高中数学人教a版选修4-4阶段质量检测（二）a卷word版含解析

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阶段质量检测（二） A 卷 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 6 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．已知曲线的方程为 x＝2t， y＝t (t 为参数)，则下列点中在曲线上的是( ) A．(1,1) B．(2,2) C．(0,0) D．(1,2) 解析：选 C 当 t＝0 时，x＝0 且 y＝0，即点(0,0)在曲线上． 2．(北京高考)曲线 x＝－1＋cos θ， y＝2＋sin θ (θ为参数)的对称中心( ) A．在直线 y＝2x 上 B．在直线 y＝－2x 上 C．在直线 y＝x－1 上 D．在直线 y＝x＋1 上 解析：选 B 曲线 x＝－1＋cos θ， y＝2＋sin θ (θ为参数)的普通方程为 (x＋1)2＋(y－2)2＝1，该曲线为圆，圆心(－1,2)为曲线的对称中心，其在直线 y＝－2x 上，故选 B. 3．直线 l 的参数方程为 x＝a＋t y＝b＋t (t 为参数)，l 上的点 P1 对应的参数是 t1，则点 P1 与 P(a，b)之间的距离是( ) A．|t1| B．2|t1| C. 2|t1| D. 2 2 |t1| 解析：选 C ∵P1(a＋t1，b＋t1)，P(a，b)， ∴|P1P|＝ a＋t1－a2＋b＋t1－b2＝ t21＋t21＝ 2|t1|. 4．已知三个方程：① x＝t， y＝t2， ② x＝tan t， y＝tan2t， ③ x＝sin t， y＝sin2t (都是以 t 为参数)．那么表示同一曲线的方程是( ) A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 解析：选 B ①②③的普通方程都是 y＝x2，但①②中 x 的取值范围相同，都是 x∈R， 而③中 x 的取值范围是－1≤x≤1. 5．参数方程 x＝t＋1 t y＝－2 (t 为参数)所表示的曲线是( ) A．一条射线 B．两条射线 C．一条直线 D．两条直线 解析：选 B 因为 x＝t＋1 t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， 即 x≤－2 或 x≥2，故是两条射线． 6．已知曲线 C 的参数方程为 x＝6＋ 4 cos θ y＝5tan θ－3 (θ为参数，π≤θ＜2π)．已知点 M(14，a) 在曲线 C 上，则 a＝( ) A．－3－5 3 B．－3＋5 3 C．－3＋5 3 3 D．－3－5 3 3 解析：选 A ∵(14，a)在曲线 C 上， ∴ 14＝6＋ 4 cos θ ① a＝5tan θ－3 ② 由①得：cos θ＝1 2 ，又π≤θ＜2π. ∴sin θ＝－ 1－1 2 2＝－ 3 2 ，∴tan θ＝－ 3. ∴a＝5·(－ 3)－3＝－3－5 3. 7．直线 x＝－2－ 2t， y＝3＋ 2t (t 为参数)上与点 P(－2,3)的距离等于 2的点的坐标是( ) A．(－4,5) B．(－3,4) C．(－3,4)或(－1,2) D．(－4,5)或(0,1) 解析：选 C 可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的非 标准式中参数的几何意义可得 － 22＋ 22·|t|＝ 2，解得 t＝± 2 2 ，将 t 代入原方程，得 x＝－3， y＝4 或 x＝－1， y＝2， 所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1,2)． 8 ． 若 圆 的 参 数 方 程 为 x＝－1＋2cos θ， y＝3＋2sin θ (θ 为 参 数 ) ， 直 线 的 参 数 方 程 为 x＝2t－1， y＝6t－1 (t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( ) A．过圆心 B．相交而不过圆心 C．相切 D．相离 解析：选 B 将圆、直线的参数方程化成普通方程，利用圆心到直线的距离与圆的半 径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径，并且圆心不在直线上． 9．设 F1 和 F2 是双曲线 x＝2sec θ， y＝tan θ (θ为参数)的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满 足∠F1PF2＝90°，那么△F1PF2 的面积是( ) A．1 B. 5 2 C．2 D．5 解析：选 A 方程化为普通方程是x2 4 －y2＝1，∴b＝1. 由题意，得 |PF1|2＋|PF2|2＝4c2， |PF1|－|PF2|2＝4a2. ∴2|PF1|·|PF2|＝4b2. ∴S＝1 2|PF1|·|PF2|＝b2＝1. 10．已知方程 x2－ax＋b＝0 的两根是 sin θ和 cos θ |θ|≤π 4 ，则点(a，b)的轨迹是( ) A．椭圆弧 B．圆弧 C．双曲线弧 D．抛物线弧 解析：选 D 由题知 sin θ＋cos θ＝a， sin θ·cos θ＝b， 即 a＝sin θ＋cos θ， b＝sin θ·cos θ. a2－2b＝(sin θ＋cos θ)2－2sin θ·cos θ＝1. 又|θ|≤π 4.∴表示抛物线弧． 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分．把答案填写在题中的横线上) 11．若直线 l：y＝kx 与曲线 C： x＝2＋cos θ， y＝sin θ (参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数 k＝________. 解析：曲线 C 的普通方程为(x－2)2＋y2＝1，由题意知，|2k－0| 1＋k2 ＝1，∴k＝± 3 3 . 答案：± 3 3 12．(湖南高考)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l： x＝t， y＝t－a (t 为参数)过椭圆 C： x＝3cos φ， y＝2sin φ (φ为参数)的右顶点，则常数 a 的值为________． 解析：由直线 l 的参数方程 x＝t， y＝t－a (t 为参数)消去参数 t 得直线 l 的一般方程：y＝x －a，由椭圆的参数方程可知其右顶点为(3,0)．因为直线 l 过椭圆的右顶点，所以 3－a＝0， 即 a＝3. 答案：3 13．已知点 P 在直线 x＝3＋4t， y＝1＋3t (t 为参数)上，点 Q 为曲线 x＝5 3cos θ， y＝3sin θ (θ为参数) 上的动点，则|PQ|的最小值等于________． 解析：直线方程为 3x－4y－5＝0，由题意，点 Q 到直线的距离 d＝|5cos θ－12sin θ－5| 5 ＝|13cosθ＋φ－5| 5 ， ∴dmin＝8 5 ，即|PQ|min＝8 5. 答案：8 5 14．(天津高考)已知抛物线的参数方程为 x＝2pt2， y＝2pt (t 为参数)，其中 p>0，焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为 E. 若|EF|＝|MF|，点 M 的横坐标是 3，则 p＝________. 解析：由题意知，抛物线的普通方程为 y2＝2px(p>0)，焦点 F p 2 ，0 ，准线 x＝－p 2 ，设 准线与 x 轴的交点为 A.由抛物线定义可得|EM|＝|MF|，所以△MEF 是正三角形， 在 Rt△EFA 中，|EF|＝2|FA|，即 3＋p 2 ＝2p，得 p＝2. 答案：2 三、解答题(本大题共 6 个小题，满分 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 15．(本小题满分 10 分)求曲线 C1： x＝ 2 t2＋1 ， y＝ 2t t2＋1 . (t 为参数)被直线 l：y＝x－1 2 所截得 的线段长． 解：曲线 C1： x＝ 2 t2＋1 ，① y＝ 2t t2＋1 ，② ② ① 得 t＝y x ，代入①，化简得 x2＋y2＝2x. 又 x＝ 2 t2＋1 ≠0， ∴C1 的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠0)． 圆 C1 的圆心到直线 l：y＝x－1 2 的距离 d＝ |1－0－1 2| 2 ＝ 1 2 2 . 所求弦长为 2 1－d2＝ 14 2 . 16．(本小题满分 12 分)已知实数 x，y 满足 x2＋(y－1)2＝1，求 t＝x＋y 的最大值． 解：方程 x2＋(y－1)2＝1 表示以(0,1)为圆心，以 1 为半径的圆． ∴其参数方程为 x＝cos θ， y＝1＋sin θ. ∴t＝x＋y＝cos θ＋sin θ＋1 ＝ 2sin(θ＋π 4)＋1 ∴当 sin (θ＋π 4)＝1 时 tmax＝ 2＋1. 17．(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x＝cos φ， y＝sin φ， (φ 为参数)，曲线 C2 的参数方程为 x＝acos φ， y＝bsin φ， (a＞b＞0，φ为参数)．在以 O 为极点，x 轴 的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l：θ＝α与 C1，C2 各有一个交点．当α＝0 时，这两个 交点间的距离为 2，当α＝π 2 时，这两个交点重合． (1)分别说明 C1，C2 是什么曲线，并求出 a 与 b 的值； (2)设当α＝π 4 时，l 与 C1，C2 的交点分别为 A1，B1，当α＝－π 4 时，l 与 C1，C2 的交点分 别为 A2，B2，求四边形 A1A2B2B1 的面积． 解：(1)C1，C2 的普通方程分别为 x2＋y2＝1 和x2 a2 ＋y2 b2 ＝1.因此 C1 是圆，C2 是椭圆． 当α＝0 时，射线 l 与 C1，C2 交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离 为 2，所以 a＝3. 当α＝π 2 时，射线 l 与 C1，C2 交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所 以 b＝1. (2)C1，C2 的普通方程分别为 x2＋y2＝1 和x2 9 ＋y2＝1. 当α＝π 4 时，射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x＝ 2 2 ，与 C2 交点 B1 的横坐标为 x′＝3 10 10 . 当α＝－π 4 时，射线 l 与 C1，C2 的两个交点 A2，B2 分别与 A1，B1 关于 x 轴对称，因此 四边形 A1A2B2B1 为梯形，故四边形 A1A2B2B1 的面积为2x′＋2xx′－x 2 ＝2 5. 18．(本小题满分 12 分)舰 A 在舰 B 的正东，距离 6 千米；舰 C 在舰 B 的北偏西 30°， 距离 4 千米．它们准备围捕海中某动物，某时刻 A 发现动物信号，4 秒后 B、C 同时发现这 种信号，A 于是发射麻醉炮弹，假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为 1 千米/ 秒，炮弹初速度为 20 3g 3 千米/秒，其中 g 为重力加速度，空气阻力不计，求舰 A 炮击 的方位角与仰角． 解：以 BA 为 x 轴，BA 中垂线为 y 轴建立直角坐标系(如图)，则 B(－3，0)，A(3,0)，C(－5,2 3)．设海中动物为 P(x，y)． 因为|BP|＝|CP|， 所以 P 在线段 BC 的中垂线上，易知中垂线方程是 y＝ 3 3 (x＋7)． 又|PB|－|PA|＝4，所以 P 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是x2 4 －y2 5 ＝1. 从而得 P(8,5 3)． 设∠xAP＝α，则 tan α＝kAP＝ 3， ∴α＝60°，这样炮弹发射的方位角为北偏东 30°.再以 A 为原点，AP 为 x′轴建立坐 标系 x′Ay′，(如图)．|PA|＝10，设弹道曲线方程是 x′＝v0tcos θ y′＝v0tsin θ－1 2gt2 (其中θ为仰角) 将 P(10,0)代入，消去 t 便得 sin 2θ＝ 3 2 ，θ＝30°或 60°这样舰 A 发射炮弹的仰角为 30°或 60°. 19．(本小题满分 12 分)已知曲线 C1：x＝－4＋cos t， y＝3＋sin t (t 是参数)，C：x＝8cos θ， y＝3sin θ (θ 是参数)． (1)化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t＝π 2 ，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3： x＝3＋2t， y＝－2＋t (t 是参数)距离的最小值． 解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：x2 64 ＋y2 9 ＝1， C1 为圆心是(－4,3)，半径是 1 的圆． C2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆． (2)当 t＝π 2 时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)， 故 M －2＋4cos θ，2＋3 2sin θ . C3 为直线 x－2y－7＝0， M 到 C3 的距离 d＝ 5 5 |4cos θ－3sin θ－13|. 从而当 cos θ＝4 5 ，sin θ＝－3 5 时，d 取得最小值8 5 5 . 20 ． ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 x＝4cos θ， y＝4sin θ (θ为参数，且 0≤θ≤2π)，点 M 是曲线 C1 上的动点． (1)求线段 OM 的中点 P 的轨迹的参数方程； (2)以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点 P 到直线 l 距离的最大值． 解：(1)曲线 C1 上的动点 M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点 O(0,0)，设 P 的坐标为 (x，y)，则由中点坐标公式得 x＝1 2(0＋4cos θ)＝2cos θ，y＝1 2(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点 P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点 P 的轨迹的参数方程为 x＝2cos θ y＝2sin θ ，(θ为参数，且 0≤θ≤2π)． (2)由直角坐标与极坐标关系 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， 得直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋1＝0， 又由(1)知点 P 的轨迹为圆心在原点，半径为 2 的圆， 因为原点(0,0)到直线 x－y＋1＝0 的距离为 |0－0＋1| 12＋－12 ＝ 1 2 ＝ 2 2 ， 所以点 P 到直线 l 距离的最大值为 2＋ 2 2 .