辽宁省辽河油田第二高级中学2020届高三10月月考数学（理）试题

辽宁省辽河油田第二高级中学2020届高三10月月考数学（理）试题

高三10月考试数学试题（理）‎ 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的(　　)‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3. 己知向量，条件，条件，则p是q的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.已知向量，，若，则实数（ ）‎ A. 2 B. ‎-2 ‎C. D. ‎ ‎5.已知数列是等差数列，．则使的的最小值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6..已知函数是奇函数，则实数（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8. 2020年东京夏季奥运会将设置 米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿‎100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有（ ）‎ A. 144种 B. 24种 C. 12种 D. 6种 ‎9.已知为内一点，且，，若,,三点共线，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象．关于函数，下列说法正确的是( )‎ A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称 C. 函数是偶函数 D. 在区间上的值域为 ‎11.已知△ABC中，，，点P为BC边的动点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎12.若函数在区间内恰有两个极值点，且，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.‎ ‎13.已知向量，，且，则实数_____．‎ ‎14. 已知的展开式中含项的系数为2019，则实数__________．‎ ‎15. 在中，，向量 在上的投影的数量为，则 ‎__________． ‎ ‎16.对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是________.‎ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）.‎ ‎17. （本题满分12分）‎ 在公差不为零的等差数列中，成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，，求.‎ ‎18. （本题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求函数最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）已知的三个内角的对边分别为，其中，若锐角A满足且，求的面积.‎ ‎19. （本题满分12分）‎ 随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.‎ 年龄 ‎（单位：岁）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎5‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关；‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 ‎（Ⅱ）若从年龄在的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样，抽取5人进行追踪调查，在5人中抽取3人做专访，求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值.‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎，其中.‎ ‎20. （本题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，，等差数列满足，‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：.‎ ‎21. （本题满分12分）‎ 已知，（其中常数）.‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）若函数有两个零点，求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22. （本题满分10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，‎ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线，过点的直线的参数方程 ，直线与曲线分别相交于两点．‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）是否存在实数，使得成等比数列，并对你的结论说明理由．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23. （本题满分10分）已知函数 ‎（1）若，解不等式 ‎（2）若关于的不等式的解集为，且 ，求证：‎ 高三10月考试数学答案（理）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）.‎ CDBAD BBDBD AD 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.‎ ‎13. ． 14. 15. 16.‎ ‎5.【解析】因为等差数列，首项，，‎ 所以，‎ 由，可得，，‎ 所以使前项和成立的最小自然数的值为16， 故选D.‎ ‎6.【解析】依题意： 恒成立，‎ 即即，‎ ‎，解得 故选：‎ ‎8.【解析】由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有A22＝2种安排方法，其他两名运动员有A22＝2种安排方法，共计2×2＝4种方法，‎ 若甲承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有A22＝2种安排方法，共计2种方法，‎ 所以中国队共有4+2＝6种不同的安排方法， 故选：D．‎ ‎9.【解析】设线段的中点为，则，因为，所以，则，由三点共线，得，解得；故选B ‎10.【解析】f（x）＝sinωxcosωx＝2sin（ωx），‎ 由函数f（x）的零点构成一个公差为的等差数列，‎ 则周期T＝π，即ω＝2， 即f（x）＝2sin（2x），‎ 把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，‎ 则g（x）＝2sin[2（x）]＝2sin2x，‎ 当≤2x≤,即≤x≤, y＝g（x）是减函数，故y＝g（x）在[，]为减函数，‎ 当2x=即x（k∈Z）,y＝g（x）其图象关于直线x（k∈Z）对称,且为奇函数，‎ 故选项A，B，C错误，‎ 当x时，2x∈[，]，函数g（x）的值域为[，2]，‎ 故选项D正确，‎ ‎12.【解析】作出函数图像如图所示，‎ 因为，所以 由图得当是A的横坐标，是B的横坐标时，函数满足，在之间只有一个极值点，但是只要x的范围向左右扩展一点，则有两个极值点，所以.‎ 当是O的横坐标，是C的横坐标时，函数满足，在之间有两个极值点，所以. 所以. 故选：D ‎14.【解析】（1﹣ax）2018展开式中Tr+1（﹣ax）r＝（﹣a）rxr，‎ 令r＝0，则T1＝1；令r＝1，则T2＝（﹣a）x＝﹣2018ax．‎ ‎∵（1+x）（1﹣ax）2018展开式中含x项的系数为2019，‎ ‎∴1﹣‎2018a＝2019， 解得a＝﹣1．‎ ‎15. 【解析】∵向量 在上的投影的数量为，‎ ‎∴．①‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．②‎ 由①②得，‎ ‎∵为的内角， ∴，‎ ‎∴．‎ 在中，由余弦定理得 ‎， ∴．‎ ‎16. 【解析】由题意得有两个不同的解，，则，因此当时，，当时，，从而要使有两个不同的解，需 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）.‎ ‎17．（本题满分12分）‎ 解析:（I）设等差数列的公差为，，则依题意得：[来源:学|科|网]‎ ‎ ………………… 4分 或(舍去),所以 …………………… 6分 ‎（II）由（I）有，所以，…… …… …… …… 10分 ‎. …… ……12 分 ‎18. （本题满分12分）‎ 解：（1）f（x）＝2sinx•cosx+2cos2xsin2xcos2x＝2sin（2x），‎ ‎∵ω＝2，∴f（x）的最小正周期T＝π，‎ ‎∵2kπ2x2kπ，k∈Z，‎ ‎∴f（x）的单调减区间为[kπ，kπ]，k∈Z； …………………… 6分 ‎ ‎（2）由f（）＝2sin[2（）]＝2sinA，即sinA，‎ ‎∵A为锐角，∴A，‎ 由正弦定理可得2R，sinB+sinC，‎ ‎∴b+c13，‎ 由余弦定理可知：cosA，‎ 整理得：bc＝40．∴bcsinA=10 …… ……12 分 ‎19. （本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由频数分布表得列联表如下：‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 不赞成 ‎13‎ 合计 有的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关 …… ……6分 ‎（Ⅱ）年龄在中支持微信支付人，不支持微信支付6人 由分层抽样方法可知：抽取的人中，支持微信支付人，不支持微信支付人 设人中不支持微信支付的人数为，则所有可能的取值为：‎ ‎，，‎ 的分布列为：‎ ‎ …… ……12 分 ‎20. （本题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）解： ‎ 当时， ‎ 当时，，整理得：‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列 ‎ ‎ ‎ 设等差数列的公差为 ， ，解得：‎ ‎ …… ……6 分 ‎（Ⅱ）证明：设 两式相减可得：‎ 即 …… ……12 分 ‎ ‎21. （本题满分12分）‎ 解：函数的定义域为，‎ ‎（1）当时，，，单调递增且 当时，，所以在上单调递减；‎ 当时，，则在上单调递增，‎ 所以有极小值，无极大值. …… ……6 分 ‎（2）先证明：当恒成立时，有成立 若，则显然成立；‎ 若，由得，令，则，‎ 令，由得在上单调递增，‎ 又∵，所以在上为负，递减，在上为正，递增，∴ ，从而.‎ 因而函数若有两个零点，则，所以，‎ 由得，则，‎ ‎∴在上单调递增，∴，‎ ‎∴在上单调递增∴，则 ‎∴，由得，‎ 则，∴，综上. …… ……12 分 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22. （本题满分10分）‎ 解：（1）,，…… ……5 分 ‎（2）将代入，‎ 得，‎ 设两点对应的参数分别为，由韦达定理，得，，‎ 所以得， ，‎ 得从而，‎ 化简得，而此方程无解，故不存在实数．…… ……10 分 选修4-5：不等式选讲 ‎23. （本题满分10分）‎ 解：（1）当，不等式，即．‎ 由绝对值的意义可得，表示数轴上的对应点到的距离之和，‎ 而和到的距离之和正好等于，‎ 故的解集为．…… ……5分 ‎（2）证明：由关于的不等式，‎ 则，即，‎ 即 由解集为，‎ 解得．‎ 故有，，‎ ‎ ，‎ 当且仅当时，等号成立，…… ……10 分