【数学】2018届一轮复习人教A版第12讲圆锥曲线的最值和范围问题的解法学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第12讲圆锥曲线的最值和范围问题的解法学案

高中数学热点难点突破技巧第12讲：‎ 圆锥曲线中的最值和范围问题的解法 ‎【知识要点】‎ 一、与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：‎ ‎1、几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系构造不等式，再解不等式.‎ ‎2、函数法：把所讨论的对象作为一个函数、一个适当的参数作为自变量 表示这个函数，通过讨论函数的值域 求参数的变化范围.: | ]‎ ‎3、基本不等式法：先把这个变量表示出 ，再利用基本不等式解答.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；‎ ‎4、三角函数法：结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.因此，它们的应用价值在于：‎ ‎① 通过参数简明地表示曲线上点的坐标；‎ ‎② 利用三角函数的有界性及其变形公式 帮助求解诸如最值、范围等问题.‎ ‎5、数形结合法：利用“以形助数”和“以数解形”分析解答.‎ 二、其实，圆锥曲线的最值和范围问题的解法和一般的最值和范围问题的解决方法是一致的. 最值和范围问题解法一般有最值6法..要注意灵活选择，提高解题效率.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法一 几何法 解题方法 结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.‎ ‎【例1】已知动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且 的最小值为．‎ ‎（1）求动点的轨迹方程； ‎ ‎（2）若已知，在动点的轨迹上且，求实数的取值范围．‎ ‎（2）设，，则由，可得 =，故，. ‎ ‎∵在动点的轨迹上，且，‎ 消去可得，解得，‎ 又，∴，解得，故实数的取值范围是．‎ ‎【方法点评】本题就是利用了椭圆的几何性质 构造不等式求参数的取值范围.诸如此类的还有等.学 ‎ ‎【反馈检测1】已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角，求直线的斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值．‎ 方法二 函数法 解题方法 把所讨论的对象作为一个函数、一个适当的参数作为自变量 表示这个函数，通过讨论函数的值域 求参数的变化范围.‎ ‎【例2】【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．‎ ‎ :学 ]‎ ‎（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎【解析】 （Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则，∵，∴直线AP斜率的取值范围是．‎ 令，因为，所以 在区间上单调递增，上单调递减，因此当时，取得最大值．‎ ‎【点评】（1）函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数和三角函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视. 本题不能忽略了的取值范围. （2）本题求的最大值，首先求出了的函数表达式|PA||PQ|=，再利用导数求函数的单调区间，求函数的最值.‎ ‎【反馈检测2】(2017浙江高考) 如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.‎ ‎（I）求直线AP斜率的取值范围； （II）求的最大值 方法三 基本不等式法 解题方法 先求出函数的解析式和函数的定义域，建立函数的模型，再利用基本不等式求函数的最值.‎ ‎【例3】已知椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，有一个顶点为，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线与椭圆交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.‎ ‎（2）依题意，直线过点且斜率不为零.‎ ‎（1）当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，； ‎ ‎（2）当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为, ‎ 由方程组 消去， 并整理得， ‎ 设,, 又有，∴ ‎ ‎∴ ， ∴， ‎ ‎， ‎ ‎ ， . 且 ． ‎ 综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：． ‎ ‎【点评】（1）本题先求出直线的斜率的解析式，再变形利用基本不等式 解答. (2) ‎ 利用基本不等式求函数的最值时，要注意创设情景，保证一正二定三相等.学· ！ ‎ ‎【反馈检测3】设椭圆中心在原点，焦点在轴上，短轴长为4，点（2，）在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设动直线交椭圆于两点，且，求的面积的取值范围.‎ ‎（3）过（）的直线:与过（）的直线:‎ 的交点（）在椭圆上，直线与椭圆的两准线分别交于两点，求·的值.‎ 方法四 三角函数法 解题方法 先建立三角函数的模型，再利用三角函数的性质分析解答.‎ ‎【例4】椭圆的切线与两坐标轴分别交于两点 ， 求的最小面积 .‎ ‎【解析】 设切点为 ， 则切线方程为.‎ 令, 得切线与轴交点；令,得切线与轴交点 ‎ ‎ ‎ 所以的最小面积为.‎ ‎【点评】（1）写出椭圆参数方程，设切点为，可得切线方程，后面 问题迎刃而解. （2）数学设点一般有两种方法，一是直角坐标设法，一是参数方程设法,利用曲线的参数方程设点的坐标. 要注意灵活选择.（3）建立三角函数模型后，再利用三角函数的性质分析解答.‎ ‎【反馈检测4】椭圆的焦点为，点为其上的动点，当 为钝角时，点横坐标的取值范围是___.‎ 方法五 数形结合法 解题方法 一般先找到“数”对应的“形”，以形助数，再利用几何分析的方法解答.‎ ‎【例5】给定点，已知是椭圆上的动点，是右焦点，当取得最小值时，试求点的坐标.‎ ‎，于是 为定值.‎ 其中，当且仅当点与椭圆的定点时等点成立，此时为 所以，当取得最小值时，点坐标为 ‎【点评】数形结合的关键是找到“数”对应的“形”，以形助数，再利用几何分析解答.‎ ‎【反馈检测5】已知椭圆 和直线: ，在上取一点 ，经过点且以椭圆的焦点为焦点作椭圆 ，求在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程 .‎ ‎【反馈检测6】双曲线的左焦点为，是双曲线右支上的动点，，则的最小值为 .‎ 高中数学热点难点突破技巧第12讲：‎ 圆锥曲线中的最值和范围问题的解法参考答案 ‎【反馈检测1答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）或;（Ⅲ）详见解析 ‎【反馈检测1详细解析】（Ⅰ）由题意得： 所以 ‎ 又因为点在椭圆上，所以，可解得, 所以椭圆标准方程为． ‎ 所以，所以． ‎ 所以 即，所以．所以，解得或 ‎ ‎（Ⅲ）由题意：设点，，,‎ 因为不在坐标轴上，所以,‎ 直线的方程为, 化简得： ④ ‎ 同理可得直线的方程为 ⑤‎ 把点的坐标代入④、⑤得 所以直线的方程为，令，得，令得，‎ 所以，又点在椭圆上，‎ 所以， 即为定值． ‎ ‎（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是 . ‎ 因为|PA|== ()‎ ‎|PQ|= =，所以 |PA||PQ|= .‎ 令f(k)= ，因为f’(k)=，所以 f(k)在区间（-1，）上单调递增，（，1）上单调递减，因此当k=时，|PA||PQ| 取得最大值.学 ‎ ‎【反馈检测3答案】（1）；（2）；（3）－8.‎ ‎【反馈检测3详细解析】（1）因为椭圆: （过（2，） ，‎ 故可求得＝2，＝2 椭圆的方程为 ‎ ‎（2）设，当直线斜率存在时设方程为，‎ 解方程组得，即，‎ 则△＝，‎ 要使，需使，即，‎ 所以， 即 ①‎ 将它代入（ ）式可得 到的距离为 将及韦达定理代入可得 当时 由 故 当时， ‎ 当的斜率不存在时， ，综上S. ‎ ‎（3）点P（）在直线:和：上，‎ ‎，‎ 由和得（4，）‎ 故·＝－16＋‎ 又（）在椭圆：,所以有故.‎ ‎·＝－16＋＝－8 ‎ ‎【反馈检测4答案】（）学 ‎ ‎【反馈检测4详细解析】由椭圆的知焦点为（－,0）,（,0）.‎ 设椭圆上的点可设为.为钝角 ‎∴ ‎ ‎ =‎ ‎ 解得： ∴点横坐标的取值范围是（）.‎ ‎ 【反馈检测5答案】，.‎ ‎【反馈检测5详细解析】由椭圆方程 ，得， 设 是关于对称点 ， 可求出坐标为(-9,6) ， 过的直线方程:与联立，得交点， 即过的椭圆长轴最短.‎ 由,得， 所求椭圆方程为. ‎ ‎【反馈检测6答案】9‎