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文档介绍
【数学】2019届一轮复习北师大版第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第7节学案
第7节 函数的图像 最新考纲 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数;2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质,并运用函数的图像解简单的方程(不等式)问题. 知 识 梳 理 1.利用描点法作函数的图像 步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线. 2.利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换 (2)对称变换 y=f(x)的图像y=-f(x)的图像; y=f(x)的图像y=f(-x)的图像; y=f(x)的图像y=-f(-x)的图像; y=ax(a>0,且a≠1)的图像y=logax(a>0,且a≠1)的图像. (3)伸缩变换 y=f(x)y=f(ax). y=f(x)y=Af(x). (4)翻转变换 y=f(x)的图像y=|f(x)|的图像; y=f(x)的图像y=f(|x|)的图像. [常用结论与微点提醒] 1.函数图像的变换问题,要遵循“只能对函数关系中的x,y变换”的原则. 2.记住几个重要结论 (1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称. (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点(a,b)中心对称. (3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y=f(1-x)的图像,可由y=f(-x)的图像向左平移1个单位得到.( ) (2)函数y=f(x)的图像关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于y轴对称.( ) (3)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图像与y=|f(x)|的图像相同.( ) (4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图像关于直线x=1对称.( ) 解析 (1)y=f(-x)的图像向左平移1个单位得到y=f(-1-x),故(1)错. (2)两种说法有本质不同,前者为函数的图像自身关于y轴对称,后者是两个函数的图像关于y轴对称,故(2)错. (3)令f(x)=-x,当x∈(0,+∞)时,y=|f(x)|=x,y=f(|x|)=-x,两函数图像不同,故(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.函数f(x)的图像向右平移1个单位长度,所得图像与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)的解析式为( ) A.f(x)=ex+1 B.f(x)=ex-1 C.f(x)=e-x+1 D.f(x)=e-x-1 解析 依题意,与曲线y=ex关于y轴对称的曲线是y=e-x,于是f(x)相当于y= e-x向左平移1个单位的结果,∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1. 答案 D 3.(一题多解)(2017·全国Ⅲ卷)函数y=1+x+的部分图像大致为( ) 解析 法一 易知g(x)=x+为奇函数,其图像关于原点对称.所以y=1+x+的图像只需把g(x)的图像向上平移一个单位长度,选项D满足. 法二 当x=1时,f(1)=1+1+sin 1=2+sin 1>2,排除A,C.又当x→+∞时,y→+∞,B项不满足,D满足. 答案 D 4.已知函数f(x)的图像如图所示,则函数g(x)=logf(x)的定义域是________. 解析 当f(x)>0时,函数g(x)=logf(x)有意义,由函数f(x)的图像知满足f(x)>0时,x∈(2,8]. 答案 (2,8] 5.(2018·西安调研)若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是________. 解析 在同一个坐标系中画出函数y=|x|与y=a-x的图像,如图所示.由图像知当a>0时,方程|x|=a-x只有一个解. 答案 (0,+∞) 考点一 作函数的图像 【例1】 作出下列函数的图像: (1)y=;(2)y=|log2(x+1)|; (3)y=; (4)y=x2-2|x|-1. 解 (1)先作出y=的图像,保留y=图像中x≥0的部分,再作出y=的图像中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=的图像,如图①实线部分. (2)将函数y=log2x的图像向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图像,如图②. (3)∵y=2+,故函数图像可由y=图像向右平移1个单位,再向上平移2个单位即得,如图③. (4)∵y=且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图像,再根据对称性作出(-∞,0)上的图像,得图像如图④. 规律方法 画函数图像的一般方法 (1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图像的关键点直接作出. (2)图像变换法.若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到,可利用图像变换作出,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 【训练1】 分别画出下列函数的图像: (1)y=|lg x|;(2)y=sin |x|. 解 (1)∵y=|lg x|= ∴函数y=|lg x|的图像,如图①. (2)当x≥0时,y=sin|x|与y=sin x的图像完全相同,又y=sin|x|为偶函数,图像关于y轴对称,其图像如图②. 考点二 函数图像的辨识 【例2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图像大致为( ) (2)(2017·全国Ⅰ卷)函数y=的部分图像大致为( ) 解析 (1)f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函数, 又f(2)=8-e2∈(0,1),排除选项A,B; 设g(x)=2x2-ex,x≥0,则g′(x)=4x-ex. 又g′(0)<0,g′(2)>0,∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,∴f(x)=2x2-e|x| 在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C,故选D. (2)令f(x)=,定义域为{x|x≠2kπ,k∈ },又f(-x)=-f(x),∴f(x)在定义域内为奇函数,图像关于原点对称,B不正确; 又f(1)=>0,f(π)=0, ∴选项A,D不正确,只有选项C满足. 答案 (1)D (2)C 规律方法 1.抓住函数的性质,定性分析: (1)从函数的定义域,判断图像的左右位置;从函数的值域,判断图像的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图像的变化趋势;(3)从周期性,判断图像的循环往复;(4)从函数的奇偶性,判断图像的对称性. 2.抓住函数的特征,定量计算: 从函数的特征点,利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 【训练2】 (1)(2018·汉中模拟)函数f(x)=·sin x的图像大致形状为( ) (2)(2015·全国Ⅱ卷)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像大致为( ) 解析 (1)∵f(x)=·sin x, ∴f(-x)=·sin(-x)=-sin x=·sin x=f(x),且f(x)的定义域为R, ∴函数f(x)为偶函数,故排除C,D; 当x=2时,f(2)=·sin 2<0,故排除B,只有A符合. (2)当x∈时,f(x)=tan x+,图像不会是直线段,从而排除A,C; 当x∈时,f =f =1+, f =2.∵2<1+, ∴f查看更多
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