2012年数学福建师大附中高考模拟考试（理科）

2012年数学福建师大附中高考模拟考试（理科）

‎2012年福建师大附中高考模拟考试（理科）‎ 一、选择题 ‎1、设函数是定义在R上的函数，其中的导函数为，满足对于恒成立，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2、已知,若，则实数的值为（ ）‎ ‎ A.1 B.－‎1 ‎‎ C.1或－1 D.0或1或－1‎ ‎3、如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ） A．8 Ｂ． ‎12 C．16 D．24‎ ‎4、如右图所示的程序框图，若输出的是，则①可以为 ( )‎ A． ‎ ‎ B． ‎ ‎ C． ‎ D．‎ ‎5、如图所示，点是函数的 图象的最高点，，是该图象与轴的交点，若，‎ 则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、已知两个不同的平面，和两条不重合的直线，，在下列四个命题中错误的是（ ）‎ A．若∥，⊥ ，则⊥ Ｂ．若⊥，⊥，则∥‎ ‎ C．若∥，，则∥ D．若⊥，∥，，则⊥‎ ‎7、对于数列，， ，则等于（ ）‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ A．2 B．‎3 ‎‎ C．4 D．5 ‎ ‎8、下列四个判断：‎ ‎①“”是直线与直线 相互垂直的必要不充分条件；‎ ‎② 函数，，则是最小正周期为的函数；‎ ‎③ 已知的展开式的各项系数和为32，则展开式中x的系数为20；‎ ‎④ 不等式：≥， ≥ ，‎ ‎≥，…，‎ 由此猜测第个不等式为…≥….‎ 其中正确的个数有：（ ）‎ A． 个 B． 个 C． 个 D．个 ‎9、已知双曲线的焦距为‎2c，离心率为e，若点（-1，0）与 点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10、若复数，则在复平面上对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 ‎11、如图是某赛季CBA广东东莞银行队甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是 　 . ‎ ‎2 3‎ ‎3 1 4 2‎ ‎1 1 4 ‎ ‎0 9‎ 比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是 　 .‎ ‎ ‎ 甲 乙 甲 ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎2 3‎ ‎2 3 4 5‎ ‎6 3 4 0‎ ‎2 ‎ ‎12、已知向量，其中x，y都是正实数，若，‎ 则的最小值是_______.‎ ‎13、已知函数，，若都是在区间内任取一个数，‎ 则的概率为_______。‎ ‎14、若对于定义在R上的函数f (x) ,其图象是连续不断的，且存在常数(R)，使得对任意实数x都有 f (x +) +f (x) = 0成立，则称f (x) 是一个“—伴随函数”. 有下列关于“—伴随函数”的结论：‎ ‎①f (x) =0 是常数函数中唯一个“—伴随函数”；② f (x) = x2是一个“—伴随函数”；‎ ‎③ “—伴随函数”至少有一个零点； ④是一个“伴随函数”‎ 其中不正确的序号是 。（写出所有不正确结论的序号）‎ ‎15、已知函数，则的值是 。‎ 三、解答题 ‎16、 .（1）矩阵与变换 二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2).‎ ‎(Ⅰ)求矩阵M的逆矩阵；‎ ‎(Ⅱ)设直线在变换M作用下得到了直线m：2x－y=4，求的方程．‎ ‎（2）已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）.‎ ‎（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆上的点到直线的距离的最小值.‎ ‎(3) 已知函数 ‎ （1）求x的取值范围，使为常数函数；‎ ‎ （2）若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围。‎ ‎17、‎ 某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：‎ 日销售量 ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ 频数 ‎10‎ ‎25‎ ‎15‎ 频率 ‎0.2‎ a b ‎（1）求表中的值；‎ ‎（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.‎ ‎①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；‎ ‎②已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和期望。‎ ‎18、 如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.‎ ‎(Ⅰ)求证：平面；‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.‎ ‎19、‎ 某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC．‎ ‎（1）设AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；‎ ‎（2）求四边形ABCD面积的最大值．‎ ‎(第18题图）‎ C A B D l ‎20、‎ 已知圆M：定点，点为圆上的动点，点在上，点在上，且满足。‎ ‎(Ⅰ) 求点G的轨迹C的方程；‎ ‎(Ⅱ) 过点（2,0）作直线l，与曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即｜OS｜＝｜AB｜）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由。‎ ‎21、 如下图，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作 轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，，以此类推，过点的切线 与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N）．(1) 求、及数列的通项公式；(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为，求证：N.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C ‎ ‎2、D ‎3、C ‎4、B ‎5、B ‎ ‎6、C ‎ ‎7、A ‎8、B ‎9、B ‎ ‎10、A ‎ 二、填空题 ‎11、58 ‎ ‎12、4 ‎ ‎13、 ‎ ‎14、①②④‎ ‎15、7 ‎ 三、解答题 ‎16、（1）‎ 解: (Ⅰ)设,则有=,=,‎ 所以,‎ 解得 ‎ 所以M=,从而，‎ 从而= ‎ ‎(Ⅱ)因为 且m：2，‎ 所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,‎ 即x+4 =0,这就是直线l的方程 ‎ ‎（2）‎ 解:（Ⅰ） ‎ 所以，该直线的直角坐标方程为：‎ ‎（Ⅱ）圆的普通方程为：‎ 圆心到直线的距离 所以，圆上的点到直线的距离的最小值为 ‎(3)‎ ‎ 解:（Ⅰ） ‎ 则当时，为常函数． ‎ ‎（Ⅱ）法一：画图，由（1）得函数的最小值为4， ‎ 法二：：‎ 等号当且仅当时成立。得函数的最小值为4，‎ 则实数的取值范围为． ‎ ‎ ‎ ‎17、 解：(1 ) 求得0.5 0.3. ‎ ‎(2) ①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率 ‎ 设5天中该种商品有天的销售量为1.5吨，则～B（5,0.5） ‎ ‎ ‎ ‎②的可能取值为4,5,6,7,8，则 ‎ ‎，‎ ‎， ‎ 的分布列:‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ p ‎0.04‎ ‎0.2‎ ‎0.37‎ ‎0.3‎ ‎0.09‎ ‎ ‎ ‎18、(Ⅰ)证明： 因为平面，‎ 所以. ‎ 因为是正方形，‎ 所以，‎ 又相交 从而平面. ‎ ‎(Ⅱ)解：因为两两垂直，‎ 所以建立空间直角坐标系如图所示.‎ 因为与平面所成角为，即， ‎ 所以.‎ 由可知，. ‎ 则，，，，，‎ 所以，， ‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 令，则. ‎ 因为平面，所以为平面的法向量，，‎ 所以. ‎ 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. ‎ ‎(Ⅲ)解：点是线段上一个动点，设.‎ 则，‎ 因为平面，‎ 所以， ‎ 即，解得. ‎ 此时，点坐标为，，符合题意. ‎ ‎19、 解：（1）在△ABD中，由余弦定理得 BD2＝AB2+AD2－2AB·AD·cosA． ‎ 同理，在△CBD中，BD2＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC． ‎ 因为∠A和∠C互补，‎ 所以AB2+AD2－2AB·AD·cosA＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC ‎ ＝CB2+CD2＋2CB·CD·cosA． ‎ 即 x2+(9－x)2－2 x(9－x) cosA＝x2+(5－x)2＋2 x(5－x) cosA．　‎ 解得 cosA＝，即f( x)＝．其中x∈(2，5)．　　 ‎ ‎（2）四边形ABCD的面积 S＝(AB·AD+ CB·CD)sinA＝[x(5－x)+x(9－x)]．　 ‎ ‎＝x(7－x)＝＝．‎ 记g(x)＝(x2－4)( x2－14x＋49)，x∈(2，5)．‎ 由g′(x)＝2x( x2－14x＋49)＋(x2－4)( 2 x－14)＝2(x－7)(2 x2－7 x－4)＝0，‎ 解得x＝4(x＝7和x＝－舍)． ‎ 所以函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减．‎ 因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108．‎ 所以S的最大值为＝6．‎ 答：所求四边形ABCD面积的最大值为6m2． ‎ ‎(第18题图）‎ C A B D l ‎20、解：（1）Q为PN的中点且GQ⊥PN ‎ GQ为PN的中垂线|PG|=|GN|‎ ‎ ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是 ‎ ‎ （2）因为，所以四边形OASB为平行四边形 ‎ 若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形 ‎ 若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由 ‎ 矛盾，‎ 故l的斜率存在，设l的方程为 ‎ ‎ ‎ ①‎ ‎ ‎ ‎ ② ‎ ‎ 把①、②代入∴存在直线使得四边形OASB的对角线相等. ‎ ‎21、(1) 解: 由，设直线的斜率为，则.∴直线的方程为.令，得， ‎ ‎∴， ∴. ∴.‎ ‎∴直线的方程为.令，得. ‎ 一般地，直线的方程为，‎ 由于点在直线上，∴. ‎ ‎∴数列是首项为，公差为的等差数列.‎ ‎∴. ‎ ‎（2）解：‎ ‎ . ‎ ‎（3）证明：…8分 ‎ ∴，. ‎ ‎ 要证明，只要证明，即只要证明.9分 ‎ 证法1：（数学归纳法）‎ ‎① 当时，显然成立；‎ ‎② 假设时，成立，则当时，，‎ 而.‎ ‎∴. ∴.‎ 时，也成立.由①②知不等式对一切N都成立.…14分 证法2: ‎ ‎ .‎ ‎ ∴不等式对一切N都成立. ‎ 证法3:令,则,‎ 当时, ,‎ ‎∴函数在上单调递增. ∴当时, .‎ ‎∵N, ∴, 即.∴.‎ ‎∴不等式对一切N都成立. ‎