河南省2020届高三5月适应性考试数学（理）试题 Word版含解析

河南省2020届高三5月适应性考试数学（理）试题 Word版含解析

- 1 - 2020 年河南省高考数学适应性试卷（理科）（5 月份） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的．） 1.已知i 是虚数单位， z 是复数 z 的共轭复数，若 2 iz i  ，则 z  （ ） A. 1 2i B. 1 2i C. 2 i D. 2 i 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算，可求 1 2z i  ，再根据复数与共轭复数的关系，即可求出结果. 【详解】因为   2 22 1 2i iiz ii i     ，所以 1 2z i  . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算和共轭复数的概念，属于基础题. 2.设集合  1 2A x x   ，   2 , 0,2xB y y x   ，则下列选项正确的是（ ） A.  1,3A B  B.  1,4A B  C.  1,4A B   D.  0,1,2,3,4A B  【答案】C 【解析】 【分析】 先化简集合 ,A B ，结合选项进行判断. 【详解】因为    1 2 1 3A x x x x       ，     2 , 0,2 1 4xB y y x y y      ， 所以  1,3A B  ，  1,4A B   . 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的运算，把集合化为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算 的核心素养. 3.某科研型企业，每年都对应聘入围的大学生进行体检，其中一项重要指标就是身高与体重 比，其中每年入围大学生体重 y（单位：kg）与身高 x（单位：cm）基本都具有线性相关关系， - 2 - 根据今年的一组样本数据  1,, 2, ,50i ix y i   ，用最小二乘法建立的回归方程为 ˆ 0.83 85.71y x  ，则下列结论中不正确的是（ ） A. y 与 x 具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心 ,x y C. 若某应聘大学生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.83kg D. 若某应聘大学生身高为 170cm，则可断定其体重必为 55.39kg 【答案】D 【解析】 【分析】 根据线性回归方程分析，x 的系数为正则正相关；线性回归方程必过样本中心点；利用线性回 归方程分析数据时只是估计值，与真实值存在误差. 【详解】由于线性回归方程中 x 的系数为 0.83，因此 y 与 x 具有正的线性相关关系，故 A 正 确； 线性回归方程必过样本中心点 ,x y ，故 B 正确； 由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加 1cm，其体重约增加 0.83kg，故 C 正确； 当某大学生的身高为 170cm 时，其体重估计值是 55.39kg，而不是具体值，故 D 不正确. 故选：D 【点睛】本题考查两变量间的相关关系、线性回归方程，属于基础题. 4.“ 0m  ”是“直线 0x y m   与圆   2 21 1 2x y    相切”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：若 0m  ，则圆   2 21 1 2x y    的圆心 (1,1) ， 到直线 0x y  的距离为 2 ，等于半径，此时圆与直线相切，充分性成立； 若直线 0x y m   与圆   2 21 1 2x y    相切， - 3 - 则圆心到直线距离为 |1 1 | 2 2 m   ，解得 0m  或 4 ， 所以必要性不成立. 故选：B. 考点：直线与圆的位置关系、充分必要条件． 5.已知向量  3,1a  ，  1,3b m  r ，若向量 a  ，b  的夹角为锐角，则实数 m 的取值范围 为（ ） A.  1 3,  B.  1 3 3,  C.    1 3,1 3 3 1 3 3,    D.    1 3,1 3 3 1 3 3,    【答案】C 【解析】 【分析】 先由向量的夹角为锐角，由向量数量积，求出 1 3m   ，再由向量 a  ， b  共线时，求出 1 3 3m   ，进而可求出结果. 【详解】因为  3,1a  ，  1,3b m  r ， 所以  3 1 3a b m     ； 因为向量 a  ，b  的夹角为锐角，所以有  3 1 3 0m    ，解得 1 3m   . 又当向量 a  ，b  共线时，  3 3 1 0m   ，解得： 1 3 3m   ， 所以实数 m 的取值范围为   1 3,1 3 3 1 3 3,    . 故选：C. 【点睛】本题主要考查由向量夹角的范围求参数范围，熟记向量数量积的坐标表示，以及向 量共线的坐标表示即可，属于常考题型. 6.设函数   sin 3 cosf x x x  ，  0,2x  ，若 0 1a  ，则方程  f x a 的所有根之 和为（ ） A. 4 3  B. 2 C. 8 3  D. 7 3  【答案】D - 4 - 【解析】 【分析】 先进行化简函数  f x ，利用三角函数的对称性进行求解即可． 【详解】∵   2sin 3f x x      ，  0,2x  ， ∴    2,2f x   ，又 0 1a  ，∴方程  f x a 有两根 1x ， 2x ，由对称性得 1 2 33 3 2 2 x x                ，解得 1 2 7 3x x   . 答案：D 【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查数形结合的能力，属于基础 题. 7.若对任意正数 x ，不等式 2 2 2 1 4 a x x  恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A.  0, B. 1 ,4     C. 1 ,4    D. 1 ,2    【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得出 2 2 22 1 44 xa x x x     ，利用基本不等式求得 2 4x x  的最大值，可得出关于 a 的 不等式，由此可解得实数 a 的取值范围. 【详解】依题意得当 0x  时， 2 2 22 1 44 xa x x x     恒成立， - 5 - 又因为 4 42 4x xx x     ，当且仅当 2x  时取等号，所以 2 4x x  的最大值为 1 2 ， 所以 12 1 2a   ，解得 1 4a   ，因此，实数 a 的取值范围为 1 ,4     . 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，考查计算能力，属于基础题. 8.某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参加与交通相关的各 类活动.现有包括甲、乙两人在内的 6 名中学生，自愿参加交通志愿者的服务工作这 6 名中学 生中 2 人被分配到学校附近路口执勤，2 人被分配到医院附近路口执勤，2 人被分配到中心市 场附近路口执勤，如果分配去向是随机的，则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是（ ） A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 【答案】A 【解析】 【分析】 结合排列、组合求得把 6 名同学平均分配到三个不同的路口分配种数，再求得甲、乙两人被 分配到同一路口种数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，把 6 名同学平均分配到三个不同的路口，共有 2 2 2 36 4 2 33 3 90C C C AA  种分配方案， 其中甲、乙两人被分配到同一路口有 1 2 3 4 18C C  种可能， 所以甲、乙两人被分配到同一路口的概率为 18 1 90 5  . 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列组合的应用，着重考查分析问 题和解答问题的能力，属于中档试题. 9.已知函数    22ln 3 3f x x x   ，其中 x 表示不大于 x 的最大整数（如 1.6 1 ，  2.1 3   ），则函数  f x 的零点个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 - 6 - 【分析】 构造函数   22lng x x 与    3 3h x x  ，作出图象，结合图象得出两函数的交点个数，即 可求解. 【详解】设函数   22lng x x ，    3 3h x x  ， 则    2 22ln( ) 2lng x x x g x     ，所以函数  g x 为定义域上的为偶函数， 作出函数   22lng x x 与    3 3h x x  的图象，如图所示， 当 1 0x   时，   6h x   ，结合图象，两函数有 1 个交点，即 1 个零点； 当 0 1x  时，   3h x   ，结合图象，两函数有 1 个交点，即 1 个零点； 当 1x  时，     0g x h x  ，两函数有 1 个交点，即 1 个零点； 当 2 3x  时，   3h x  ，  4ln 2 4ln3g x  ，此时两函数有 1 个交点，即 1 个零点，综 上可得函数    22ln 3 3f x x x   共 4 个零点. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定，以及函数的图象的应用，其中解答中构造 新函数，作出函数的图象，结合两个函数的图象的交点个数进行判定是解答的关键，着重考 查构造思想，以及数形结合思想的应用，属于中档试题. 10.已知过双曲线 2 2 : 18 4 x yC   的左焦点 F 的直线 l 与双曲线左支交于点 A ， B ，过原点与 弦 AB 中点 D 的直线交直线 4 3 3x   于点 E ，若 AEF 为等腰直角三角形，则直线 l 的方 程可以为（ ） - 7 - A.  3 2 2 2 3 0x y    B.  3 2 2 2 3 0x y    C.  3 2 2 2 3 0x y    D.  3 2 2 2 3 0x y    【答案】A 【解析】 【分析】 先由题意，得  2 3,0F  ，设  : 2 3 2l x my m    ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，将直 线 l 的 方 程 代 入 双 曲 线 C 的 方 程 ， 消 去 x ， 根 据 韦 达 定 理 ， 以 及 题 中 条 件 ， 得 到 2 2 4 3 2 3,2 2 mD m m        ，求得直线 OD 的方程为 2 my x ，求出 4 3 2 3,3 3E m       ，推出 EF l ，得到 EF AF ，根据题意，求出  3 2 2m    ，即可得出结果. 【详解】由 2 2 : 18 4 x yC   得其左焦点为  2 3,0F  ， 则由题意可设  : 2 3 2l x my m    ，代入双曲线C 的方程，消去 x ， 整理得 2 22 4 3 4 0m y my    . 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，由根与系数的关系，得 1 2 2 4 3 2 my y m    ， ∴ 1 2 2 2 3 2 2 y y m m    ，  1 21 2 2 4 32 32 2 2 m y yx x m      ，即 2 2 4 3 2 3,2 2 mD m m        ∴直线 OD 的方程为 2 my x . 令 4 3 3x   ，得 2 3 3y m  ，即 4 3 2 3,3 3E m       ， ∴直线 EF 的斜率为 2 3 03 4 3 2 33 m m        ，∴ EF l ， 则必有 EF AF ，即    22 2 2 2 1 1 1 4 4 2 3 13 3m x y m y      ， - 8 - 解得 1 2 3 3y   . 又 2 2 1 1 18 4 x y  ，∴ 1 4 6 3x   ，∴  3 2 2m    ， 从而直线 l 的方程为  3 2 2 2 3 0x y    或  3 2 2 2 3 0x y    . 故选：A. 【点睛】本题主要考查求双曲线中直线的方程，熟记直线与双曲线的位置关系，以及双曲线 的简单性质即可，属于常考题型. 11.设 nS ， nT 分别为等差数列 na ， nb 的前 n 项和，且 3 2 4 5 n n S n T n   .设点 A 是直线 BC 外 一点，点 P 是直线 BC 上一点，且 1 4 3 a aAP AB ACb       ，则实数  的取值为（ ） A. 28 25 B. 3 25  C. 3 28 D. 18 25  【答案】B 【解析】 【分析】 由 3 2 4 5 n n S n T n   ，结合数列的 na 与 nS 的关系，分别求得 na ， nb 的通项公式，进而得到 1 4 3 a a b  的值，再结合向量的共线定理，即可求解. 【详解】由题意， nS ， nT 分别为等差数列 na ， nb 的前 n 项和，且 3 2 4 5 n n S n T n   ， 不妨取 23 2nS n n  ， 24 5nT n n  ， 当 1n  时， 1 1 5a S  ， 当 2n  时， 1 6 1n n na S S n    ， 验证得当 1n  时上式成立，综上数列 na 的通项公式为 6 1na n  ， 同理可得，数列 nb 的通项公式为 8 1nb n  ， - 9 - 则 1 4 3 28 25 a a b   ， 又由点 P 在直线 BC 上，设 BP kBC  ，    1AP AB BP AB kBC AB k AC AB k AB k AC                   28 25 AB AC    ， 即 281 25k  ， 3 25k    . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了等差数的通项公式及前 n 项和公式的应用，以及向量共线定理的应用， 其中解答中熟记数列中 na 与 nS 的关系，求得数列的通项公式，以及共线向量的定理是解答的 关键，着重考查推理与运算能力. 12.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验 公式为： 21 2 1 2S   弦 矢+ 矢 .弧田（如图 1 阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆 弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2) 近似体积公式： 1 2V   圆面积 矢 31 2   矢 .球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚 体育馆近似球缺结构（如图 3)，若该体育馆占地面积约为 18000 2m ，建筑容积约为 340000 3m ， 估计体育馆建筑高度(单位： m )所在区间为（ ） 参考数据: 332 18000 32 608768   ， 334 18000 34 651304   ， 336 18000 36 694656   ， 338 18000 38 738872   ， 340 18000 40 784000   . A.  32,34 B.  34,36 C.  36,38 D.  38,40 【答案】B 【解析】 - 10 - 分析：根据所给近似体积公式分别计算 32,32,36,38,40h  时的体积近似值. 详解：设体育馆建筑高度为 ( )h m ，则 31 1180002 2V h h   ， 若 32h  ，则 304383V  ；若 34h  ，则 325652V  ，若 36h  ，则 347328V  ， 325652 340000 347328  ，∴34 36h  ， 故选 B. 点睛：本题通过数学文化引入球缺体积近似公式，即吸引了学生的眼球，又培养了学生的兴 趣，同时培养了学生的爱国情怀，是一道好题. 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.若 x，y 满足线性约束条件 6 0 4 4 0 0 x y x y y          ，则 2z x y  的最大值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】 由线性约束条件，作出可行域， z 的几何意义为直线的截距，移动直线可得经过 A 点， z 取 最大值. 【详解】由线性约束条件，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 2 2z x y y x z      ， z 的几何意义为直线的截距， - 11 - 作直线 2y x  ，平移该直线，当直线经过点  6,0A 时， 2z x y  取得最大值，即 max z 2 6 0 12    . 故答案为：12 【点睛】本题考查了线性规划求直线截距最值问题，考查了数学运算能力和数形结合能力， 属于基础题目. 14.过抛物线 2 16x y 的焦点 F 的直线 AB 被 F 分成长度为 m ， n 的两段 m n ，请写出 一个 m ， n 满足的等量关系式______. 【答案】  4mn m n  【解析】 【分析】 先由题意，设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，直线 AB 的方程为： 4y kx  ，联立直线与抛物线方 程 ， 根 据 韦 达 定 理 ， 得 到 2 1 2 16 8y y k   ， 再 由 题 意 ， 得 到 1 2 8y y m n    ， 1 2 1 2 1 2 y y m nk x x x x - -= =- - ，求得 ( ) ( ) 2 2 16 m nk m n -= + ，从而得到  2 8 8m n m nm n      ，求解， 即可得出结果. 【详解】由题意，  0,4F ， 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，直线 AB 的方程为： 4y kx  ， 由 2 4 16 y kx x y     消去 y ，得到 2 16 64 0x kx   ，所以 1 2 1 2 16 64 x x k x x      ， 所以   2 1 2 1 2 8 16 8y y k x x k      ， 又过抛物线 2 16x y 的焦点 F 的直线 AB 被 F 分成长度为 m ， n 的两段 m n ， 所以 1 4y m  ， 2 4y n  ， 1 2 8y y m n    ， 所以 1 2 1 2 1 2 y y m nk x x x x - -= =- - ， 因此 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 21 2 2 16 128 16 m n m n m n m nk x x x x y y m nx x - - - -= = = =+ - + + +- ， - 12 - 所以  2 2 1 2 16 8 8 8m ny y k m nm n         ， 即     2 2 16m n m n m n     ，整理得：  4mn m n  . 故答案为：  4mn m n  . 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的简单应用，熟记抛物线的焦点弦长公式，以及抛物线 的简单性质即可，属于常考题型. 15.习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键.要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创 业.2020 年 1 月 8 日，人力资源和杜会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返 乡入乡创业工作的意见》.《意见》指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推 动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展， 实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和“创业技术 培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列 na （单 位：万元），每年“创业技术培训”投入为第一年创业资金 1a （万元）的 3 倍，已知 2 2 1 2 200a a  ，则该镇政府帮扶 5 年累计总投入的最大值为_______万元. 【答案】200 【解析】 【分析】 设等差数列  na 的公差为 d，且满足 2 2 1 2 200a a  .则该镇政府帮扶 5 年累计总投入：  1 1 1 2 5 45 5 3 102a d a a a      ，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】设等差数列 na 的公差为 d，且满足 2 2 1 2 200a a  .则该镇政府帮扶 5 年累计总投 入：      2 2 1 1 1 1 2 1 2 5 45 5 3 10 2 10 10 2 10 2 200 2002a d a a d a a a a              ，当且仅当 1 2 10a a  时等号成立. 故该镇政府帮扶 5 年累计总投入的最大值为 200 万元. 故答案为：200 【点睛】本题考查了等差数列前 n 项和公式在实际问题中的应用，也考查了基本不等式求最值 - 13 - 的应用，属于基础题. 16.函数   22 22lnxf x x e x ax   ，若 0a  ，则  f x 在 1,2 的最小值为_______；当 0x  时，   1f x  恒成立，则 a 的取值范围是_____. 【答案】 (1). e (2).  ,1 【解析】 【分析】 将 0a  代入，求出函数的导数得出   0f x  恒成立，得到单调性进而得最小值；结合性 1xe x  可得   21 1 1a x   ，进而可得结果. 【详解】当 0a  时，∵   22 2lnxf x x e x  ，∴   2 22 22 2x xf x xe x x e x      . 当 1x  时，   0f x  恒成立， ∴  f x 在 1,2 上单调递增. ∴  f x 在 1,2 上最小值为  1f e . 又 0x  时，   1f x  恒成立，令   1xg x e x   ,    1 0 0xg x e g     , 所以  g x 在 0,  递增，    0 0g x g  所以 1xe x  ∴   2 22 2 2ln 22ln 2lnx x xf x x e x ax e x ax       2 2 22ln 1 2ln 1 1 1x x x ax a x         恒成立， ∴ 1a  . 故答案为 e ； ,1 . 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数解决不等式恒成立问 题，属于难题. 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．） 17.在平面中，四边形 ABCD 满足 AB AD ， 4AB  ， 2 5AC  ， 2BCD BCA   ， ABC 的面积为 4 . （1）求 BC 的长； - 14 - （2）求 ACD△ 的面积. 【答案】（1） 2BC  ；（2）10 . 【解析】 【分析】 （1）由 ABC 的面积求得sin BAC 的值，进而求得 cos BAC ，然后在 ABC 中利用余 弦定理可求得 BC 的长； （2）利用勾股定理得出 AB BC ，进而推导出 DCA BCA CAD     ，可得出 AD CD ，过顶点 D 作 AC 的垂线，垂足为 E ，在 Rt ADE△ 中，利用正弦定理可求得 DE 的长，然后利用三角形的面积公式可求得 ACD△ 的面积. 【详解】（1）由已知 1 1sin 4 2 5 sin 42 2ABCS AB AC BAC BAC         △ ，可得 5sin 5BAC  ， 又 AB AD ，所以 0, 2BAC      ，所以 2 2 5cos 1 sin 5BAC BAC     . 在 ABC 中，由余弦定理 2 2 2 2 cos 4BC AB AC AB AC BAC       ， 2BC  ； （2）由（1）可得： 2 2 2AC AB BC  ，所以 AB BC ，故 2BAC BCA     . 由 AB AD ，得 2BAC CAD     ，所以   BCA CAD ，. 又 2BCD BCA   ，所以 DCA BCA CAD     ， 所以 ACD△ 为等腰三角形，即 AD CD . 在 ACD△ 中，过顶点 D 作 AC 的垂线，垂足为 E ，且 2ADE CAD     ， ADE BAC   ， sin sin cos2CAD ADE ADE         ， - 15 - 在 Rt ADE△ 中，由正弦定理 sin sin DE AE CAD ADE   ，可得 sin cos 2 5sin sin AE CAD AE ADEDE ADE ADE      ， 所以 1 1 2 5 2 5 102 2ACDS AC DE     △ . 【点睛】本题考查三角形中的几何计算，考查利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公 式解三角形，考查计算能力，属于中等题. 18.人类非物质文化遗产是经联合国教科文组织评选确定而列入《人类非物质文化遗产代表作 名录》的遗产项目.记录着人类社会生产生活方式、风俗人情、文化理念等，非物质文化遗产 蕴藏着世界各民族的文化基因、精神特质、价值观念、心理结构、气质情感等核心因素，是 全人类共同的宝贵财富.中国作为东方文明大国，有 39 个项目入选，总数位居世界第一.现已 知某地市是非物质文化遗产项目大户，有 7 项人选，每年都有大批的游客前来参观学习，同 时也带动了当地旅游经济的发展.某土特产超市对 2019 年春节期间的 90 位游客购买情况进行 统计，得到如下人数分布表： 购买金额 （元）  0,15  15,30  30,45  45,60  60,75  75,90 购买人数 10 15 20 15 20 10 （1）根据以上数据完成 2×2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的情况下认为 购买金额是否少于 60 元与年龄有关. 不少于 60 元 少于 60 元 总计 - 16 - 年龄大于 50 40 龄小于 50 18 总计 （2）为吸引游客，超市推出一种优惠方案，举行购买特产，抽奖赢取非物质文化遗产体验及 返现的活动，凡是购买金额不少于 60 元可抽奖三次，每次中奖概率为 P（每次抽奖互不影响， 且 P 的值等于人数分布表中购买金额不少于 60 元的频率），每中奖一次体验 1 次，同时减免 5 元；每中奖两次体验 2 次，减免 10 元，每中奖三次体验 2 次，减免 15 元，若游客甲计划购 买 80 元的土特产，请列出实际付款数 X（元）的分布列并求其数学期望. 附参考公式和数据：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ， n a b c d    .  2 0P K k 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 0k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过 0.05 的情况下认为购买金额是否少于 60 元与年龄有关；（2）分布列见解析，75. 【解析】 【分析】 （1）根据题中数据可得 2 2 列联表，再利用 2K 计算公式得出，即可判断出结论． （2） X 可能取值为 65，70，75，80，且 10 20 1 90 3P   ．利用二项分布列的计算公式即可 得出 X 的分布列及其数学期望． 【详解】解：（1）2×2 列联表如下： 不少于 60 元 少于 60 元 总计 - 17 - 年龄大于 50 12 40 52 龄小于 50 18 20 38 总计 30 60 90  2 2 90 12 20 40 18 1440 5 3.84130 60 52 38 247K          ，. 因此能在犯错误的概率不超过 0.05 的情况下认为购买金额是否少于 60 元与年龄有关. （2）X 的可能取值为 65，70，75，80，且 10 20 1 90 3P   .   3 3 3 1 165 3 27P X C       ，   2 2 3 1 2 270 3 3 9P X C             ，.   2 1 3 1 2 475 C 3 3 9P X          ，   3 0 3 2 880 3 27P X C       . X 的分布列为 X 65 70 75 80 P 1 27 2 9 4 9 8 27 所以   1 2 865 70 75 80 7527 9 9 27 4E X          . 【点睛】本题考查独立性检验、二项分布列的计算公式及其数学期望，考查运算求解能力和 应用意识，属于中档题． 19.如图，已知五面体  ABCDEF 中，四边形 BCEF 为等腰梯形， //BC AD ， AB BC ，且 - 18 - 2BC  ， 1BF EF CE AD    ， 2AB  ，平面 ABF  平面 BCEF . （1）证明： AB CE^ ； （2）求二面角 A DF C  的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 5 33 33 . 【解析】 【分析】 （1）取 BC 中点 M，连接CF ，MF ，先由题中条件，得到CF BF ，再由面面垂直的性质， 以及线面垂直的判定定理，证明 AB  平面 BCEF ，进而可得出 AB CE^ ； （2）先由题意建立空间直角坐标系，分别求出平面 ADF 和平面 DFC 的法向量，根据向量 夹角公式，求出法向量夹角的余弦值，进而可得出结果. 【详解】（1）证明：取 BC 中点 M，连接 CF ， MF ， 因为四边形 BCEF 为等腰梯形， 2BC  ， 1BF EF CE AD    ， 所以 //CM EF ， 1CM EF  ，所以四边形 EFMC 为平行四边形， 所以 EC MF ，三角形 BMF 为等边三角形， 所以 60CBF  ， 30BCF   ， 90BFC  ，即 CF BF ， 又因为CF  平面 BCEF ，平面 ABF  平面 BCEF ，平面 ABF  平面 BCEF BF ， 所以CF  平面 ABF ， 因为 AB Ì平面 ABF ，所以CF AB ， 又因为 AB BC ， BC CF C ， BC 平面 BCEF ，CF  平面 BCEF ， 所以 AB  平面 BCEF ， 又因为CE  平面 BCEF ，所以 AB CE^ . - 19 - （2）据（1）可建立如图所示的空间直角坐标系， 所以可求得  0,0, 2A ，  0,1, 2D ， 3 1, ,0 2 2 F       ，  0,2,0C . 则 3 1, , 22 2DF         ，  0,1,0AD  uuur ，  0,1, 2DC   . 设向量  1 1 1, ,a x y z 为平面 ADF 的一个法向量， 则 0 0 a DF a AD         ，即 1 1 1 1 3 1 2 02 2 0 x y z y       ， 所以令 2z  ，则 4 3 ,0, 23a        ； 设向量  2 2 2, ,b x y z 为平面 DFC 的法向量，则 0 0 b DF b DC         ， 即 2 2 2 2 2 3 1 2 02 2 2 0 x y z y z        ， - 20 - 令 2z  ，则  2 3,2, 2b  ， 所以 5 33cos , 33 a ba b a b         ， 又二面角 A DF C  的平面角为钝角， 所以二面角 A DF C  的余弦值为 5 33 33  . 【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角的余弦值，熟记线面、面面垂直的性质 定理，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型. 20.已知圆  2 2: 3 16C x y   ，点  3,0G  ，P 是圆 C 上一动点，若线段 PG 的垂直平 分线和CP 相交于点 M. （1）求点 M 的轨迹方程 E. （2）已知直线  : 0l y kx m m   交曲线 E 于 A，B 两点. ①若射线 BO 交椭圆 2 2 116 4 x y  于点 Q，求 ABQ△ 面积的最大值； ②若 OA OB ，OD 垂直 AB 于点 D，求点 D 的轨迹方程. 【答案】（1） 2 2 14 x y  ；（2）① ABQ 面积的最大值为 3；② 2 2 4 2 5 5 5x y x         . 【解析】 【分析】 （1）根据题意，化简得 4GM MC PM MC GC     ，再结合椭圆的定义即可取得 点 M 的轨迹方程； （2）①当 BO 所在直线斜率存在时，设 BO 的方程为 y nx ，得到 Q 到直线 l 的距离是点 O 到直线l 距离的 3 倍，联立方程组 2 2 14 y kx m x y     ，利用根与系数的关系和弦长公式，以及点到 直线的距离公式，求得 OABS 的表示，利用基本不等式，求得 OABS 面积的最大值；当 BO 所 在直线斜率不存在时，设l 的方程为 1y kx  ，联立方程组，结合面积公式和基本不等式， 求得 OABS 的最大值，即可得到结论；②由①和 OA OB ，化简得到  2 24 1 5k m  ，进而 - 21 - 得到 2 5 5OD  ，结合圆的定义，即可求解. 【详解】（1）由圆  2 2: 3 16C x y   ，可得圆心 ( 3,0)C ，半径 4r  ， 因为 2 3 4GC   ，所以点 G 在圆 C 内， 又由点 M 在线段 PG 的垂直平分线上，所以 GM PM ， 所以 4GM MC PM MC GC     ， 由椭圆的定义知，点 M 的轨迹是以 G，C 为焦点的椭圆， 其中 2a  ， 3c  ， 2 4 3 1b    ， 所以点 M 的轨迹方程为 2 2 14 x y  . （2）①当 BO 所在直线斜率存在时，设 BO 所在直线方程为 y nx ， 由 2 2 14 y nx x y    ，可得 2 2 4 1 4Bx n   ，同理 2 2 16 1 4Qx n   ， 2 1 Q B x x  ，所以 2OQ OB  ， 即 Q 到直线l 的距离是点 O 到直线l 距离的 3 倍， 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 联立 2 2 14 y kx m x y     ，可得   2 2 24 1 8 4 1 0k x kmx m     . 由   得 2 24 1 0k m   ，且 1 2 2 8 4 1 kmx x k     ，  2 1 2 2 4 1 4 1 m x x k    ， 则   2 2 2 22 1 2 1 2 2 4 1 4 11 4 4 1 k k mAB k x x x x k         ， 又由 O 到直线 l 的距离 21 md k   ， ∴   2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 14 1 4 1 4 12 2 1 2 14 1 4 1 4 1 2OAB m m m k m k km mS k k k                    △ . - 22 - 当且仅当 2 2 2 214 1 4 1 m m k k    ，即 2 22 4 1m k  时等号成立. 故 ABQ△ 面积的最大值为 3 3OABS △ . 当 BO 所在直线斜率不存在时， 假设  0,1B ，则  0, 2Q  ，l 的方程为 1y kx  （其中 0k  ）. 联立 2 2 1 14 y kx x y     ，得  2 24 1 8 0k x kx   ，则 2 8 4 1A kx k   . ∴ 2 1 12 12 12 312 4 1 2 24 ABQ A kS BQ x k k k        △ ， 综上可得， ABQ 面积的最大值为 3. ②由①知 1 2 2 8 4 1 kmx x k     ，  2 1 2 2 4 1 4 1 m x x k    ， 又因为OA OB ，所以 0OA OB   ，即 1 2 1 2 0x x y y  ， 即    2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1) ( ) 0x x kx m kx m k x x km x x m         ， 代入解得  2 24 1 5k m  ， 又 2 | | 2 5 51 mOD k    ， 所以点 D 的轨迹是以 O 为圆心，半径为 2 5 5 的圆（去掉 x 轴上的两个点）， 故点 D 的轨迹方程为 2 2 4 2 5 5 5x y x         . 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用, 解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解， 此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、 运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21.已知函数    xf x xe x R  . （1）判断函数  f x 的单调性； - 23 - （2）若方程   22 3 1 0f x a a    有两个不同的根，求实数 a 的取值范围； （3）如果 1 2x x ，且    1 2f x f x ，求证：  1 2ln ln 2x x  . 【答案】（1）在 ,1 上单调递增，在  1, 上单调递减.；（2） 1 ,12      ；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）先求解导数  f x ，通过求解不等式，判断函数单调性； （2）利用单调性求解函数的值域，结合图象变化趋势可得 2 12 3 1 0,a a e        ，然后求解 不等式可得结果； （3）构造函数      1 1F x f x f x    ，判断单调性得出    1 1f x f x   ，结合函 数  f x 的单调性可得 1 2 2x x  ，从而可证结论. 【详解】（1）因为   xf x xe ，所以    1 xf x x e   ，令   0f x  可得 1x  ；令   0f x  可得 1x  ；所以函数   xf x xe 在 ,1 上单调递增，在 1, 上单调递减. （2）由（1）可得函数   xf x xe 在 1x  处取得最大值，    max 11f x f e   ， 所以函数   xf x xe 的值域为 1, e     ，且 x   时，   0f x  ； 因为方程   22 3 1 0f x a a    有两个不同的根， 所以 2 12 3 1 0,a a e        ，即 22 3 1 0a a    ， 2 12 3 1a a e     ，解得 1 12 a  . 即实数 a 的取值范围为 1 ,12      . （3）证明：由    1 2f x f x ， 1 2x x ，不妨设 1 2x x ， 构造函数      1 1F x f x f x    ，  0,1x ， 则        2 11 1 1 0x x xF x f x f x ee          ， - 24 - 所以  F x 在  0,1x 上单调递增，    0 0F x F  ， 也即    1 1f x f x   对  0,1x 恒成立. 由 1 20 1x x   ，则  11 0,1x  ， 所以            1 1 1 1 21 1 2 1 1f x f x f x f x f x         ，. 即    1 22f x f x  ，又因为 12 x ，  2 1,x   ，且  f x 在  1, 上单调递减，所以 1 22 x x  ， 即证 1 2 2x x  . 即  1 2ln ln 2x x  . 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的符号可以判定单调性，利用导数可以研究函 数图象的变化趋势，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分． [选修 4-4：坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2cos 3 sin x y     （ 为参数），直线l 的参 数方程为 1 cos sin x t a y t      （t 为参数）. （1）求曲线 C 和直线 l 的一般方程； （2）已知点  1,0P ，直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，若 12 5PA PB  ，求直线l 的一般方 程. 【 答 案 】（ 1 ） 2 2 14 3 x y  ； 1x  或  tan 1y x   ；（ 2 ） 3 3 0x y   或 3 3 0x y   . 【解析】 【分析】 （1）由曲线 C 和直线 l 的参数方程，消去参数，即可求得曲线 C 和直线 l 的一般方程； - 25 - （2）将 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，结合直线参数方程中参数的几何意义，即可求 解. 【详解】（1）由题意，曲线 C 的参数方程为 2cos 3 sin x y     （ 为参数）， 即 cos2 sin 3 x y       （ 为参数），平方相加，可得曲线 C 的一般方程为 2 2 14 3 x y  ， 由直线l 的参数方程为 1 cos sin x t a y t      （ t 为参数） 当 cos 0  时， l 的直角坐标方程为  tan 1y x   . 当 cos 0  时，l 的直角坐标方程为 1x  . （2）将 l 的参数方程 1 cos sin x t a y t      （t 为参数）代入 2 2 14 3 x y  ， 整理得 2 2 24sin 3cos 6cos 9 0t t       ， 设 A，B 对应的参数为 1t ， 2t ，则 1 2 2 2 9 4sin 3cost t      ， ∴ 2 2 9 12 4sin 3cos 5PA PB     ，解得 2tan 3  ，即 tan 3  或 tan 3   ， 所以直线 l 的方程为 3 3 0x y   或 3 3 0x y   . 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线的参数方程的几何意义的应 用，其中解答中熟记直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查推理与运算 能力. [选修 4-5：不等式选讲] 23.已知函数   2f x x x m    . （1）若 1m  ，求不等式   3f x x 的解集； （2）若关于 x 的不等式   1f x  恒成立，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1） 1x x  ；（2）   , 3 1,    . 【解析】 - 26 - 【分析】 （1）求出函数的两个零点，再利用零点分段法解不等式，即可得到答案； （2）利用绝对值不等式，将   1f x  恒成立等价于 2 1m  恒成立，再解绝对值不等式， 即可得到答案； 【详解】解：（1）当 1m  时，   1 2 , 1 3, 1 2 2 1, 2 x x f x x x x           . 当 1x   时，由   3f x x ，得5 1x  ，解得 1 5x  ，所以 1x   ； 当 1 2x   时，由   3f x x ，得3 3x  ，解得 1x  ，所以 1 1x   ； 当 2x  时，   3f x x ，解得 1x   ，所以无解. 综上   3f x x 的解集为 1x x  （2）  2 2 2x x m x x m m        ，当且仅当  2 0x x m   时等号成立， 故   1f x  恒成立等价于 2 1m  恒成立， 由 2 1m  ，可得 3m   或 1m   ， 所以 m 的取值范围是   , 3 1,    . 【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式和不等式恒成立求参数，考查分类讨论思想， 考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性. - 27 -