,y,z),由,得,‎ 令z=,取=(,1,),‎ 又平面C1EC的一个法向量为=(0,1,0)‎ 所以cos<,>===,解得λ=.‎ 所以当λ=时,二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为. ‎ ‎【考点】1.空间向量的应用;2.线面垂直的证明.‎ ‎【方法点睛】主要考察了空间向量的应用,属于基础题型,利用空间向量求立体几何中的常见问题的解决方法,(1)证明垂直时,证明线线垂直,即证明直线的方向向量的数量积等于0,证明线面垂直,即证明直线与平面内的两条相交直线的方向向量垂直,即数量积等于0,(2)求异面直线所成角,先求异面直线的方向向量,代入公式,(3)求线面角,先求直线的方向向量和平面的法向量,代入公式,(4)求二面角,先求两个平面的法向量,根据公式,根据二面角的大小确定二面角或.‎ ‎20.已知,是椭圆:上的两点,线段的中点在直线上.‎ ‎(1)当直线的斜率存在时,求实数的取值范围;‎ ‎(2)设是椭圆的左焦点,若椭圆上存在一点,使,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)设中点,利用点差法得,由点在椭圆内部得,即可求解k的范围 ‎(2)向量坐标化得,,弦长公式得由点在椭圆上,得,进而得AB方程,与椭圆联立得,则可求 ‎【详解】‎ ‎(1)设,,则,,‎ 两式相减得:,‎ 由线段的中点在直线上,可设此中点,因为直线的斜率存在,所以,‎ 设其斜率为,由式得,即.‎ 由于弦的中点必在椭圆内部,则,解得.‎ 又,所以斜率的取值范围为.‎ ‎(2)由(1)知,,因为椭圆的左焦点为,‎ 所以,,设,则,‎ ‎,,,‎ 同理可得,因为点在椭圆上,所以,‎ 解得.当时,,直线的方程为,‎ 代入得,由根与系数关系得.‎ 则.‎ 由对称性知,当时也成立,.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆的位置关系,考查点差法的应用,熟练应用韦达定理及弦长公式求解计算是关键,是中档题 ‎21.已知函数.‎ ‎(1)当时,求函数在上的最小值;‎ ‎(2)若,求证:.‎ ‎【答案】(1)(2)证明见解析 ‎【解析】(1)由得,对其求导,解对应的不等式,判断单调性,即可得出最值;‎ ‎(2)先对函数求导,得到,根据,判断函数的单调性,求出最小值,再由导数的方法研究最小值的范围,即可证明结论成立.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当时,由,得,‎ 当时,,在上单调递减;‎ 当时,,在上单调递增,∴.‎ ‎(2)由题意,函数的定义域为,,‎ 令,,则,设,则,‎ 易知在上单调递增,‎ ‎∵,∴,,所以存在唯一的,使,‎ 当时,单调递减,当时,,单调递增,‎ 又∵,,‎ ‎∴当时,,即在上无零点,‎ ‎∴存在唯一的,使,即,‎ ‎∵,∴,则.‎ 当时,,即,单调递减;‎ 当时,,即,单调递增.‎ ‎∴,.‎ 令,则在上单调递减,‎ ‎∵∴,又∵∴,从而.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求函数的最值,以及由导数的方法证明不等式恒成立,通常需要对函数求导,用导数的方法研究函数的单调性,极值,最值等即可,属于常考题型.‎ ‎22.已知直线:与曲线:,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求直线和曲线的极坐标方程;‎ ‎(2)将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线,这两条直线与曲线分别交于异于极点的,两点,求的面积.‎ ‎【答案】(1)直线:,曲线:;(2)‎ ‎【解析】(1)利用 化极坐标方程;‎ ‎(2)由题极坐标方程为:,进而得,‎ ‎,利用面积公式求解即可 ‎【详解】‎ ‎(1)则直线的方程为:,∴极坐标方程为:;‎ 曲线的方程:,即,∴极坐标方程为:.‎ ‎(2)将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线,则极坐标方程为:,‎ 设,,则,,‎ 所以的面积.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标与普通方程的应用,考查极坐标的几何意义,考查面积公式,准确应用几何意义是关键,是基础题 ‎23.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,解不等式;‎ ‎(Ⅱ)若对任意,不等式都成立,求a的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】(Ⅰ)当时,,分类讨论,即可求解不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)把不等式都成立,转化为恒成立,分类讨论即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由题意,当时,,‎ 故或或,‎ 解得:或,‎ 故不等式的解集是; ‎ ‎(Ⅱ)若对任意,不等式都成立,‎ 则恒成立,‎ 当时,恒成立,故,解得:,‎ 当时,,解得:,‎ 综上,.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及不等式的恒成立问题,其中解答中熟记绝对值不等式的解法,以及不等式恒成立问题的转化是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎
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