高中人教a版数学必修4：第一章 章末检测 word版含解析

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第一章章末检测 班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 一、选择题：本大题共 12 题，每题 5 分，共 60 分．在下列各题的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的． 1．下列命题中正确的是( ) A．终边相同的角一定相等 B．锐角都是第一象限角 C．第一象限角都是锐角 D．小于 90°的角都是锐角 答案：B 2．已知 sin(2π－α)＝4 5 ，α∈ 3π 2 ，2π ，则sinα＋cosα sinα－cosα 等于( ) A.1 7 B．－1 7 C．－7 D．7 答案：A 解析：∵sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝4 5 ， ∴sinα＝－4 5. ∵α∈ 3π 2 ，2π ，∴cosα＝ 1－sin2α＝3 5. ∴sinα＋cosα sinα－cosα ＝ －4 5 ＋3 5 －4 5 －3 5 ＝ －1 5 －7 5 ＝1 7. 3．已知角α的终边经过点( 3，－1)，则角α的最小正值是( ) A.2π 3 B.11π 6 C.5π 6 D.3π 4 答案：B 解析：∵sinα＝－1 2 ＝－1 2 ，且α的终边在第四象限，∴α＝11 6 π. 4．若函数 y＝2cosωx 在区间 0，2π 3 上递减，且有最小值 1，则ω的值可以是( ) A．2 B.1 2 C．3 D.1 3 答案：B 解析：由 y＝2cosωx 在 0，2π 3 上是递减的，且有最小值为 1，则有 f 2π 3 ＝1，即 2×cos ω×2π 3 ＝1，cos 2π 3 ω ＝1 2 ，检验各选项，得出 B 项符合． 5．sin(－1740°)的值是( ) A．－ 3 2 B．－1 2 C.1 2 D. 3 2 答案：D 解析：sin(－1740°)＝sin60°＝ 3 2 . 6．函数 f(x)＝3sin 2x－π 6 在区间 0，π 2 上的值域为( ) A. －3 2 ，3 2 B. －3 2 ，3 C. －3 3 2 ，3 3 2 D. －3 3 2 ，3 答案：B 解析：当 x∈ 0，π 2 时，2x－π 6 ∈ －π 6 ，5π 6 ，sin 2x－π 6 ∈ －1 2 ，1 ，故 3sin 2x－π 6 ∈ －3 2 ，3 ，即此时函数 f(x)的值域是 －3 2 ，3 . 7．下列函数中，在 0，π 2 上是增函数的偶函数是( ) A．y＝|sinx| B．y＝|sin2x| C．y＝|cosx| D．y＝tanx 答案：A 解析：作图比较可知． 8．要得到函数 y＝cos(3x＋2)的图象，只要将函数 y＝cos3x 的图象( ) A．向左平移 2 个单位 B．向右平移 2 个单位 C．向左平移2 3 个单位 D．向右平移2 3 个单位 答案：C 解析：∵y＝cos(3x＋2)＝cos3 x＋2 3 ， ∴只要将函数 y＝cos3x 的图象向左平移2 3 个单位即可． 9．定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是π，且当 x ∈ 0，π 2 时，f(x)＝sinx，则 f 5π 3 的值为( ) A．－1 2 B. 3 2 C．－ 3 2 D.1 2 答案：B 解析：f 5π 3 ＝f π 3 ＝sinπ 3 ＝ 3 2 . 10．若函数 f(x)＝ 2sin ax＋π 4 (a>0)的最小正周期为 1，且 g(x)＝ sinaxx<0 gx－1x≥0 ，则 g 5 6 等于( ) A．－1 2 B.1 2 C．－ 3 2 D. 3 2 答案：C 解析：由条件得 f(x)＝ 2sin ax＋π 4 ，又函数的最小正周期为 1，故2π a ＝1，∴a＝2π， ∴g 5 6 ＝g －1 6 ＝sin －a 6 ＝ sin －π 3 ＝－ 3 2 . 11．已知ω>0，函数 f(x)＝sin(ωx＋π 4)在 π 2 ，π 上单调递减，则ω的取值范围是( ) A. 1 2 ，5 4 B. 1 2 ，3 4 C. 0，1 2 D．(0,2] 答案：A 解析：因为ω>0，函数 f(x)＝sin ωx＋π 4 在 π 2 ，π 上单调递减，所以ωπ 2 ＋π 4 ≤ωx＋π 4 ≤ωπ ＋π 4 ，所以 ωπ 2 ＋π 4 ≥π 2 ， ωπ＋π 4 ≤3π 2 ， 解得1 2 ≤ω≤5 4 ，故选 A. 12．下图为一半径为 3m 的水轮，水轮圆心 O 距离水面 2m，已知水轮自点 A 开始旋转， 15s 旋转一圈．水轮上的点 P 到水面距离 y(m)与时间 x(s)满足函数关系式 y＝Asin(ωx＋φ)＋2， 则有( ) A．ω＝2π 15 ，A＝3 B．ω＝15 2π ，A＝3 C．ω＝2π 15 ，A＝5 D．ω＝15 2π ，A＝5 答案：A 解析：∵T＝15，故ω＝2π T ＝2π 15 ，显然 ymax－ymin 的值等于圆 O 的直径长，即 ymax－ymin ＝6，故 A＝ymax－ymin 2 ＝6 2 ＝3. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上． 13．已知 sin π 4 －α ＝m，则 cos π 4 ＋α ＝________. 答案：m 解析：cos π 4 ＋α ＝cos π 2 － π 4 －α ＝sin π 4 －α ＝m. 14．已知 f(x)的定义域为(0,1]，则 f(sinx)的定义域是________． 答案：(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z 解析：由 00，x∈(－∞，＋∞)，且以π 2 为最小正周期． (1)求 f(0)； (2)求 f(x)的解析式； (3)已知 f α 4 ＋ π 12 ＝9 5 ，求 sinα的值． 解：(1)f(0)＝3sin ω×0＋π 6 ＝3sinπ 6 ＝3 2. (2)∵T＝2π ω ＝π 2 ，∴ω＝4，所以 f(x)的解析式为：f(x)＝3sin(4x＋π 6)． (3)由 f α 4 ＋ π 12 ＝9 5 得 3sin 4 α 4 ＋ π 12 ＋π 6 ＝9 5 ，即 sin α＋π 2 ＝3 5 ，∴cosα＝3 5 ， ∴sinα＝± 1－cos2α＝± 1－ 3 5 2＝±4 5. 22．(12 分)已知函数 f(x)＝ 2cos 2x－π 4 ，x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)当 x∈ －π 8 ，π 2 时，方程 f(x)＝k 恰有两个不同的实数根，求实数 k 的取值范围； (3)将函数 f(x)＝ 2cos 2x－π 4 的图象向右平移 m(m>0)个单位后所得函数 g(x)的图象关 于原点中心对称，求 m 的最小值． 解：(1)因为 f(x)＝ 2cos 2x－π 4 ，所以函数 f(x)的最小正周期为 T＝2π 2 ＝π， 由 － π ＋ 2kπ≤2x － π 4 ≤2kπ ， 得 － 3π 8 ＋ kπ≤x≤ π 8 ＋ kπ ， 故 函 数 f(x) 的 递 增 区 间 为 －3π 8 ＋kπ，π 8 ＋kπ (k∈Z)； (2)因为 f(x)＝ 2cos 2x－π 4 在区间 －π 8 ，π 8 上为增函数，在区间 π 8 ，π 2 上为减函数 又 f －π 8 ＝0，f π 8 ＝ 2，f π 2 ＝ 2cos π－π 4 ＝－ 2cosπ 4 ＝－1， ∴当 k∈[0， 2)时方程 f(x)＝k 恰有两个不同实根． (3)∵f(x)＝ 2sin －2x＋3π 4 ＝ 2sin 2x＋π 4 ＝ 2sin2 x＋π 8 ∴g(x)＝ 2sin2 x＋π 8 －m ＝ 2sin 2x＋π 4 －2m 由题意得π 4 －2m＝2kπ，∴m＝－kπ＋π 8 ，k∈Z 当 k＝0 时，m＝π 8 ，此时 g(x)＝ 2sin2x 关于原点中心对称．