数学文卷·2019届山西省康杰中学高二上学期第二次月考（2018-01）
康杰中学 2017—2018 学年度第一学期第二次月考
高二数学（文）试题
2018.1
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，选择一
个符合题目要求的选项.）
1. 命题“若 x2>y2,则 x>y”的逆否命题是
A．“若 x
y,则 x2>y2”
C．“若 x≤y,则 x2≤y2” D．“若 x≥y,则 x2≥y2”
2. 抛物线 x2＝y 的准线方程是
A．4x+1=0 B．4y+1=0 C．2x+1=0 D．2y+1=0
3. 已知 p：10)
5. 已知命题 p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题 q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命
题，则实数 a 的取值范围是
A．[e,4] B．[1,4] C．(4,＋∞) D．(－∞,1]
6. 已知双曲线 C：x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的离心率为 5
2
，则 C 的渐近线方程为
A． B． C． D．
7. 抛物线 上一点 P 到直线 的距离与到点 的距离之差的最大值为
A． B． C． D．
8. 过点 M(1，1)作斜率为－1
2
的直线与椭圆 E：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)相交于 A，B 两点，若 M
xy 4
1±= xy 3
1±= xy 2
1±= xy ±=
2 4y x= 1x = − ( )2,2Q
3 3 5 5
是线段 AB 的中点，则椭圆 E 的离心率等于
A．1
2 B． 2
2 C． 3
2 D． 3
3
9. 过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线 l 与抛物线在第一、四象限
分别交于 两点,则 的值等于
A． B．4 C．3 D．2
10. 已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于
A，B 两点，直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
11. 设 A，B 是椭圆 C：x2
3
＋y2
m
＝1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°，则 m
的取值范围是
A．(0，1]∪[9，+∞) B．(0， 3]∪[9，+∞)
C．(0，1]∪[4，+∞) D．(0， 3]∪[4，+∞)
12. 已知双曲线 ，A1，A2 是实轴的顶点，F 是右焦点，B(0,b)是虚
轴的一个顶点，若在线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点 Pi（i=1，2），使得△P i A1 A2
（i=1，2）构成以 A1 A2 为斜边的直角三角形，则双曲线的离心率 e 的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上.）
13. 已知命题 p： ，则¬ p 为_________.
14. 右图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 m，
水面宽 4 m，当水面下降 1 m 后，水面宽________m.
15. 已知正方形 ABCD，则以 A，B 为焦点，且过 C，D 两点的
)0(22 >= ppxy F 60
BA, BF
AF
5
)0,0(12
2
2
2
>>=− bab
y
a
x
+
2
35,2 ( )2,1
+∞+
,2
15
+
2
15,2
1)1(,0 >+>∀ xexx
椭圆的离心率为_________.
16. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 的右支与焦点为 F 的抛物
线 x2=2py（p>0）交于 A，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为
____________________.
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分 10 分）已知 p： ，q： ，若
¬ p 是¬ q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围.
18. （本小题满分 12 分）已知命题 p： ，不等式 恒成立；
命题 q：关于 x 的一元二次方程：x2-4ax+2a+6=0 无负根，若“ ”为假，“ ”为真，
求实数 a 的取值范围
19. （本小题满分 12 分）已知动点 P 到定点 F(1，0)的距离与到定直线 l：x=－1 的距离相等，
设动点 P 的轨迹为曲线 C.
（1）求曲线 C 的方程；
（2）过点 F 且倾斜角为 135°的直线交曲线 C 于 A，B 两点，求|AB|.
20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 E： 的左、右焦点分别是 F1、
F2，椭圆 E 上的点到点 F1 距离的最大值是 3+ 2，短轴一个顶点到 F2 的距离为 3.
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设过点 F1 且斜率为 1 的直线 l 与椭圆 E 交与 A，B 两点，求△ABF2 的面积
21. （本小题满分 12 分）设 A，B 为曲线 C： 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4
（1）求直线 AB 的斜率.
)0,0(12
2
2
2
>>=− bab
y
a
x
213
1 ≤−−x )0(012 22 >≤−+− mmxx
]1,1[−∈∀m 83 22 +≥−− maa
qp ∧ qp ∨
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
4
2xy =
（2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM⊥BM，求直线 AB 的
方程.
22. （本小题满分 12 分）已知椭圆 C： 过点 ，且离
心率 e 为
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）E、F 是椭圆上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，
证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值.
命题人：段春红
审题人：张阳朋
高二数学（文）答案
一、选择题
1. C 2. B 3. B 4. D 5. A 6. C 7. D 8. B 9. C 10. A
11. A 12. D
二、填空题
13. ， （或 ）
14. 15. 16.
三、解答题
17. 解析： 由 得
由 得
∵ ∴ …………………………4 分
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x 3(1, )2A
1
2
0x∃ ≤ ( 1) 1xx e+ ≤ 0
0 00,( 1) 1xx x e∃ ≤ + ≤
2 6 2 1− 2
2y x= ±
1: 1 23
xp
− − ≤ 2 0 10− ≤ ≤
2 2: 2 1 0q x x m− + − ≤ 2 2( 1)x m− ≤
0m > 1 1m x m− ≤ ≤ +
∵ 是 的必要不充分条件
∴ 且
∴ 且
即 是 的充分不必要条件 ……………………………………7 分
∴ （等号不能同时成立）
∴ ………………………………………10 分
18. 解析： ∵ ∴
∵ ，不等式
∴ 得 或
∴命题 为真命题时， 或 ……………………3 分
命题 ：关于 的一元二次方程： 无负根
①方程无实根：
得
②方程有实根且均为非负根
∴ 得 ………………7 分
∴命题 为真命题时， ……………………8 分
∵“ ”为假，“ ”为真 ∴ 一真一假
∴ 真 假时： 设
假 真时： 设 ………………11 分
综上：实数 的取值范围是： 或 …………12 分
19. 解析：（1）设点
p¬ q¬
q p¬ ⇒ ¬ p q¬ ⇒ ¬
p q⇒ q p⇒
p q
1 2
1 10
m
m
− ≤ −
+ ≥
9m ≥
[ ]1,1m∈ − 2 8 2 2,3m + ∈
[ ]1,1m∀ ∈ − 2 23 8a a m− − ≥ +
2 3 3a a− − ≥ 2a ≤ − 3a ≥
p 2a ≤ − 3a ≥
q x 2 4 2 6 0x ax a− + + =
216 4(2 6) 0a a∆ = − + <
31 2a− < <
216 4(2 6) 0
4 0
2 6 0
a a
a
a
∆ = − + ≥
≥
+ ≥
3
2a ≥
q 1a > −
p q∧ p q∨ ,p q
p q 2 3
1
a a
a
≤ − ≥
≤ −
2a ≤ −
p q 2 3
1
a
a
− < <
> − 1 3a− < <
a 2a ≤ − 1 3a− < <
( , )P x y
或
由题曲线 C 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线
∴曲线 C 的方程是： …………………………4 分
（2）直线 AB 的方程为： …………………………5 分
设
则 ………………7 分
由 设
∴ ……………………10 分
∴ ……………………12 分
20. 解析：（1）由题
解得 …………………………6 分
设
由 得
∴ ……………………9 分
∴ 的面积
……………………12 分
或：弦长
(1,0)F 1x = −
2 4y x=
1y x= − +
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
1 2 1 21 1 2AB AF BF x x x x= + = + + + = + +
2
1
4
y x
y x
= − +
=
2 6 1 0x x− + =
1 2 6x x+ =
1 2| | 2 8AB x x= + + =
2 2 2
3 2
3
a c
a
a b c
+ = +
=
= +
3, 1, 2a b c= = =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
2
2
2
13
y x
x y
= + + =
24 6 2 3 0x x+ + =
1 2
3 2
2x x+ = − 1 2
3
4x x⋅ =
2ABF∆ 1 2 1 2
1
2S F F y y= × × −
1 2
1 2 2 | |2 x x= × × −
2
1 2 1 22 ( ) 4x x x x= × + −
32 32
= × =
2 2
1 2 1 2 1 2(1 1)( ) 2 [( ) 4 ] 3AB x x x x x x= + − = × + − =
点 到直线 AB 的距离
∴ 的面积
21. 解：（1）设
由题 ，
∴直线 AB 的斜率为 1 …………………………4 分
（2）由题设曲线 C 在点 M 处的切线方程为
由 得
∴ ∴
∴点 M(2, 1) ………………………………6 分
设直线 AB 的方程：
由 得
设
…………………………8 分
解得 或 （舍去） …………………………11 分
∴直线 AB 的方程为 …………………………12 分
2F 2 2 2
2
d = =
2ABF∆ 1 32S AB d= × × =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
1 2x x≠
2 2
1 2
1 2 1 2, , 44 4
x xy y x x= = + =
2 2
2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
4 4 14AB
x x
y y x xk x x x x
−− += = = =− −
y x m= +
2
4
y x m
xy
= + =
2 4 4 0x x m− − =
16 16 0m∆ = + = 1m = −
y x t= +
2
4
y x t
xy
= + =
2 4 4 0x x t− − =
16 16 0t∆ = + > 1t > −
1 2 1 24, 4x x x x t+ = ⋅ = −
1 2 1 2( 2)( 2) ( 1)( 1)MA MB x x y y⋅ = − − + − −
1 2 1 2 1 22( ) 4 ( 1)( 1)x x x x x t x t= − + + + + − + −
2
1 2 1 22 ( 3)( ) 4 ( 1)x x t x x t= + − + + + −
28 4( 3) 4 ( 1) 0t t t= − + − + + − =
7t = 1t = −
7y x= +
文 22. 解析：（1）由题： 解得
∴椭圆 C 的方程为： ……………………4 分
（2）法一：设直线 AE 的方程为：
由 得
∴ ………………9 分
由题直线 AF 的方程为
∴ ………………9 分
∴ …………11 分
∴直线 EF 的斜率为定值，且这个定值为 ………………12 分
法二：设直线 EF 的方程为
由 得
……………………6 分
2 2
2 2 2
9
1 4 1
1
2
a b
ce a
a b c
+ =
= =
= +
2, 3, 1a b c= = =
2 2
14 3
x y+ =
3 ( 1)2y k x− = −
2 2
3 ( 1)2
14 3
y k x
x y
− = −
+ =
2 2 2(3 4 ) 4 (2 3) 4 12 3 0k x k k x k k+ − − + − − =
2 2
2 2
4 12 3 12 12 9,3 4 2(3 4 )
k k k kE k k
+ − − − +
+ +
3 ( 1)2y k x− = − −
2 2
2 2
4 12 3 12 12 9,3 4 2(3 4 )
k k k kF k k
+ − − − +
+ +
2 2
2 2
2 2
2 2
12 12 9 12 12 9
12 12(3 4 ) 2(3 4 )
4 12 3 4 12 3 24 2
3 4 3 4
EF
k k k k
kk kk k k k k k
k k
− + + − − +−+ += = =+ − − −−+ +
1
2
1 1 2 2, ( , ) ( , )y kx m E x y F x y= +
2 2
14 3
y kx m
x y
= + + =
2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =
1 2 2
8
3 4
kmx x k
+ = − +
2
1 2 2
4 12
3 4
mx x k
−⋅ = +
∴
…………………………7 分
∴
得 或 ……………………10 分
时 过定点 ,舍去 …………11 分
∴直线 EF 的斜率为定值，且这个定值为 ……………………12 分
1 2 1 2 2 1
1 2 1 2
3 3 3 3( )( 1) ( )( 1)2 2 2 2 01 1 ( 1)( 1)AE AF
y y kx m x kx m x
k k x x x x
− − + − − + + − −
+ = + = =− − − −
1 2 2 1
3 3( + )( 1) ( )( 1)2 2kx m x kx m x− − + + − −
1 2 1 2
32 ( )( ) 2 32kx x m k x x m= + − − + − +
2
2 2
4 12 3 82 ( ) 2 33 4 2 3 4
m kmk m k mk k
−= ⋅ − − − ⋅ − ++ +
2
2 2
12 24 12 6 3(2 1)(2 3 2 ) 03 4 3 4
k k km m k k m
k k
− + − − − += = =+ +
1
2k = 3 2
2
km
−=
3 2
2
km
−= 3 3( 1)2 2y kx k k x= + − = − + 3(1, )2A
1
2
