2013福州5月份质检理数()试卷

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2013福州5月份质检理数()试卷

‎2013年福州市高中毕业班质量检查 数学(理科)试卷 ‎(完卷时间120分钟;满分150分)‎ 注意事项:‎ ‎1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷内填写学校、班级、准考证号、姓名;‎ ‎2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟.‎ 参考公式:‎ 样本数据,,,的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式 其中为底面面积,为高 锥体体积公式 其中为底面面积,为高 球的表面积、体积公式 ‎,‎ 其中为球的半径 ‎ ‎ 第Ⅰ卷 (选择题 共50分)‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的,把正确选项涂在答题卡的相应位置上.)‎ 1. 是虚数单位,复数,.若的虚部为,则等于 A.2 B.-2 C.1 D.-1‎ 第3题图 2. 要得到函数的图象,只须将的图象上的所有的点 A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 3. 根据某市环境保护局公布2007-2012这六年每年的空气质量优良的天数,绘制折线图如图.根据图中信息可知,这六年的每年空气质量优良天数的中位数是 A. ‎ ‎ B. ‎ C. ‎ D. 4.已知函数,则“”是“函数在上为增函数”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.已知命题“直线与平面有公共点”是真命题,那么下列命题: ①直线上的点都在平面内; ②直线上有些点不在平面内; ③平面内任意一条直线都不与直线平行. 其中真命题的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0‎ ‎6.已知等比数列的公比,且成等差数列,则的前8项和为 A.127 B.255 C.511 D.1023‎ ‎7.设则中奇数的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎8.已知点是△所在平面内的一点,边AB的中点为D,若,其中,则点一定在 A.AB边所在的直线上 B.BC边所在的直线上 C.AC边所在的直线上 D.△的内部 ‎9.对于任意给定的实数,直线与双曲线,最多有一个交点,则双曲线的离心率等于 A. B. C. D.‎ ‎10.对于函数与和区间D,如果存在,使,则称是函数与在区间D上的“友好点”.现给出两个函数: ①,;  ②,; ③,; ④,, 则在区间上的存在唯一“友好点”的是 A.①② B.③④ C. ②③ D.①④‎ 第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)‎ 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上.)‎ ‎11.一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示,则该三棱锥的俯视图的面积为 .‎ 第13题图 开始 ‎_?___‎ ‎ ‎ 结束 输出y ‎ 是 否 输入x ‎ ‎12.已知函数,则的值等于 .‎ ‎13. 已知程序框图如右图所示,执行该程序,如果输入,输出,则在图中“?”处可填入的算法语句是 (写出以下所有满足条件的序号).  ①; ‎ ‎ ②; ③; ‎ ‎ ④.‎ ‎14.在区间上任取两个数,,能使函数在区间内有零点的概率等于________.‎ ‎15.设数列是由集合,且,中所有的数从小到大排列成的数列,即,,,,a5=30,a6=36,…,若=,且,,则的值等于____________.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎16.(本小题满分13分) 已知平面向量a,b=,定义函数 (Ⅰ)求函数的值域; (Ⅱ)若函数图象上的两点、的横坐标分别为和,为坐标原点,求△的面积.‎ ‎17.(本小题满分13分) 某校高三2班有48名学生进行了一场投篮测试,其中男生28人,女生20人.为了了解其投篮成绩,甲、乙两人分别对全班的学生进行编号(1~48号),并以不同的方法进行数据抽样,其中一人用的是系统抽样,另一人用的是分层抽样.若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀,小于80分视为不优秀,以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据: ‎ 编号 性别 投篮成绩 ‎ 3‎ 男 ‎90‎ ‎7‎ 女 ‎60‎ ‎11‎ 男 ‎75‎ ‎15‎ 男 ‎80‎ ‎19‎ 女 ‎85‎ ‎23‎ 男 ‎80‎ ‎27‎ 男 ‎95‎ ‎31‎ 男 ‎80‎ ‎35‎ 男 ‎80‎ ‎39‎ 女 ‎60‎ ‎43‎ 男 ‎75‎ ‎47‎ 女 ‎55‎ 甲抽取的样本数据 ‎ 编号 性别 投篮成绩 ‎1‎ 男 ‎95‎ ‎8‎ 男 ‎85‎ ‎10‎ 男 ‎85‎ ‎17‎ 男 ‎80‎ ‎23‎ 男 ‎60‎ ‎24‎ 男 ‎90‎ ‎27‎ 男 ‎80‎ ‎31‎ 女 ‎80‎ ‎35‎ 女 ‎65‎ ‎37‎ 女 ‎35‎ ‎41‎ 女 ‎60‎ ‎46‎ 女 ‎75‎ 乙抽取的样本数据 ‎ (Ⅰ)从甲抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩,记“抽到投篮成绩优秀”的人数为X,求X的分布列和数学期望; (Ⅱ)请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表,判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关? ‎ 优秀 非优秀 合计 男 女 合计 ‎12‎ ‎ (Ⅲ)判断甲、乙各用何种抽样方法,并根据(Ⅱ)的结论判断哪种抽样方法更优?说明理由.‎ 下面的临界值表供参考:‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(参考公式:,其中)‎ 第18题图 ‎18.(本小题满分13分) 如图,已知多面体的底面是边长为的正方形,底面,,且. (Ⅰ)求多面体的体积; (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)记线段BC的中点为K,在平面ABCD内过点K作一条直线与平面平行,要求保留作图痕迹,但不要求证明.‎ ‎19. (本小题满分13分) 已知,曲线上任意一点分别与点、连线的斜率的乘积为. (Ⅰ)求曲线的方程; (Ⅱ)设直线与轴、轴分别交于、两点,若曲线与直线没有公共点,求证:.‎ ‎20.(本小题满分14分) 已知函数. (Ⅰ)当时,求曲线 在原点处的切线方程; (Ⅱ)当时,讨论函数在区间上的单调性; (Ⅲ)证明不等式对任意成立.‎ 14. 本题有(1).(2).(3)三个选做题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换 已知线性变换:对应的矩阵为,向量β. (Ⅰ )求矩阵的逆矩阵; (Ⅱ )若向量α在作用下变为向量β,求向量α. ‎ ‎(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆的极坐标方程为.现以极点为原点,极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系. (Ⅰ)求圆的直角坐标方程; (Ⅱ)若圆上的动点的直角坐标为,求的最大值,并写出取得最大值时点P的直角坐标.‎ ‎(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲 已知不等式的解集为. (Ⅰ )求的值; (Ⅱ )若,求的取值范围.‎ ‎2013年福州市高中毕业班质量检查 数学(理科)试卷参考答案及评分标准 说明:‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.‎ 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.‎ 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.‎ 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,共50分.‎ ‎1.A 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B 7.A 8.C 9.D 10.D 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分,共20分.‎ ‎11. 12.3 13.②③④ 14. 15. ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础知识,考查运算求解能力及数形结合思想、化归与转化思想等,满分13分.‎ 解:(Ⅰ)依题意得………………………………1分 ‎ …………………………………………………………………3分 ‎ 所以函数的值域为.………………………………………………………5分 ‎(Ⅱ)方法一 由(Ⅰ)知,‎ ‎,,………………………………6分 ‎ 从而  .………………………………………………7分 ‎∴,‎ ‎……………………………………………9分 根据余弦定理得 ‎.‎ ‎∴,…………………………………………………………………10分 ‎ △的面积为.…………13分 方法二 同方法一得:.…………………………………………7分 ‎ 则 . ………………………………………………8分 ‎.……………………………………………10分 所以, ‎ ‎△的面积为.……………13分 方法三 同方法一得:.…………………………………………7分 直线的方程为,即. …………… …………………8分 点到直线的距离为. ……………………10分 又因为,………………………………………………………11分 所以△的面积为.…………………13分 ‎17.本题考查抽样、独立性检验、离散型随机变量的分布列与期望等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识,考查必然与或然思想等,满分13分. 解:(Ⅰ)由甲抽取的样本数据可知,投篮成绩优秀的有7人,投篮成绩不优秀的有5人.‎ X的所有可能取值为.……………………………………………………1分 所以,,.…4分 故的分布列为 ‎ …………………………………………5分 ‎∴. ……6分 ‎(Ⅱ)设投篮成绩与性别无关,由乙抽取的样本数据,得列联表如下:‎ 优秀 非优秀 合计 男 ‎6‎ ‎1‎ ‎7‎ 女 ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ 合计 ‎7‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎…………7分 的观测值3.841,……………………………9分 ‎ 所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关. ‎ ‎……………………10分 (Ⅲ)甲用的是系统抽样,乙用的是分层抽样. ……………………11分 由(Ⅱ)的结论知,投篮成绩与性别有关,并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异,因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优. ……………………13分 ‎18.本小题主要考查直线与直线,直线与平面,平面与平面位置关系等基础知识;考查空间想象能力,推理论证能力和运算求解能力.满分13分.‎ ‎(Ⅰ)如图,连接ED,‎ ‎∵底面且,∴底面,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴面, ----------------1分 ‎∴, --------2分 ‎ , -------------3分 ‎∴多面体的体积 ‎.--------------5分 ‎(Ⅱ)以点A为原点,AB所在的直线为轴,AD所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,如图.由已知可得A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),‎ 所以 ------7分 设平面ECF的法向量为,‎ 则   得:‎ 取y=1,得平面的一个法向量为 ------9分 设直线与平面所成角为,‎ 所以----11分 ‎ ‎(Ⅲ)取线段CD的中点;连接,直线即为所求. ---------------12分 ‎   图上有正确的作图痕迹………………………………13分 ‎19.本题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想和化归与转化思想等,满分13分. 解:(Ⅰ)设曲线上任意一点的坐标为. 依题意,且,………………3‎ 分 整理得.所以,曲线的方程为:,.………5分 (Ⅱ)由得, , ……7分 由已知条件可知,,所以 , 从而,   即. ………………13分 ‎20.(本小题满分14分)‎ 本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分14分.‎ 解:. (Ⅰ)当时,,切线的斜率, 所以切线方程为,即. ……3分 (Ⅱ)当时,因为,所以只要考查的符号. 由,得, 当时,,从而,在区间上单调递增; 当时,由解得. ……6分 当变化时,与的变化情况如下表: ‎ 函数在区间单调递减,在区间 上单调递增. ……9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,在区间上单调递增; 所以, 即对任意成立. ……11分 取,, 得,即,.……13分 将上述n个不等式求和,得到:, 即不等式对任意成立. ……14分 ‎21.(1)选修4-2:矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识,考查运算求解能力.满分7分.‎ 解:(Ⅰ)依题意,所以,‎ 所以. ----------3分 ‎(Ⅱ)由,得. ----------7分 ‎(2)选修4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,满分7分.‎ 解:(Ⅰ)由,得,‎ 所以圆的直角坐标方程为, 即.………………………………………………3分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得圆C的参数方程为(为参数). 所以, ………………………5分 ‎ 因此当,时,取得最大值为, 且当取得最大值时点P的直角坐标为.……………7分 ‎(3)选修4-5:不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力,满分7分.‎ 解:(Ⅰ)依题意,当时不等式成立,所以,解得, 经检验,符合题意. ---------------------3分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知.根据柯西不等式,‎ 得,-----------------5分 所以, ‎ 当且仅当时,取得最大值,时,取得最小值, 因此的取值范围是. -------------7分
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