辽宁省实验中学2020届高三5月内测模考数学（文）试题 Word版含解析

辽宁省实验中学2020届高三5月内测模考数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年高考数学内测模考试卷（文科）（5月份）‎ 一、选择题（共12小题）.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：,‎ ‎,所以，故选C．‎ 考点：集合的运算．‎ ‎2.复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、几何意义即可得出结果．‎ ‎【详解】由题意得： 复数所对应点的坐标是 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．‎ ‎3.已知x，y满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A. 8 B. 6 C. 3 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ 根据约束条件画出可行域，然后将目标函数化为斜截式，得到过点时，直线的截距最小，从而得到答案.‎ ‎【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，‎ 易求得， ‎ ‎，则，‎ 当直线过点时，z取到最小值，‎ 所以的最小值是，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查线性规划求最值，属于简单题.‎ ‎4.设平面向量，则与垂直的向量可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：先由平面向量的加法运算和数乘运算得到，再利用数量积为0进行判定．‎ 详解：由题意，得，‎ 因为，，‎ ‎，，‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查平面向量的坐标运算、平面向量垂直的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．‎ ‎5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6＝12，a2＝5，则a5＝（ ）‎ - 20 -‎ A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，直接利用等差数列的求和公式及其性质即可得出.‎ ‎【详解】由题意，S6＝12，a2＝5，‎ ‎∴12，解得a5═﹣1.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎6.已知是的内角，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为，,所以，即由不能推出，而，，所以,，所以，即由可以推出，所以“”是成立的必要不充分条件．‎ 考点：充分，必要条件的概念，同角三角函数的基本关系式．‎ 点评：本题着重考查对充分必要条件的理解和同角三角函数关系式的应用，另外三角形的内角的范围这个隐含条件要充分运用．‎ ‎7.已知两条直线m，n，两个平面α，β，m∥α，n⊥β，则下列正确的是（ ）‎ A. 若α∥β，则m⊥n B. 若α∥β，则m∥β - 20 -‎ C. 若α⊥β，则n∥α D. 若α⊥β，则m⊥n ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断命题的真假性即可.‎ 详解】对于A：由，，所以；又，所以，故A正确；‎ 对于B：由，且，得出或，故B错误；‎ 对于C：由，且时，得出或，故C错误；‎ 对于D：，时，可能与平行，也可能相交，也可能在内；‎ ‎，且，则或，所以不一定成立，故D错误.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面位置关系的判定问题，熟练掌握相应的定理和性质定理是解题的关键.‎ ‎8.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）‎ 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.‎ A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上 B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%‎ C. 互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%‎ D. 互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多 ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ 根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假．‎ ‎【详解】A选项，由图可知90后占了56%，故正确；‎ B选项，互联网行业中90后从事技术岗位中所占比例为，互联网行业中从事技术岗位的人数还包括80后，80前，所以互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，是肯定的，故正确；‎ C选项，互联网行业中从事产品岗位的90后人数所占比例为，故不正确；‎ D选项，互联网行业中从事运营岗位的90后人数所占比例为，故正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本道题考查了统计方面的知识，关键抓住各个群体的比例，逐一分析，得出结论，即可，难度较容易．‎ ‎9.已知是定义在上的奇函数，且在内单调递减，则（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇函数的性质，可以判断出函数的单调性，再根据对数函数的图象可以得到之间的大小关系，最后利用单调性选出正确答案.‎ ‎【详解】因为是定义在上的奇函数，且在内单调递减，所以是定义在上减函数，因为，所以，故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了对数函数的图象.‎ ‎10.圆关于直线（）对称，则的最小值是（ ）‎ - 20 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对圆的方程进行配方，求出圆心的坐标，根据圆的性质可以得到关于的等式，利用基本不等式进行求解即可.‎ ‎【详解】，所以圆心坐标为：，‎ 因为圆关于直线对称，所以有 ‎，因为，所以有 ‎，（当且仅当时取等号，即时取等号）.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查圆的几何性质，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎11.已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,把函数的图象沿轴向左平移个单位,得到函数的图象.关于函数,下列说法正确的是（ ）‎ A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称 C. 函数是奇函数 D. 当时,函数的值域是 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到 - 20 -‎ ‎，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到的解析式，画出其图象，即可得答案．‎ ‎【详解】，‎ 由题意知，则，，，‎ 把函数的图象沿轴向左平移个单位，‎ 得．‎ 作出函数的图象：‎ 对A，函数在，上是减函数，故A错误；‎ 对B，其图象的对称中心为，故B错误；‎ 对C，函数为偶函数，故C错误；‎ 对D，，，当，时，函数的值域是，，故正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题．‎ ‎12.已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】A - 20 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本道题先绘制图像，然后将零点问题转化为交点问题，数形结合，计算a的范围，即可．‎ ‎【详解】绘制出的图像，有3个零点，令与有三个交点，‎ 则介于1号和2号之间，2号过原点，则，1号与相切，则 ‎，，代入中，计算出，所以 a的范围为，故选A．‎ ‎【点睛】本道题考查了数形结合思想和函数与函数交点个数问题，难度中等．‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13.甲、乙两支足球队进行一场比赛，三位球迷赛前在一起聊天.说：“甲队一定获胜.”说：“甲队不可能输.”说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是______.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）‎ ‎【答案】甲胜 ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ 分析若甲队获胜，可得出矛盾，即得解.‎ ‎【详解】若甲队获胜，则A，B判断都正确，与三人中只有一人判断是正确的矛盾，故甲不可能获胜.‎ 故答案为：甲胜 ‎【点睛】本题考查了推理和证明中的合情推理，考查了学生推理证明，综合分析的能力，属于基础题.‎ ‎14.函数的图像在处的切线方程是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，求得切线斜率和切点坐标，利用点斜式可得切线方程.‎ ‎【详解】，所以，又当时，，所以切线方程为，故答案为 ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.‎ ‎15.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为.若点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的顶点和截距式方程求出直线AB的方程，化为一般式方程，利用点到直线的距离公式列出方程化简，再由a、b、c的关系求出离心率的值．‎ ‎【详解】方程为，点到直线的距离为 - 20 -‎ ‎，∴.∴.∴.∴.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了椭圆的方程与性质，考查了点到直线的距离公式，考查推理能力与运算能力，属于中档题.‎ ‎16.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，，则角A的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用商数关系代替原等式中的，然后利用二倍角公式和余弦的两角和公式进行化简，可得2A＝B，因为A+B+C＝π，所以C＝π﹣3A，由于△ABC为锐角三角形，所以A、B、C均为锐角，据此可以解出角A的范围.‎ ‎【详解】∵，∴cos2A+cosAcosC＝sin2A+sinAsinC，‎ ‎∴cos2A﹣sin2A＝﹣（cosAcosC﹣sinAsinC），即cos2A＝﹣cos（A+C）＝cosB，‎ 在锐角△ABC中，2A＝B，∴，‎ 又A+B+C＝π，∴3A+C＝π，即C＝π﹣3A，‎ ‎∵，∴π﹣3A，∴，‎ 综上所述，角A的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换综合应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题.‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ - 20 -‎ ‎17.已知四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，△PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，点M为PC的中点.‎ ‎（1）求证：PA∥平面MDB；‎ ‎（2）求三棱锥A﹣BDM的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连结AC，交BD于O，连结OM，推导出OM∥PA，由此能证明PA∥平面MDB.‎ ‎（2）三棱锥A﹣BDM的体积VA﹣BDM＝VM﹣ABD，由此能求出结果.‎ ‎【详解】（1）证明：连结AC，交BD于O，连结OM，如图：‎ ‎∵底面ABCD是菱形，∴O是AC中点，‎ ‎∵点M为PC的中点.∴OM∥PA，‎ ‎∵平面BDM，平面BDM，‎ ‎∴PA∥平面MDB.‎ ‎（2）取AD中点N，连结PN，‎ ‎∵四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，‎ ‎△PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，点M为PC的中点，‎ ‎∴PN⊥平面ABCD，PN，‎ M到平面ABD的距离d，‎ - 20 -‎ S△ABD，‎ ‎∴三棱锥A﹣BDM的体积为：VA﹣BDM＝VM﹣ABD.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎18.某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？‎ ‎【答案】（1）；（2），；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数 试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：‎ x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075. ------------- 3分 ‎(2)月平均用电量的众数是＝230. ------------- 5分 因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，‎ - 20 -‎ 设中位数为a，‎ 由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5‎ 得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分 ‎(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，‎ 月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，‎ 月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，‎ 月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分 抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5户．-- 12分 考点：频率分布直方图及分层抽样 ‎19.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝120，a2﹣a1，a4﹣a2，a1+a2成等比数列.‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设Tn为数列{}的前n项和，求满足Tn的最小的n值.‎ ‎【答案】（1）an＝2n+1（2）14‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知列式求得首项与公差，则等差数列的通项公式可求；‎ ‎（2）求出等差数列的前n项和，再由裂项相消法求Tn，求解不等式得答案.‎ ‎【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，‎ 由题意，，解得：a1＝3，d＝2.‎ ‎∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；‎ ‎（2）由（1）得，，则，‎ ‎∴.‎ - 20 -‎ 由Tn，得3n2﹣35n﹣60＞0，解得：n（舍）或n.‎ 又，‎ ‎∴n的最小值为14.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，属于基础题.‎ ‎20.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为,,离心率为，右焦点到右顶点的距离为1.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过 的直线与椭圆交于不同的两点,,则的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）； （2）的面积取得最大值3, .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用待定系数法结合题意求解椭圆方程即可；‎ ‎（2）很明显直线的斜率不为零，设出直线方程的x轴截距形式，得到面积函数，结合函数的性质确定面积最大时的直线方程即可.‎ ‎【详解】（1）设椭圆：‎ 因为， 所以 ‎ 即椭圆： . ‎ ‎（2）设，不妨设 ‎ 由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，‎ 由得，‎ - 20 -‎ 则 ，‎ ‎∴，‎ 令，可知则，‎ ‎∴‎ 令，则，‎ 当时，，即在区间上单调递增，‎ ‎∴，∴，‎ 即当时，的面积取得最大值3，‎ 此时直线的方程为．‎ ‎【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数在（为自然对数的底）时取得极值，且函数在上有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可判断f（x）的单调性；‎ ‎（2）函数在上有两个零点等价于函数的图像与x轴有两个交点，数形结合即可得到实数的取值范围.‎ - 20 -‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎，‎ 令，得，‎ 当时，，当时，.‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2），，‎ ‎∵在时取得极值，‎ ‎∴即，‎ ‎∴.‎ 所以，，‎ 函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 得函数的极大值，‎ ‎∴当函数在上有两个零点时，必有 得.‎ 当时，.‎ ‎∴的两个零点分别在区间与中.‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ - 20 -‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多答，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡，上把所选题目对应题号的方框涂黑.‎ ‎22.在直角坐标系中，已知点，的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线与曲线相交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去参数方程中的参数，求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，求得的直角坐标方程.‎ ‎（2）求得曲线的标准参数方程，代入的直角坐标方程，写出韦达定理，根据直线参数中参数的几何意义，求得的值.‎ ‎【详解】（1）由的参数方程（为参数），消去参数可得，‎ 由曲线的极坐标方程为，得，‎ 所以的直角坐方程为，即.‎ - 20 -‎ ‎（2）因为在曲线上，‎ 故可设曲线的参数方程为（为参数），‎ 代入化简可得.‎ 设，对应的参数分别为，，则，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用利用和直线参数方程中参数的几何意义进行计算，属于中档题.‎ ‎23.设 ‎ ‎(1)求 的解集;‎ ‎(2)若不等式,对任意实数恒成立,求实数x的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：‎ ‎ (1)分情况讨论去绝对值求解即可；‎ ‎(2)整理,再结合绝对值三角不等式可得，再解不等式即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由有或 - 20 -‎ 或 解得,所求解集为.‎ ‎(2=,‎ 当且仅当时取等号.‎ 由不等式对任意实数恒成立,‎ 可得,解得.‎ - 20 -‎ - 20 -‎