2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019 学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期期末数学 试题 一、单选题 1．已知集合 A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x≥﹣1}，则 A∩B＝（　　） A．（﹣1，1] B．（﹣1，2） C．∅ D．[﹣1，2] 【答案】B 【解析】直接利用交集的运算求解即可. 【详解】 解:因为 A＝{x|﹣1＜x＜2},B＝{x|x≥﹣1}, 所以 A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}. 故选:B. 【点睛】 本题考查了交集的运算,属基础题. 2．圆柱的底面半径为 1，高为 1，则圆柱的表面积为（　　） A．π B．3π C．2π D．4π 【答案】D 【解析】根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可. 【详解】 解:因为圆柱的底面半径为 1,高为 1, 所以圆柱的表面积 . 故选:D. 【点睛】 本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题. 3．若点 在直线 ： 上，则直线 的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得： ，直线方程为： ， 据此可得，直线 的倾斜角为 . 本题选择 C 选项. 22 1 2 1 4S π π π= × + × × = ( 3,2) l 1 0ax y+ + = l 30° 45° 60° 120° 3 2 1 0, 3a a+ + = ∴ = − 3 1 0x y− + + = l 60° 4．已知函数 f(x)＝ ，若 f(1)＝f(－1)，则实数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据题意，由 f(1)＝f(－1)可得 a＝1－(－1)＝2，故选:B 5．已知 m，n 为不同的直线，α，β 为不同的平面，则下列说法正确的是（　　） A．m⊂α，n∥m⇒n∥α B．m⊂α，n⊥m⇒n⊥α C．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β D．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β 【答案】D 【解析】在 A 选项中，可能有 n⊂α，故 A 错误； 在 B 选项中，可能有 n⊂α，故 B 错误； 在 C 选项中，两平面有可能相交，故 C 错误； 在 D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得 D 正确． 故选：D． 6．已知直线 过定点 ，点 在直线 上，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令直线 的参数 的系数等于零，求得定点 的坐标，利用两点间的距离公 式、二次函数的性质，求得 的最小值. 【详解】 直线 ，即 ，过定点 ， 点 在直线 上， ， ， 故当 时， 取得最小值为 ，故选 B. 【点睛】 1 , 0 , 0x x x a x − ≤  > a = : 2 0l kx y k− + − = M ( ),P x y 2 1 0x y+ − = MP 10 3 5 5 6 3 5 l k M MP : 2 0l kx y k− + − = ( )1 2 0k x y− − + = ( )1,2M ( ),P x y 2 1 0x y+ − = 1 2y x∴ = − ( ) ( ) 2 2 2 2 1 91 1 2 2 5 2 2 5 5 5MP x x x x x ∴ = − + − − = + + = + +   1 5x = − MP 3 5 5 本题主要考查直线经过定点问題，两点间的距离公式的应用，二次函数的性质，属于中 档题. 7．设 ， ， ，若 x＞1，则 a，b，c 的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 【答案】B 【解析】根据 x＞1,取 x=2,则可以得到 a,b,c 的具体值,然后比较大小即可. 【详解】 解:由 x＞1,取 x=2,则 , , , 所以 . 故选:B. 【点睛】 本题考查了指数和对数大小的比较,解题的关键是根据条件取特殊值,属基础题. 8．在正方体 中，异面直线 与 所成角是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在正方体 中， ， 所以 即为所求（或其补角）. 连接 ，因为 ，所以 . 故选 C. 9．设两条直线的方程分别为 x+y﹣a＝0、x+y+b＝0，已知 a、b 是关于 x 的方程 x2+x+c ＝0 的两个实数根，则这两条直线之间的距离是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】根据条件,由韦达定理可得 ,然后利用平行线间的距离公式求出距离. 【详解】 解:因为 a、b 是关于 x 的方程 x2+x+c＝0 的两个实数根, 所以 ,所以两直线间的距离 . 2( )3 xa = 13( )2 xb −= 2 3 c log x= 2( ) 4 3 9 xa = = 1 2 3( )2 3xb − == 2 2 3 3 log log 2 0c x= = < b a c> > 1 1 1 1ABCD A B C D− 1A B AC 30° 45° 60° 90° 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1/ /AC AC 1 1BAC∠ 1BC 1 1 1 1BC AC A B= = 1 1B 60AC∠ = ° 2 4 2 2 2 1a b+ = − 1a b+ = − | | 2 22 a bd += = 故选:C. 【点睛】 本题考查了韦达定理和两平行直线间的距离,属基础题. 10．已知函数 在闭区间 上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数 对 在坐标平面内所对应点组成的图形为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，∴可画出图象如图 1 所示． ； 由 x2+2x=3，解得 x=﹣3 或 x=1；又当 x=﹣1 时，（﹣1）2﹣2=﹣1． ①当 a=﹣3 时，b 必须满足﹣1≤b≤1，可得点（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形 的长度为|AB|=1﹣（﹣1）=2； ②当﹣3＜a≤﹣1 时，b 必须满足 b=1，可得点（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形 的长度为|BC|=（﹣1）﹣（﹣3）=2． 如图 2 所示：图 2； 2 2y x x= + [ , ]a b ( , )a b 故选：C． 点睛：本题考查了二次函数在给定区间上的值域问题，值域是确定的，而定义域是变动 的，解题关键是分辨清楚最大值是在左端点取到还是在右端点取到，问题就迎刃而解了. 11．已知函数 y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且 x≠2}，且 y=f（x+2）是偶函数，当 x＜2 时，f（x）=|2x﹣1|，那么当 x＞2 时，函数 f（x）的递减区间是（ ） A．（3，5） B．（3，+∞） C．（2，+∞） D．（2，4] 【答案】D 【解析】试题分析：根据函数的奇偶性，推导出函数的对称性，再由题意和对称性求出 函数的解析式，根据指数函数的图象画出函数大致的图形，可得到函数的减区间． 解：∵y=f（x+2）是偶函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）， 则函数 f（x）关于 x=2 对称， 则 f（x）=f（4﹣x）． 若 x＞2，则 4﹣x＜2， ∵当 x＜2 时，f（x）=|2x﹣1|， ∴当 x＞2 时，f（x）=f（4﹣x）=|24﹣x﹣1|， 则当 x≥4 时，4﹣x≤0，24﹣x﹣1≤0， 此时 f（x）=|24﹣x﹣1|=1﹣24﹣x=1﹣16× ，此时函数递增， 当 2＜x≤4 时，4﹣x＞0，24﹣x﹣1＞0， 此时 f（x）=|24﹣x﹣1|=24﹣x﹣1=16× ﹣1，此时函数递减， 所以函数的递减区间为（2，4]， 故选 D． 【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质． 12．设函数 ，若 的图像上有四个不同的点 、 、 、 同时满足：① 、 、 、 、 （原点）五点共线；②共线的这条直 线斜率为 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题过 、 、 、 、 的直线 ，当 时，记 ， 则 在 上单调递增， 单调递减，与 有两个交点 、 。故 当 时 与 在第二象限 有两个交点即可，联立可得 ，由 得 故选：A 点睛：函数零点的求解与判断 (1)直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多 少个零点； (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的 横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 二、填空题 13．若三点 A（﹣2，3）、B（﹣3，2）、C（ ，m）共线，则 m 的值为_____． 【答案】 【解析】根据三点共线与斜率的关系列出关于 m 的方程,然后求出 m 即可. 【详解】 解:因为三点 A(﹣2,3)、B(﹣3,2)、C( ,m)共线, 2 1 ( 0)( ) ln 2 ( 0) a xy f x x x x x  + <= =   − > ( )y f x= A B C D A B C D O 3− a (2 3 )，+ ∞ ( 4)−∞， ( 2 3)−∞ −， (4 )+ ∞， A B C D O y 3x= − x 0> ( ) 2g ln 2x x x= − ( ) 24 1g' xx x − += ( )g x 10 2     ， 1 2 ∞ +  ， y 3x= − C D 0x < 1y a x = + y 3x= − ( )0a > 23 ax 1 0x + + = 2 12 0a= − > 2 3a > ( ) 0f x = [ ],a b ( ) ( ) 0f a f b⋅ < 1 2 11 2 1 2 所以 ,解得 m . 故答案为: . 【点睛】 本题考查了三点共线和斜率的关系,属基础题. 14．设集合 A＝{x|0≤x≤1}，B={x|1 1a ≠ ( ),P x y ( )y f x= ( )2 ,Q x a y− − ( )y g x= ( )y g x= ( )y g x= a ( )y h x= ( ) ( ) ( )2 2h x h xF x a a− − = − +  , ( )m n m n< ( )F x ，值域为 .如果存在，求出 的值；如果不存在，说明理由； （3）若当 时，恒有 ，试确定 的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】试题分析：（1）设点 Q 的坐标为 ，利用 =x-2a， =-y，转化 x= +2a，y=- ．通过点 P（x，y）在函数 y=loga（x-3a）图象上，代入即可得到函数 y=g （x）的解析式； (2) ，因为 ，故 ， 在 上单调递增， ，即 为 的两相异的非负 的实数，解方程即得 的值； (3) 通过 ，求出 的最大值，利用最大值≤1，即可确定 的取值范围； 试题解析： （1）解：设点 的坐标为 ， 则 ，即 . 点 在函数 图象上， ，即 , . （2） ， ，故 在 上单调递增， ，即 为 的两相异的非负的 实数 即 ，解得 . （3）函数 ， 由题意 ，则 ， ( ),m n ( ),m n ,m n [ ]2, 3x a a∈ + + ( ) ( ) 1f x g x− ≤ a 1( ) logag x x a = − 0, 1m n= = 9 570 12a −< ≤ ( ),x y′ ′ x′ y′ x′ y′ ( ) 2 2 ( 0)F x x x x= − + > ( ) ( ] ( ) ( ],1 , , ,1F x m n∈ −∞ ⊆ −∞所以 1n ≤ ( )F x所以 ( ),m n ( ) ( ) F m m F n n  = = m n、 ( )F x x= ,m n [ ]2, 3x a a∈ + + ( ) ( )f x g x− a Q ( ),x y′ ′ 2 ,x x a y y−′ = ′ = − 2 ,x x a y y+′= = − ′  ( ),P x y ( )log 3ay x a= − ( )log 2 3ay x a a∴− = + −′ ′ 1logay x a =′ ′− ( ) 1logag x x a ∴ = − ( ) 2 2 ( 0)F x x x x= − + > ( ) ( ] ( ) ( ],1 , , ,1F x m n∈ −∞ ∴ ⊆ −∞ 1n ≤ ( )F x∴ ( ),m n ( ) ( ) F m m F n n  = = m n、 ( )F x x= 2 2x x x− + = 0, 1m n= = ( ) ( ) ( ) 1log 3 loga af x g x x a x a − = − − − [ ]2, 3x a a∈ + + ( )2 3 2 2 0a a a+ − = − + > 又 ，且 ， ， 又 对称轴为 ， ，则 在 上为增函数， 函数 在 上为减函数， 从而 ， 又 ，则 ， . 点睛：本题考查利用相关点法求函数的解析式，二次函数利用单调性求值域及函数恒成 立问题，综合知识点多，难度较大，注意计算的准确性. 0a > 1, 0 1a a≠ ∴ < < ( ) ( ) ( ) ( )2 21| log 3 log log 4 3 |a a af x g x x a x ax ax a − = − − = − +− ( ) ( ) ( )2 2| | 1 1 log 4 3 1af x g x x ax a− ≤ ∴− ≤ − + ≤ ( ) 2 24 3r x x ax a= − + 2x a= 0 1 2 2a a a< ∴ + ( ) 2 24 3r x x ax a= − + [ ]2, 3a a+ + ∴ ( ) ( )2 2log 4 3au x x ax a= − + [ ]2, 3a a+ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) max min 2 log 4 4 . 3 log 9 6a au x u a a u x u a a   = + = − = + = −    0 1a< < ( ) ( ) log 9 6 1 log 4 4 1 a a a a  − ≥ − − ≤ 9 570 12a −∴ < ≤