【数学】2018届一轮复习北师大版 集合及其运算 学案
知识点
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集 合
1.集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
2．集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
3．集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
简单不等式的解法
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
命题及其关系、充分条件与必要条件
1.理解命题的概念．
2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2．理解全称量词和存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
第1讲 集合及其运算
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
基本关系
子集
集合A的所有元素都是集合B的元素
x∈A⇒x∈B
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A
AB或BA
相等
集合A，B的元素完全相同
A⊆B，B⊆A
A＝B
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
∀x，x∉∅，∅⊆A
∅
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
1．辨明三个易误点
(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
(3)防范空集．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑∅是否成立，以防漏解．
2．活用几组结论
(1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅.
(3)A∪A＝A，A∪∅＝A.
(4)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
(5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
(6)若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
1. 已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )
A．A⊆B B．C⊆B
C．D⊆C D．A⊆D
[答案] B
2．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [解析] 集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A∩B的元素个数为2.
3. 已知集合A＝{1，2}，集合B满足A∪B＝{1，2}，则满足条件的集合B的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
D [解析] 因为A＝{1，2}，B∪A＝{1，2}，
所以B⊆A，故满足条件的集合B的个数为22＝4个．
4. 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB＝________．
[解析] 由题意得∁UB＝{2，5，8}，所以A∩∁UB＝{2，3，5，6}∩{2，5，8}＝{2，5}．
[答案] {2，5}
5. 已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2
2}．
[答案] {x|x≤1或x>2}
集合的含义[学生用书P2]
[典例引领]
(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．6 D．9
(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
(3)已知P＝{x|25}，如何求解？
[解] 因为B⊆A，
所以①当B＝∅时，
即2m－14.
综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
[通关练习]
1．设P＝{y |y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )
A．P⊆Q B．Q⊆P
C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP
C [解析] 因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁RP＝{y|y>1}，所以∁RP⊆Q，选C.
2．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________．
[解析] 由log2x≤2，得04，即c＝4.
[答案] 4
集合的基本运算(高频考点)[学生用书P4]
集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．
高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度：
(1)求集合间的交、并、补运算；
(2)已知集合的运算结果求集合；
(3)已知集合的运算结果求参数的值(范围)．
[典例引领]
(1)(2016·高考全国卷甲)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝( )
A．{－2，－1，0，1，2，3} B．{－2，－1，0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2}
(2)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
(3)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(∁UP)∪Q＝( )
A．{1} B．{3，5}
C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}
【解析】 (1)易知B＝{x|－3＜x＜3}，又A＝{1，2，3}，所以A∩B＝{1，2}．
(2)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.
(3)因为U＝{1，2，3，4，5，6}，P＝{1，3，5}，
所以∁UP＝{2，4，6}，
因为Q＝{1，2，4}，
所以(∁UP)∪Q＝{1，2，4，6}．
【答案】 (1)D (2)D (3)C
集合运算问题的常见类型及解题策略
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解；
(3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn图求解；
(4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．
[题点通关]
角度一 求集合间的交、并、补运算
1．(2016·高考全国卷丙)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝( )
A．[2，3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0，2]∪[3，＋∞)
D [解析] 集合S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S∩T＝(0，2]∪[3，＋∞)．
角度二 已知集合的运算结果求集合
2．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合{5，6}等于( )
A．M∪N B．M∩N
C．(∁UM)∪(∁UN) D．(∁UM)∩(∁UN)
D [解析] 因为M∪N＝{1，2，3，4}，排除A；M∩N＝∅，排除B；(∁UM)∪(∁UN)＝∁U(M∩N)＝{1，2，3，4，5，6}，排除C；(∁UM)∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝{5，6}，D正确，故选D.
角度三 已知集合的运算结果求参数的值(范围)
3．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁SA＝{2，3}，则m＝________．
[解析] 因为S＝{1，2，3，4}，∁SA＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.
[答案] 4
, [学生用书P4])
——集合中的创新问题
与集合有关的创新题是近几年高考命题的一个新趋势，试题通过给出新的数学概念或新的运算法则，在新的情境下完成关于集合的相关问题，考查学生的知识迁移能力．题型多为选择题或填空题，属于能力题．
(1)对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
(2)设数集M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，则集合M∩N的长度的最小值为________．
【解析】 (1)依题意可知，“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6个．
(2)在数轴上表示出集合M与N，
可知当m＝0且n＝1或n－＝0且m＋＝1时，M∩N的“长度”最小．
当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x|≤x≤}，
长度为－＝；
当n＝且m＝时，M∩N＝{x|≤x≤}，
长度为－＝.
综上，M∩N的长度的最小值为.
【答案】 (1)6 (2)
解决集合创新型问题的方法
(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．
(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
1.设U＝{1，2，3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1，3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)为________．
[解析] 符合条件的理想配集有①M＝{1，3}，N＝{1，3}；②M＝{1，3}，N＝{1，2，3}；③M＝{1，2，3}，N＝{1，3}．共3个．
[答案] 3
2．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．
[解析] 由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．
[答案] {0，6}
, [学生用书P235(独立成册)])
1．设集合P＝{x|x2－x≤0}，m＝30.5，则下列关系正确的是( )
A．mP B．m∈P
C．m∉P D．m⊆P
C [解析] 易知P＝{x|0≤x≤}，而m＝30.5＝>，所以m∉P，故选C.
2．已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝( )
A．{－1，0} B．{0，1}
C．{－1，0，1} D．{0，1，2}
A [解析] 由题意知B＝{x|－20，x∈Z}，则A∩(∁ZB)＝( )
A．{－2} B．{－1}
C．[－2，0] D．{－2，－1，0}
D [解析] 由题可知，集合A＝{x|x≤1，x∈Z}，B＝{x|x>0或x<－2，x∈Z}，故A∩(∁ZB)＝{－2，－1，0}，故选D.
7．设集合A＝，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝( )
A．{2，3} B．{－1，2，5}
C．{2，3，5} D．{－1，2，3，5}
D [解析] 由A∩B＝{2，－1}，可得或当时，此时B＝{2，3，－1}，所以A∪B＝{－1，2，3，5}；当时，此时不符合题意，舍去．
8．设全集U＝R，A＝{x|00}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]
B [解析] 因为集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}＝{x|－1a}，因为A⊆B，所以a≤－1.
12．(2017·沈阳模拟)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1，3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为( )
A．15 B．16
C．20 D．21
D [解析] 由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0，1，2，3}．因为A*B＝{x|x
＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有：0＋1＝1，0＋3＝3，1＋1＝2，1＋3＝4，2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5，3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1，2，3，4，5，6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.
13．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．
[解析] 因为1∉{x|x2－2x＋a>0}，所以1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，所以a≤1.
[答案] (－∞，1]
14．设集合I＝{x|－3
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