2018届二轮复习专题23三角函数公式的正用、逆用与变用学案（全国通用）

2018届二轮复习专题23三角函数公式的正用、逆用与变用学案（全国通用）

专题23 三角函数公式的正用、逆用与变用 ‎ 考纲要求:‎ ‎1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.‎ ‎2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.‎ ‎3.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).‎ 基础知识回顾:‎ ‎1．同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：, (2)商数关系：.‎ ‎2．三角函数的诱导公式 公式一：，，，其中k∈Z.‎ 公式二：sin(π＋)＝，cos(π＋)＝，tan(π＋)＝tan.‎ 公式三：sin(－)＝，cos(－)＝，tan(－)＝－tan.‎ 公式四：sin(π－)＝sin，cos(π－)＝，tan(π－)＝－tan.‎ 注、（1）三角函数诱导公式的本质是“奇变偶不变，符号看象限”‎ ‎ （2）诱导公式的应用之一是求任意角的三角函数值，其一般步骤：①负角变正角，再写成2kπ＋α(0≤α<2π)；②转化为锐角．‎ ‎3．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( ± β)＝sin cos β ± cos sin β；cos(∓β)＝cos cos β ± sin sin β；tan( ± β)＝.‎ ‎4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2＝2sin cos ；cos 2＝cos2－sin2＝2cos2－1＝1－2sin2；tan 2＝.‎ ‎1＋sin2＝(sin＋cos)2,1－sin2＝(sin－cos)2，sin±cos＝sin.‎ ‎5．辅助角公式 asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.‎ ‎6.角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角公式的关系 应用举例:‎ 类型一、同角三角函数基本关系式的“三用”‎ ‎【例1】【2017浙江省温州市高三月考试题】若，则（ ）‎ A． B． C．或1 D．或-1‎ ‎【答案】A ‎【例2】若，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，则，可得，则，故选C.‎ 类型二、三角函数公式的基本应用 ‎【例3】【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考】已知且，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或7‎ ‎【答案】C ‎【解析】，由，得， .‎ 由,得或.‎ 故选C. ‎ ‎【例4】【湖北省襄阳市四校2018届高三上学期期中联考】下列各式中，值为的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【例5】【2017河南省天一大联考】已知为锐角，若，则（ ）‎ A．3 B．‎2 ‎‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，解得.‎ 类型三、三角函数公式的逆用与变用 ‎【例6】【吉林省百校联盟2018届高三TOP20九月联考】已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【例7】【2017广西南宁高三模拟】在△ABC中，若tan Atan B＝ tan A＋tan B＋1, 则cos C的值为(　　)‎ A．－ B. C. D．－ 解析：选B　由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.‎ ‎【例8】【2017山东莱芜高三阶段测试】若α是第二象限角，sin(π－α)＝.则＝________.‎ 解析：由sin(π－α)＝得sin α＝，又α是第二象限角，∴cos α＝－，tan α＝－.‎ 类型四、三角函数公式在解三角形中的应用 ‎【例9】【豫西南部分示范性高中2017-2018年高三年级第一学期联】在中， 分别为角的对边，且， 的面积.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由正弦定理原式子可以化为 ，消去公因式得到结果；（2）由第一问得到，再由面积公式得到， ，根据余弦定理得到三边关系，进而求得结果。‎ ‎（1）由正弦定理可知 ，∵，∴.‎ ‎（2）由（1）可知，∵，∴.‎ ‎∵，∴，∴.‎ 又， ，∴， ，∵，∴.‎ ‎【例10】【2017浙江省温州市高三月考试题】在中，内角所对的边分别为．若 ‎．　（1）证明：；（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎ ‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1.三种方法——三角函数求值与化简的常用方法 ‎(1)弦切互化法：主要利用公式化成正、余弦．‎ ‎(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．‎ ‎(3)巧用“‎1”‎的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝＝….‎ ‎2.两个技巧——拼角、凑角的技巧 ‎(1)用已知角表示未知角 ‎2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；‎ α＝＋，β＝－；＝等．‎ ‎ (2)互余与互补关系 ‎ ；；；…‎ ‎ 3.三个变换——应用公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．‎ 实战演练:‎ ‎1．【安徽省马鞍山含山2017-2018学年度高三联考】已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 2．【山东省德州市2018届高三上学期期中考试】已知是第四象限角，且，则 ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎3．【福建省三明市第一中学2018届高三上学期期中考试】若，则为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵， ，∴.‎ 又∵， ，∴，‎ ‎∴‎ 又∵，∴‎ 故选C.‎ 点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”，“给值求角”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的等量关系，进而用两角和差的公式展开求值即可.在求解过程中注意结合角的范围来确定正余弦的正负！‎ ‎4．【安徽省六安市第一中学2018届高三上学期第三次月考】已知，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎5．【安徽省六安市第一中学2018届高三上学期第三次月考】若，则（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 故选：A ‎6．【安徽省六安市第一中学2018届高三上学期第三次月考】在中， ，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ 7．【安徽省六安市第一中学2018届高三上学期第三次月考】已知，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎8．【河南省南阳市2017年秋期高中三年级期中】已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ，故选C.‎ ‎9．已知锐角 满足，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为 ‎ 所以，‎ ‎ ， ，‎ 又因为，则 ，则 ,‎ ‎.选B.‎ ‎10．【四川省成都市第七中学2018届高三上学期半期考试】设三个内角 的对边分别为， 的面积满足.‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎