2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5

2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5

‎5.3　概率 ‎5.3.1　样本空间与事件 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.了解随机现象和必然现象．‎ ‎2．了解随机试验，理解样本点和样本空间含义，了解事件的分类，能用样本空间的子集表示事件．‎ ‎3．了解随机事件的概率不等式．‎ 通过结合实例对各个概念的理解，提升学生的数学抽象素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 随机现象与必然现象 ‎ (1)随机现象(或偶然现象)：一定条件下，发生的结果__事先不能确定__的现象．‎ ‎(2)必然现象(或确定性现象)：一定条件下，发生的结果__事先能够确定__的现象．‎ 知识点 样本点和样本空间 ‎ (1)样本点：把随机试验中每一种__可能出现__的结果，都称为样本点．‎ ‎(2)样本空间：把由__所有样本点__组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示)．‎ 思考：样本点是杂乱无章出现的吗？‎ 提示：不是杂乱无章出现的，是有一定规律可循的．‎ 知识点 随机事件 ‎(1)不可能事件：在同样的条件下重复进行试验时，始终__不会发生__的结果．‎ ‎(2)必然事件：在同样的条件下重复进行试验时，每次试验中__一定会发生__的结果．‎ ‎(3)随机事件：在__同样的__条件下重复进行试验时，可能发生，也可能不发生的结果．‎ 思考：事件的分类是确定的吗？‎ 提示：事件的分类是相对于条件来讲的，在不同的条件下，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化．‎ 知识点 随机事件的概率 - 5 -‎ 不可能事件∅的概率为0，必然事件Ω的概率为1；任意 事件A的概率为：__0≤P(A)≤1__．‎ 思考：事件A的概率可能大于1吗？‎ 提示：根据随机事件的概率知道，任意事件A的概率为：0≤P(A)≤1，不可能出现概率大于1的事件．‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 事件类型的判断 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．‎ ‎(1)“抛一石块，下落”；‎ ‎(2)“在标准大气压下，温度低于0℃时，冰融化”；‎ ‎(3)“某人射击一次，中靶”；‎ ‎(4)“如果a＞b，那么a－b＞0”；‎ ‎(5)“掷一枚硬币，出现正面”；‎ ‎(6)“导体通电后，发热”；‎ ‎(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签”；‎ ‎(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；‎ ‎(9)“没有水分，种子能发芽”；‎ ‎(10)“在常温下，焊锡熔化”．‎ ‎[分析]　根据在一定条件下必然事件必然发生，不可能事件不可能发生，随机事件可能发生也可能不发生判断．‎ ‎[解析]　事件(1)(4)(6)是必然事件；事件(2)(9)(10)是不可能事件；事件(3)(5)(7)(8)是随机事件．‎ 规律方法：事件类型的判断方法 要判定某事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．其次再看它是一定发生，是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ - 5 -‎ ‎1．下列事件中的随机事件为(　C　)‎ A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)c B．没有水和空气，人也可以生存下去 C．抛掷一枚硬币，反面向上 D．在标准大气压下，温度达到60 ℃时水沸腾 ‎[解析]　A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件．在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件．抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件．在标准大气压下，只有温度达到100 ℃，水才会沸腾，当温度是60 ℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．故选C．‎ 题型 样本点与样本空间 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　(1)一个家庭有两个小孩，则样本空间Ω是(　C　)‎ A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}‎ B．{(男，女)，(女，男)}‎ C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}‎ D．{(男，男)，(女，女)}‎ ‎(2)同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为(x，y)．‎ ‎①写出这个试验的样本空间；‎ ‎②求这个试验的样本点的总数；‎ ‎③“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x＜3，且y＞1”呢？‎ ‎④“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？‎ ‎[分析]　解答本题要根据日常生活的经验，有条不紊地逐个列出所要求的结果．‎ ‎[解析]　(1)两个小孩有男、女之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的基本事件．故选C．‎ ‎(2)①Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．‎ ‎②样本点的总数为16．‎ - 5 -‎ ‎③“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．‎ ‎“x＜3，且y＞1”包含以下6个样本点：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．‎ ‎④“xy＝4”包含以下3个样本点：(1,4)，(2,2)，(4,1)．‎ ‎“x＝y”包含以下4个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．‎ 规律方法：随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．(1)将例2(2)中条件不变，改为求“x＋y是偶数”这一事件包含哪些样本点？‎ ‎(2)在例2(2)的条件下，“xy是偶数”这一事件是必然事件吗？‎ ‎[解析]　(1)“x＋y是偶数”包括两种情况，①x，y都是奇数；②x，y都是偶数，故“x＋y是偶数”这一事件包含以下8个样本点：(1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)，(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)．‎ ‎(2)当x，y均是奇数时，xy是奇数；当x，y中至少有一个是偶数时，xy是偶数，故“xy是偶数”这一事件是随机事件，而不是必然事件．‎ 题型 随机事件的概率 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．‎ ‎(1)写出该试验的样本空间；‎ ‎(2)用集合表示A：恰好摸出1个黑球和1个红球；B：至少摸出1个黑球；‎ ‎(3)从直观上判断P(A)和P(B)的大小；‎ ‎(4)集合表示C：一定抽到c小球，则集合C怎么表示呢，并判断P(A)和P(C)的大小？‎ ‎[解析]　(1)用树状图表示所有的结果为：‎ 所以该试验的样本空间为Ω＝{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de}．‎ ‎(2)A＝{ac，ad，ae，bc，bd，be}；B＝{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be}．‎ ‎(3)因为集合A中包含6个样本点，集合B中包含7个样本点，所以从直观上看，P(A)＜P(B)．‎ ‎(4)C＝{ac，bc，cd，ce}；‎ 因为集合A中包含6个样本点，集合C中包含4个样本点，所以从直观上看，P(A)＞‎ - 5 -‎ P(C)．‎ 规律方法：概率意义的理解 ‎(1)概率是事件固有的基础，可以通过大量重复的试验得到其近似值．但在一次试验中事件发生与否都是有可能的．‎ ‎(2)概率反映了事件发生的可能性，可以看作是频率在理论上的期望值．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为__4__．‎ ‎[解析]　从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10种情况，其中(1,2,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,5)中三个数字之和为奇数．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在坐标轴上”包含的样本点共有(　C　)‎ A．9个 B．10个 C．18个 D．19个 ‎[错解]　D ‎[辨析]　错误的原因是把题意理解成所有可能的坐标轴上的点，连同(0,0)计算在内，没有看清从A中选取不相同的两个数．‎ ‎[正解]　C - 5 -‎