高等数学 微分中值定理与导数的应用 3-1(微分中值定理)

高等数学 微分中值定理与导数的应用 3-1(微分中值定理)

第一节 微分中值定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 。 一、罗尔定理 定理 1 ：（罗尔中值定理）如果函数 满足以下条件： 连续； 上可导； 则至少存在一点 ，有 证明：因为 在闭区间 值与最小值定理，函数 1 ）在闭区间 2 ）在开区间 3 ） 上连续，利用最大 在闭区间 上存在 和最小值 。 ， 在 是常数函数， 的任一点处的导数都为零。 最大值 1 ）如果 2 ）如果 ，因为 至少有一个不 。即存在 使得 。又因为 在开区间 上可导， 存在，即 存在。我们考虑这点的左导数和右导数， 和 当 充分小时， 所以此时有 当 时，有 ， 等于端点函数值。无妨设 所以 当 时，有 利用极限的保号性质 因此 注：定理中的三个条件缺一不可。在 考虑函数 2 ） 1 ） 注：定理中的三个条件缺一不可。在 注：定理中的三个条件缺一不可。在 二、拉格朗日中值定理 定理 2 ：（拉格朗日中值定理）如果函数 满足以下条件 连续； 则至少存在一点 ，有 证明：考虑函数 上可导； 1 ）在闭区间 2 ）在开区间 利用罗尔中值定理，至少存在一点 ，有 即 显然 在闭区间 连续，在开区间 上可导。 注：设 ，当 时，在区间 上利用拉格朗日中值定理 当 时，在区间 上利用拉格朗日中值定理；在 与 之间存在一点 使得 定理 3 ：如果函数 在区间 导数恒为零，那么 在区间 上恒为零。 （无妨设 ），函数 在区间 上可导利用拉格朗日中值定理，存在 有 ，即 例 1 ：证明： 证明：对任给的 。 例 2 ：证明： 例 3 ： ，证明： 证明：在区间 上考虑函数 ，利用 拉格朗 中至少存在一点 使得 日中值定理，在区间 即 又因为 所以 即 例 4 ：证明：若函数 满足： 上连续； 上可导； ，且 则有 讲解拉格朗日中值定理的几何意义 1 ）在闭区间 2 ）在开区间 3 ） 三、柯西中值定理 定理 4 ：（柯西中值定理）如果函数 满足以下条件： 上连续； 上可导； 在 内不为零； ，有 证明： 1 ）先证明 。利用拉格朗日中值定理 有 1 ）在闭区间 2 ）在开区间 3 ） 则至少存在一点 存在 2 ）考虑函数 显然 在闭区间 连续，在开区间 上可导。 利用罗尔中值定理，至少存在一点 ，有 即 ，其中 在 例 5 ：设 在 上连续、可导，且 时， 为常数证明：若 则方程 内至少有一个实根。