2018-2019学年新疆乌鲁木齐市第四中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年新疆乌鲁木齐市第四中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年新疆乌鲁木齐市第四中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，求（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解出集合、，再利用集合交集运算律可求出集合。‎ ‎【详解】‎ 解不等式，即，解得，.‎ 解不等式，解得，，‎ 因此，，故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，解出不等式得出两个集合是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎2．的值等于(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】；故选C.‎ ‎3．已知向量，，，且，则（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】先计算出的坐标，再利用平面向量数量积的坐标运算律并结合条件可得出的值。‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 解得，故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量坐标的运算以及数量积的坐标运算，熟悉这些平面向量坐标运算律是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎4．下列命题正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】利用特殊值法和不等式的性质来判断各选项的正误。‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，当时，，A选项错误；‎ 对于B选项，取，，，，则，，不成立，B选项错误；‎ 对于C选项，取，，，，则，，不成立，C选项错误；‎ 对于D选项，当时，则，由于，所以，，D选项正确.‎ 故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式有关命题的判断，常用不等式的基本性质以及特殊值法去检验，考查逻辑推理能力，属于基础题。‎ ‎5．若三角形的三个内角成等差数列，则第二大的角度数为( )‎ A．度 B．度 C．度 D．度 ‎【答案】C ‎【解析】设三个角依次为、、且，利用等差中项和三角形的内角和定理可得出的大小。‎ ‎【详解】‎ 设三个角依次为、、且，则有，解得，‎ 因此，第二大角的度数为度，故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形内角和定理以及等差中项的性质，意在考查学生对这些基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎6．已知等比数列的公比，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将题中的项利用和表示，并提公因式，约简后可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，‎ 故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列中基本量的计算，解题的关键就是利用等比数列的首项和公比来表示题中的量，并进行约简，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎7．已知数列、、、、成等差数列，、、、、成等比数列，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差中项和等比中项的性质分别求出和，于此可求出的值。‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，是和的等差中项，则，‎ 设等比数列、、、、的公比为，则，，‎ 且为和的等比中项，所以，，因此，，故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差中项和等比中项的求解，解题关键就是等差中项和等比中项定义的应用，同时要注意考查等比中项的符号，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎8．函数的对称中心为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，得出的表达式，然后对赋值，可得出函数的一个对称中心坐标。‎ ‎【详解】‎ 令，得，令，则，且，‎ 因此，函数的一个对称中心坐标为，故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数对称中心的求解，对于函数的对称中心，令 ‎，可得出对称中心的横坐标，纵坐标为，从而可得出函数的对称中心坐标，意在考查学生对正弦函数对称性的理解，属于中等题。‎ ‎9．已知函数，求（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据分段函数的定义域以及自变量选择合适的解析式由内到外计算的值。‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，因此，‎ ‎，‎ 故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数求值，解题时要根据自变量的取值选择合适的解析式进行计算，另外在求函数值时，遵循由内到外的原则进行，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎10．在直角梯形中，，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，计算出的三条边长，然后利用余弦定理计算出。‎ ‎【详解】‎ 如下图所示，不妨设，则，过点作，垂足为点，‎ 易知四边形是正方形，则，，‎ 在中，，同理可得，‎ 在中，由余弦定理得，‎ 故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎11．已知数列的通项公式为，它的前项和，则项数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将数列的通项进行分母有理化得出，并利用裂项法求出数列的前项和，然后解方程，可得出的值。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，即，解得，故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查裂项求和法，熟悉裂项法求和对数列通项的要求以及裂项法求和的基本步骤是解题的关键，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎12．已知等差数列、，其前项和分别为、，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用等差数列的前项和公式以及等差中项的性质得出，于此可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 由等差数列的前项和公式以及等差中项的性质得，‎ 同理可得，因此，，故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列前和公式以及等差中项性质的应用，解题关键在于等差数列下标性质的应用，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题。‎ 二、填空题 ‎13．等比数列，，，则__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】利用等比中项的性质得出，于此可计算出的值。‎ ‎【详解】‎ 由等比中项的性质得，因此，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比中项的应用，解题关键就是利用等比中项的性质列出等式进行计算，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎14．判断大小，，，，则、、、大小关系为_____________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】利用中间值、来比较，得出，，，，再利用中间值得出、的大小关系，从而得出、、、的大小关系。‎ ‎【详解】‎ 由对数函数的单调性得，，即，‎ ‎，即，，即。‎ 又，即，‎ 因此，，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数值的大小比较，对数值大小比较常用的方法如下：‎ ‎（1）底数相同真数不同，可以利用同底数的对数函数的单调性来比较；‎ ‎（2）真数相同底数不同，可以利用对数函数的图象来比较或者利用换底公式结合不等式的性质来比较；‎ ‎（3）底数不同真数也不同，可以利用中间值法来比较。‎ ‎15．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，前三个数的和为，后三个数的和为，则这四个数分别为______________________.‎ ‎【答案】、、、或、、、.‎ ‎【解析】先利用等差中项的性质得出第二个数为，并设后两个数为，‎ ‎，利用后三个数之和为列方程求出的值，进而可求出四个数。‎ ‎【详解】‎ 设前三个数记为、、，则，由题意可得，得，‎ 设后三个数分别为、、，由题意可得，整理得，‎ 解得或.‎ 当时，则这四个数分别为、、、；‎ 当时，则这四个数分别为、、、。‎ 故答案为：、、、或、、、。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列和等比数列性质的应用，利用对称设项的思想能简化计算，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎16．已知数列为 ；其前n项和为_____________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】将数列的通项化简，将其裂项，利用裂项求和法求出前项和。‎ ‎【详解】‎ ‎，设该数列的前项和为，‎ 因此，，‎ 故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的裂项求和法，要熟悉裂项求和法对数列通项的基本要求，同时要注意裂项法求和的基本步骤，考查计算能力，属于中等题。‎ 三、解答题 ‎17．等差数列中，，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由得出等差数列的公差为，再利用，得出的值，再利用等差数列的通项公式求出数列的通项公式；‎ ‎（2）求出数列的通项公式，再利用分组求和法求出.s ‎【详解】‎ ‎（1），等差数列的公差为，‎ ‎，解得，‎ 因此，；‎ ‎（2），‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项与分组求和法，对于等差数列通项，一般利用首项和公差建立方程组求解，对于等差与等比相加所构成的新数列，一般利用分组求和法进行求和，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎18．已知二次函数，两个根之和为，两根之积为，且过点.‎ ‎（1）求的解集；‎ ‎（2）当，试确定的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）先根据题中列方程组求出、、的值，可得出二次函数的解析式，然后再利用二次不等式的解法解不等式可得出解集；‎ ‎（2）考查与和的大小关系，利用函数的单调性得出函数在区间的最值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得，解得，，‎ 解不等式，即，即，解得，‎ 因此，不等式的解集为；‎ ‎（2）.‎ ‎①当时，函数在区间上单调递减，则；‎ ‎②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ ‎，，则；‎ ‎③当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ ‎，，则.‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次不等式的解法，考查二次函数最值的求解，在求解二次函数在区间上的最值时，将对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合单调性得出函数的最值，考查分类讨论数学思想，属于中等题。‎ ‎19．已知向量，，.‎ ‎（1）求的单调减区间；‎ ‎（2）当时，求的值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）先将函数的解析式利用平面向量数量积的坐标运算，二倍角降幂公式以及辅助角公式化简得，再由，解出该不等式可得出函数的单调递减区间；‎ ‎（2）由，计算出的范围，可得出的取值范围，于此得出函数的值域。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 由于函数的单调递减区间为，‎ 解不等式，得，‎ 因此，函数的单调递减区间为；‎ ‎（2），，，‎ ‎，因此，函数的值域为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数的单调区间和值域的求解，考查平面向量数量积的坐标运算，在解这类问题时，首先应该利用二倍角降幂公式、两角和差公式以及辅助角公式将函数解析式进行化简，并将角视为一个整体，结合正弦函数的性质求解，属于常考题。‎ ‎20．的内角、、的对边分别为、、，已知.‎ ‎（1）求角的度数；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想得出，由并结合两角和的正弦公式可计算出的值，于是可得出的值；‎ ‎（2）利用余弦定理可计算出的值，再利用三角形的面积公式可计算出的面积。‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，‎ 即，‎ 则，‎ ‎，，，则，‎ ‎，；‎ ‎（2）由余弦定理得，‎ 代入数据得，解得，‎ 因此，的面积为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理与余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，在解三角形的问题时，要根据已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理进行求解，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎21．已知递增等比数列，，，另一数列其前项和.‎ ‎（1）求、通项公式；‎ ‎（2）设其前项和为，求.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】（1）由等比数列的性质得出，可求出和的值，求出等差数列的首项和公式，可得出数列的通项公式，然后利用求出数列的通项公式；‎ ‎（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等比数列的公比为，由题意可知，‎ 由等比数列的性质可得，所以，解得，‎ ‎，得，.‎ 当时，；‎ 当且时，.‎ 也适合上式，所以，；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 则，‎ 上式下式，得 ‎ ，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列通项的求解，考查利用前项和求通项以及错位相减法求和，解题时要注意错位相加法所适用的数列通项的结构类型，熟悉错位相减法求和的基本步骤，难点就是计算量大，属于常考题型。‎