扬州市2012届第一学期期末高三数学检测试题

扬州市2012届第一学期期末高三数学检测试题

扬州市2012届第一学期期末高三数学检测试题 一、选择题 ‎1、若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．‎ ‎2、复数的实部为 ．‎ ‎3、已知且，则＝ ．‎ ‎4、执行右边的流程图，得到的结果是 ．‎ ‎5、已知满足不等式组则的最大值是 ．‎ ‎6、为了解某校男生体重情况，将样本数据整理后，画出其频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为12，则样本容量是 ．‎ ‎7、设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是 ．（填序号）‎ ‎①若则；‎ ‎②若则；‎ ‎③若则；‎ ‎④若则．‎ ‎8、设直线和圆相交于A，B两点，则弦AB的垂直平分线方程是 ．‎ ‎9、先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为，则是奇数的概率是 ．‎ ‎10、已知等比数列中，公比，且，则 ．‎ ‎11、已知集合，则＝ ．‎ ‎12、已知椭圆过点P（3，1），其左、右焦点分别为，且，则椭圆E的离心率是 ．‎ ‎13、已知，且，则的最大值是 ．‎ ‎14、在边长为6的等边△ABC中，点M满足，则等于 ．‎ 二、解答题 ‎15、‎ 已知是给定的某个正整数，数列满足：，其中．‎ ‎（I）设，求；‎ ‎（II）求．‎ ‎16、‎ 已知．‎ ‎（I）求在上的最小值；‎ ‎（II）已知分别为△ABC内角A、B、C的对边，，且，求边的长．‎ ‎17、‎ 如图，在三棱柱中，底面△ABC是等边三角形，D为AB中点．‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）若四边形是矩形，且，求证：三棱柱是正三棱柱．‎ ‎18、‎ 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：，若距离为‎1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设为建造宿舍与修路费用之和．‎ ‎（I）求的表达式；‎ ‎（II）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．‎ ‎19、‎ 如图，正方形ABCD内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M，N在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边AB上，且A，M都在第一象限．‎ ‎（I）若正方形ABCD的边长为4，且与轴交于E，F两点，正方形MNPQ的边长为2．‎ ‎①求证：直线AM与△ABE的外接圆相切；‎ ‎②求椭圆的标准方程．‎ ‎（II）设椭圆的离心率为，直线AM的斜率为，求证：是定值．‎ ‎20、‎ 已知函数．‎ ‎（I）求函数的单调递减区间；‎ ‎（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（III）过点作函数图像的切线，求切线方程．‎ ‎21、‎ 设数列满足．‎ ‎（I）若，求的值；‎ ‎（II）求证数列是等差数列；‎ ‎（III）设数列满足：，且，若存在实数，对任意都有成立，试求的最小值．‎ ‎22、求矩阵的特征值和特征向量．‎ ‎23、‎ 已知是椭圆上的点，求的取值范围．‎ ‎24、‎ 口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为．‎ ‎（I）若取到红球再放回，求不大于2的概率；‎ ‎（II）若取出的红球不放回，求的概率分布与数学期望．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 ‎ ‎2、1 ‎ ‎3、 ‎ ‎4、‎ ‎5、8 ‎ ‎6、32 ‎ ‎7、②④ ‎ ‎8、‎ ‎9、 ‎ ‎10、4 ‎ ‎11、 ‎ ‎12、‎ ‎13、‎ ‎14、24 ‎ 二、解答题 ‎15、（Ⅰ）由得，‎ ‎ 即，；，‎ ‎ ，； ‎ ‎ （Ⅱ）由得：，‎ ‎ 即，，…，，‎ ‎ 以上各式相乘得 ‎ ‎ ∴‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ ∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16、（Ⅰ）4分 ‎ ∴当时； ‎ ‎ （Ⅱ）∵时有最大值，是三角形内角∴‎ ‎ ∵ ∴ ∵正弦定理 ∴． ‎ ‎17、（Ⅰ）连，设与相交于点，连，则为中点，‎ ‎ ∵为的中点 ∴ ∵平面，平面 ∴//平面； ‎ ‎ （Ⅱ）∵等边，为的中点 ∴‎ ‎ ∵， ∴平面 ‎ ∵平面 ∴ ∵矩形 ∴ ‎ ‎ ∵ ∴平面 ‎ ∵底面是等边三角形 ∴三棱柱是正三棱柱． ‎ ‎18、（Ⅰ）根据题意得 ‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ） ‎ ‎ 当且仅当即时． ‎ ‎ 答：宿舍应建在离厂‎5km处可使总费用最小为75万元． ‎ ‎19、（Ⅰ）①依题意：，，‎ ‎ ‎ ‎ 为外接圆直径直线与的外接圆相切； ‎ ‎ ②由解得椭圆标准方程为． ‎ ‎ （Ⅱ）设正方形的边长为，正方形的边长为，‎ ‎ 则，，代入椭圆方程得 ‎ ‎ ‎ 为定值． ‎ ‎20、（Ⅰ）得 ‎ ‎ 函数的单调递减区间是； ‎ ‎ （Ⅱ）即 ‎ 设则 ‎ ‎ 当时，函数单调递减；‎ ‎ 当时，函数单调递增；‎ ‎ 最小值实数的取值范围是； ‎ ‎ （Ⅲ）设切点则即 ‎ 设，当时是单调递增函数 ‎ ‎ 最多只有一个根，又 ‎ 由得切线方程是. ‎ ‎21、（Ⅰ）∵∴=3∴=-1； ‎ ‎ （Ⅱ）∵①②，②-①得 ‎ ‎ ∴（）-（）==1为常数 ‎ ∴数列{}是等差数列． ‎ ‎ （Ⅲ）∵===……=‎ ‎ 当时（*），当时适合（*）式 ‎ ∴（）． ‎ ‎ ∵，，，，‎ ‎ ∴，，，，‎ ‎ ，，‎ ‎ ……‎ ‎ ‎ ‎ ==，‎ ‎ ∴数列是等比数列 ‎ 首项且公比 ‎ ‎ 记 ‎ ①当时 ‎ == ‎ ‎ ∴； ‎ ‎ ②当时 ‎ -‎ ‎ =-=‎ ‎ ∴； ‎ ‎ ③当时 ‎ --‎ ‎ =--=-- =‎ ‎ ∴ ‎ 综上得则且∴的最小值为． ‎ 第二部分（加试部分）‎ ‎22、‎ 由可得：，． ‎ 由可得属于的一个特征向量为 ‎ 由可得属于的一个特征向量为． ‎ ‎23、∵的参数方程（是参数）∴设 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴的取值范围是．10分 ‎24、（Ⅰ）∵，‎ ‎ ∴； ‎ ‎ （Ⅱ）∵可能取值为1，2，3，4，5，∴，，‎ ‎ ，，‎ ‎ ∴的概率分布表为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ ‎ ‎ ∴‎ 答：X的数学期望是． ‎