四川省宜宾市第四中学2020届高三三诊模拟考试数学(文)试题

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四川省宜宾市第四中学2020届高三三诊模拟考试数学(文)试题

‎2020年春四川省宜宾市第四中学高三三诊模拟考试 文科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题(60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.在复平面内,已知复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.若干年前,某教师刚退休的月退休金为6000元,月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼,目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元,则目前该教师的月退休金为 ‎ ‎ ‎ A.6500元 B.7000元 C.7500元 D.8000元 ‎4.等差数列的前项的和等于前项的和,若,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.将三个数,,从小到大排列得 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.函数的图象以下说法正确的是 ‎ A.最大值为1,图象关于直线对称 B.在上单调递减,为偶函数 C.在上单调递增,为偶函数 D.周期为,图象关于点对称 ‎7.已知,在区间上任取一个实数,则的概率为 ‎ A. B. C. D.[来 ‎8.若,则cos2α=‎ A. B. C. D.‎ ‎9.某三棱锥的三视图如图所示,已知它的体积为,则图中的值为 A.2 B. ‎ C.1 D.‎ ‎10.对于函数的图象,下列说法正确的是 ‎ A.关于直线对称 B.关于直线对称 C.关于点对称 D.关于点对称 ‎11.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知直线与椭圆交于两点,且(其中为坐标原点),若椭圆的离心率满足,则椭圆长轴的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题(90分)‎ 二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.若实数满足约束条件,则的最大值为__________.‎ ‎14.已知函数的图象在点处的切线为,______.‎ ‎15.已知,则的值为____________.‎ ‎16.在边长为的菱形中,,沿对角线折起,使二面角的大小为,这时点在同一个球面上,则该球的表面积为____.‎ 三.解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)随着移动互联网的发展,与餐饮美食相关的手机软件层出不穷,现从某市使用和两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计,得到频率分布直方图如下:‎ ‎(I)已知抽取的100个使用未订餐软件的商家中,甲商家的“平均送达时间”为18分钟,现从使用未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研,求甲商家被抽到的概率;‎ ‎(II)试估计该市使用款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数;‎ ‎(III)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据,从和两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款?‎ ‎18.(12分)如图,在四棱锥ABCD中,和都是等边三角形,平面PAD平面ABCD,且,.‎ ‎(I)求证:CDPA;‎ ‎(II)E,F分别是棱PA,AD上的点,当平面BEF//平面PCD时,求 四棱锥的体积.[来源:Zxxk.Com]‎ P D A E B C F ‎19.(12分)在中,内角所对的边分别为,已知.‎ ‎(I)求;‎ ‎(II)设,.若在边上,且,求的长.‎ ‎20.(12分)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数在区间上的最小值;‎ ‎(Ⅱ)判断函数在区间上零点的个数.‎ ‎21.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左顶点为,右焦点为,,为椭圆上两点,圆.‎ ‎(Ⅰ)若轴,且满足直线与圆相切,求圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)若圆的半径为2,点,满足,求直线被圆截得弦长的最大值.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点P是曲线上的动点,点Q在OP的延长线上,且,点Q的轨迹为.‎ ‎(Ⅰ)求直线l及曲线的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若射线与直线l交于点M,与曲线交于点(与原点不重合),求的最大值.‎ P D A E B C F ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数,,且的解集为 ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若,且,求证 ‎2020年春四川省宜宾市第四中学高三三诊模拟考试 文科数学参考答案 ‎1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.C 9.C 10.D 11.A 12.A ‎13. 14.1 15. 16.‎ ‎17.解:(1)使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有个,分别记为甲,从中随机抽取3个商家的情况如下:共20种. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,.‎ 甲商家被抽到的情况如下:共10种.‎ ‎,,,,,,,,,记事件为甲商家被抽到,则.‎ ‎(2)依题意可得,使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55,平均数为 ‎.‎ ‎(3)使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为 ‎,所以选款订餐软件.‎ ‎18.证明:(I)因为,, ,所以, ,且.又是等边三角形,所以,即.…3分 因为平面平面, 平面平面,平面 所以平面. 所以CDPA. ……6分 ‎(II)因为平面BEF//平面PCD,所以BF//CD, EF//PD,且. ……8分 又在直角三角形ABD中,DF=,所以. ‎ 所以. ……10分 由(I)知平面,故四棱锥的体积.…12分 ‎19:(1)因为,由正弦定理可得,‎ 化简得:,‎ 所以,即.‎ 又因为,所以.则.‎ 因为,所以,所以.‎ 因为,所以.‎ ‎(2)因为,‎ 因为,所以,即,‎ 因为,即,所以.‎ 在中,,‎ 由余弦定理得:,‎ 则,所以.‎ ‎20.解:(Ⅰ)因为, ‎ ‎①当时,,所以在上是增函数,无最小值; ‎ ‎②当时,又得,由得 ‎∴在上是减函数,在上是增函数, ‎ 若,则在上是减函数,则;‎ 若,则在上是减函数,在上是增函数,∴‎ 综上:当时,的最小值为; 当时,的最小值为 ‎(Ⅱ)由得 令,则,由得,由得,所以在上是减函数,在上是增函数,‎ 且,且,当时,,‎ 所以,当时,无有零点;当或时,有1个零点;‎ 当时,有2个零点.‎ ‎21.解:(1)因为椭圆的方程为,所以,,因为轴,所以, ‎ 根据对称性,可取, 则直线的方程为,即. ‎ 因为直线与圆相切,得,所以圆的方程为 .‎ ‎(2)圆的半径为2,可得圆的方程为. ‎ ‎①当轴时,,所以,得,‎ 此时得直线被圆截得的弦长为. ‎ ‎②当与轴不垂直时,设直线的方程为,,,‎ 首先由,得,‎ 即,所以(*). ‎ 联立,消去得,‎ 在时,,代入(*)式,得,‎ 由于圆心到直线的距离为,所以直线被圆截得的弦长为,故当时,有最大值为.综上,因为,‎ 所以直线被圆截得的弦长的最大值为. ‎ ‎22.(1)消去直线l参数方程中的t,得,‎ 由,得直线l的极坐标方程为,故.‎ 由点Q在OP的延长线上,且,得,设,则,‎ 由点P是曲线上的动点,可得,即,所以的极坐标方程为.‎ ‎(2)因为直线l及曲线的极坐标方程分别为,,‎ 所以,, ‎ 所以,‎ 所以当时,取得最大值,为.‎ ‎23.,,故,由题意可得的解集为,即的解集为,故.‎ ‎(2)由,,,且,∴‎ ‎,‎ 当且仅当时,等号成立.所以.‎
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