高等数学下册 chap2(导数与微分)2-4(函数的微分)

高等数学下册 chap2(导数与微分)2-4(函数的微分)

一、微分的概念 三、微分基本公式和运算法则 四、函数的局部线性化 二、函数可微性与可导性之间 第二节 函数的微分 的关系 五、微分的实际意义 正方形金属薄片受热后面积的改变量 . 1. 问题的引出 实例 线性函数 ( linear function) 一、微分的概念 的线性 ( 一次 ) 函数 , 很小时可忽略 . 的高阶无穷小 , 再如 , 既容易计算又是较好的近似值 一定条件 , 线性函数 , 对一般函数 则无论在理论分析上还是在实际 则函数的增量 可以表示为 如果存在这样的 近似公式 , 应用中都是十分重要的 . 定义 2. 微分的定义 如果 则称 函数 可微(differentiable), 记作 微分 ( differential), 并称 为函数 由定义知 : ( 微分的实质 ) 满足什么条件的函数是可微的呢？ 微分的系数 A 如何确定呢 ? 微分与导数有何关系呢 ? 下面的定理回答了这些问题 . 定理 证 (1) 必要性 即有 二、函数可微性与可导性的关系 (2) 充分性 求导法又叫微分法 从而 其微分一定是 定理 即有 导数称为微商 称为函数 的微分 , 记作 称为自变量的 微分 , 记作 注 例 解 几何意义 ( 如图 ) 微分的几何意义 对应的增量 , 增量时 ; 是曲线的纵坐标 就是 切线 纵坐标 求法 1. 基本微分公式 三、微分基本公式与运算法则 计算函数的导数 , 乘以自变量的微分 . 2. 运算法则 例 解 例 解 结论 微分形式的不变性 3. 复合函数的微分法 此 结论用于求复合函数的导数 , 有时能简化运算 . 无论 x 是自变量还是中间变量 , 函数 的微分形式总是 例 解 法一 用复合函数求导公式 法二 用微分形式不变性 在计算中也可以不写中间变量 , 直接利用微分形式不变性 . 例 例 解 例 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数 , 使等式成立 . 例 解 四、函数的局部线性化 由几何意义， 即用线性函数近似代替非线性函数 例 解 常用近似公式 证明 例 解 五、微分的实际意义 微分学所要解决的两类问题 : 函数的变化率问题 函数的增量问题 微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法 , 叫做 微分法 . 研究微分法与导数理论及其应用的科学 , 叫做 微分学 . 导数与微分的联系 : ★ ★ 小结 从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念 . ★ 导数与微分的区别 : ★ 微分的基本思想 以直代曲 即用线性函数近似代替非线性函数 ★ 熟记 微分公式、用一阶微分形式不变性求微分