河南省项城市第三高级中学2019-2020学年高二上学期第二次考试数学试题 含解析

河南省项城市第三高级中学2019-2020学年高二上学期第二次考试数学试题 含解析

项城市第三高级中学 2019-2020 学年上学期第二次考试 高二数学试题 一、选择题（本大题共 12 小题） 1. 在△ABC 中，下列等式中一定成立的等式是（　　） A. B. C. D. 2. 等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则 a12=（　　） A. 15 B. 30 C. 31 D. 64 3. 若不等式 x2+mx+1＞0 的解集为 R，则 m 的取值范围是（　　） A. R B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，满足不等式 x2-y2≥0 的点（x，y）组成的图形（用阴影部分 来表示）是（　　） A. B. C. D. 5. 若正数 a，b，c 成公差不为零的等差数列，则（　　） A. lga,lgb,lgc 成等差数列 B. lga,lgb,lgc 成等比数列 C. ,,成等差数列 D. ,,成等比数列 6. 已知 a，b，c 分别为△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边，且满足 acosB+bcosA=csinC，向量=（），=（cosA，sinA），若，则角 B 为（　　） A. B. C. D. 7. 在锐角三角形 ABC，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，+=6cosC，则+=（　　） A. 4 B. 3 C. 5 D. 6 8. 在实数等比数列{an}中，a2，a6 是方程 x2－34x＋64＝0 的两根，则 a4 等于( ) A. 8 B. C. D. 以上都不对 9. 已知 x＞0，y＞0，x+3y=1，则的最小值是（　　） A. B. 2 C. 4 D. 10. 定义在区间[-3，3]上的函数 y=f（x）是奇函数且单调递减，若实数 a，b 满足 f （2a-1）+f（b-2）≤0，则点（a，b）所在区域的面积为（　　） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 11. 已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以 Sn 表示{an}的前 n 项和，则 使得 Sn 达到最大值的 n 是（　　） A. 21 B. 20 C. 19 D. 18 12. 在△ABC 中，A=30°，BC=2，D 是 AB 边上一点，CD=2，△BCD 的面积为 4，则边 AC 的长为（　　） A. 或 3 B. 或 3 C. 或 4 D. 或 4 二、填空题（本大题共 4 小题） 13. 在△ABC 中，a=15，b=10，A=60°，则 cosB= ______ ． 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 14. 等比数列{an}中，a2=9，a5=243，则{an}的前 4 项和为______． 15. 已知 x，y∈R+，且满足，则 xy 的最大值为______． 16. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角 B 的值为_________________ 三、解答题（本大题共 6 小题） 17. 已知{an}为等差数列，且 a3=-6，a6=0． （1）求{an}的通项公式； （2）若等比数列{bn}满足 b1=-8，b2=a1+a2+a3，求{bn}的前 n 项和公式． 18. 设{an}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3=a2+4． （1）求{an}的通项公式； （2）设{bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn． 19. 已知关于 x 的不等式 ax2+2x+c＞0 的解集为（-，），求 a+c 的值． 20. 已知 x＞0，y＞0，若+＞a2+2a 恒成立，求实数 a 的取值范围． 21. 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 a=1，b=2，cosC= （Ⅰ）求△ABC 的周长； （Ⅱ）求 cos（A-C）的值． 22. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c． （1）若 23cos2A+cos2A=0，且△ABC 为锐角三角形，a=7，c=6，求 b 的值； （2）若 a=，A=，求 b+c 的取值范围． 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：由正弦定理，得 asinB=bsinA． 故选：B． 由正弦定理求出即可． 考查正弦定理，基础题． 2.【答案】A 【解析】解：方法一：设公差等于 d，由 a7+a9=16 可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8． 再由 a4=1=a1+3d，可得 a1=-，d=． 故 a12 =a1+11d=-+=15， 方法二：∵数列{an}是等差数列， ∴ap+aq=am+an， 即 p+q=m+n ∵a7+a9=a4+a12 ∴a12=15 故选：A． 由 a7+a9=16 可得 2a1+14d=16，再由 a4=1=a1+3d，解方程求得 a1 和公差 d 的值，或根据 等差中项的定义，ap+aq=am+an，从而求得 a12 的值． 本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差 d 的值，是解题 的关键，属于基础题． 3.【答案】B 【解析】解：∵不等式 x2+mx+1＞0 的解集为 R，∴△=m2-4＜0，解得-2＜m＜2． ∴m 的取值范围是（-2，2）． 故选：B． 利用一元二次不等式的解法即可得出． 熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键． 4.【答案】B 【解析】解：由 x2-y2≥0，得（x+y）（x-y）≥0， 即或， 画出图形如图所示． 故选：B． 由 x2-y2≥0 得出或，画出图形即可得出答案． 本题考查了一元二次不等式组表示平面区域的问题，是基础题． 5.【答案】D 【解析】【分析】 由正数 a，b，c 成公差不为零的等差数列得到 b-a=c-b=d，只要判断 2b÷2a=2c÷2b 即 可．本题考查了等差数列和等比数列的性质；如果三个 a，b，c 数成等差数列，则 2b=a+c；如果三个数啊 a，b，c 成等比数列，则 b2=ac． 【解答】 解：因为正数 a，b，c 成公差不为零的等差数列，设公差为 d，则 b-a=c-b=d， 则 2b÷2a=2b-a=2d，2c÷2b=2c-b=2d， 所以 2b-a=2c-b， 所以 2a，2b，2c 成等比数列． 故选 D． 6.【答案】C 【解析】解：∵根据题意， ∴cosA-sinA=0， ∴A=， ∵acosB+bcosA=csinC， ∴由正弦定理可得 sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC， 又由 sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC， ∴化简可得，sinC=sin2C，由 sinC＞0，解得 sinC=1， ∴C=， ∴B=． 故选：C． 由向量数量积的意义，由，可得 cosA-sinA=0，进而可得 A，再根据正弦定理，可得 sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，结合和差公式的正弦形式，化简可得 sinC=sin2C，可得 C，由 A、C 的大小，可得 B 的值． 本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，以及两角和正弦函数的应用，解题时， 注意向量的正确表示方法． 7.【答案】A 【解析】【分析】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，余弦定理的综合应用，属于中档题． 由条件利用余弦定理可得 a2+b2=c2，利用同角三角函数的基本关系，余弦定理化简+=， 从而求得结果． 【解答】 解：在锐角三角形 ABC 中，由+=6cosC，利用余弦定理可得+=6cosC=6•，∴a2+b2=c2． 则+ =+ =（+） =•= == ==4， 故答案为：4． 8.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了等比数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题．利用根与系数的关系、等比数列的性质即可得出． 【解答】 解：等比数列{an}中，a2，a6 是方程 x2-34x+64=0 的两根， ∴a2+a6=34＞0，a2•a6=64=，又偶数项的符号相同， ∴a4＞0，则 a4=8． 故选 A． 9.【答案】C 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 【解析】解：∵x+3y=1， ∴=（）（x+3y）=2+ 当且仅当即时等号成立， ∴的最小值是 4 故选：C． 先对+的乘以 1 结果保持不变，将 x+3y=1 看为一个整体代入得（+）×1=（+）× （x+3y），再运用基本不等式可求得最小值． 本题考查基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1 的代换．在运用基本不等式 时，要注意“一正、二定、三相等”的要求． 10.【答案】B 【解析】解：依题意，奇函数 y=f（x）在区间[-3，3]上单调递减， 因此不等式 f（2a-1）+f（b-2）≤0，即 f（2a-1）≤-f（b-2）=f（2-b），等价于-3≤2-b≤2a-1≤3， 即， 在坐标平面 aOb 中画出不等式组表示的平面区域， 结合图形可知，该三角形区域的三个顶点的坐标分别是（-1，5），（2，-1），（2， 5）， 因此该平面区域的面积等于， 故选：B． 根据题意，得出实数 a，b 的线性约束关系，即，再运用线性规划知识求解即可． 本题把函数的性质与线性规划结合起来考查，同时也考查了数形结合能力，是一道好 题． 11.【答案】B 【解析】解：设{an}的公差为 d，由题意得 a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即 a1+2d=35，① a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即 a1+3d=33，② 由①②联立得 a1=39，d=-2， ∴Sn=39n+×（-2）=-n2+40n=-（n-20）2+400， 故当 n=20 时，Sn 达到最大值 400． 故选：B． 写出前 n 项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意 n 取正整数这一 条件． 求等差数列前 n 项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意 n 取正整数这一条件． 12.【答案】C 【解析】解：如图，设∠BCD=θ，由 S，得， 所以 cosθ=， 由余弦定理，BD2=CD2+CB2-2CD•CBcosθ， 解得 BD=或者 4， 当 BD=时，得 sinB=， 又由，得 AC=， 当 BD=4 时，同理得 AC=4， 故选：C． 先求出 cosθ=，再利用余弦定理求出 BD，分类讨论，得出 AC． 考查余弦定理，正弦定理的应用，基础题． 13.【答案】 【解析】解：由正弦定理可得 =，∴sinB=，再由 b＜a，可得 B 为锐角， ∴cosB==， 故答案为：． 由正弦定理可求得 sinB=，再由 b＜a，可得 B 为锐角，cosB=，运算求得结果． 本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出 sinB=，以及 B 为锐角，是 解题的关键． 14.【答案】120 【解析】解：q3==27 ∴q=3 ∴a1==3 ∴S4==120 故答案为 120 根据 a2=9，a5=243 求得 a1 和 q，最后利用等比数列的求和公式求得前 4 项的和． 本题主要考查了等比数列的性质和求和问题．要熟练掌握等比数列中通项公式、求和公 式、等比中项等基本知识． 15.【答案】3 【解析】解：因为 x＞0，y＞0，所以（当且仅当，即 x=，y=2 时取等号）， 于是，，xy≤3． 故答案为：3 本题为利用基本不等式求最值，可直接由条件出发，求解． 本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力，属基本题． 16.【答案】或 【解析】解：∵，∴cosB×tanB=sinB= ∴B=或 故选 B． 先根据余弦定理进行化简，进而得到 sinB 的值，再由正弦函数的性质可得到最后答 案． 本题主要考查余弦定理的应用．考查计算能力． 17.【答案】解：（1）在等差数列{an}中，由 a3=-6，a6=0，得 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com d=， ∴an=a6+（n-6）d=2n-12； （2）在等比数列{bn}中，b1=-8，b2=a1+a2+a3=-10+（-8）+（-6）=-24， ∴q=， ∴{bn}的前 n 项和公式． 【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础的计算题． （1）由已知利用等差数列的通项公式求得公差，进一步求得{an}的通项公式； （2）由（1）求得 b2，进一步求得公比，代入等比数列的前 n 项和公式得答案． 18.【答案】解：（1）设 q 为等比数列{an}的公比， 则由 a1=2，a3=a2+4 得 2q2=2q+4， 即 q2-q-2=0，解得 q=2 或 q=-1（舍去）， 因此 q=2， ∴{an}的通项为； （2）由已知可得 bn=1+2（n-1）=2n-1， ∴an+bn=2n+（2n-1）， ∴Sn=+=2n+1+n2-2． 【解析】（1）设 q 为等比数列{an}的公比，由已知可得关于 q 的一元二次方程，求解 可得 q 值，则数列{an}的通项可求； （2）由已知可得 bn=1+2（n-1）=2n-1，然后分组，再由等差数列与等比数列的前 n 项 和公式求解． 本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列与等比数列前 n 项和的求法，是中档 题． 19.【答案】解：（1）由 ax2+2x+c＞0 的解集为（-，）知 a＜0，且-，为方程 ax2+2x+c=0 的两个根， 由根与系数的关系得-+=-，-×=， 解得 a=-12，c=2， ∴a+c=-10． 【解析】根据不等式的解集和一元二次方程根的关系即可求解 a+c 的值． 本题主要考查一元二次不等式的应用，根与系数的关系．属于基础题． 20.【答案】解：∵x＞0，y＞0， ∴，当且仅当 y=2x 时取等号． ∵+＞a2+2a 恒成立， ∴a2+2a＜8，解得-4＜a＜2． 【解析】利用均值不等式求出左边式子的最小值，再解一元二次不等式即可． 考查不等式恒成立问题，用了基本不等式，和一元二次不等式求解，基础题． 21.【答案】解：（I）∵c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4×=4， ∴c=2， ∴△ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5． （II）∵cosC=，∴sinC===． ∴sinA===． ∵a＜c，∴A＜C，故 A 为锐角．则 cosA==， ∴cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=． 【解析】（I）利用余弦定理表示出 c 的平方，把 a，b 及 cosC 的值代入求出 c 的值， 从而求出三角形 ABC 的周长； （II）根据 cosC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值，然后由 a，c 及 sinC 的值，利用正弦定理即可求出 sinA 的值，根据大边对大角，由 a 小于 c 得到 A 小于 C，即 A 为锐角，则根据 sinA 的值利用同角三角函数间的基本关系求出 cosA 的值， 然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值． 本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算 能力，是一道基础题． 22.【答案】解：（1）∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A-1=0， ∴，又∵A 为锐角，， 而 a2=b2+c2-2bccosA，即， 解得 b=5（舍负），∴b=5； （2）方法一：（正弦定理） 由正弦定理可得， ∵，∴＜B+＜， ∴， ∴． 方法二：（余弦定理） 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA 可得 b2+c2-3=bc， 即， ∴，又由两边之和大于第三边可得， ∴． 【解析】（1）运用二倍角的余弦公式，化简整理可得 cosA，再由余弦定理，解方程可 得 b； （2）方法一：运用正弦定理和两角和差的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质，即 可得到所求范围； 方法二：运用余弦定理和基本不等式，以及三角形的三边关系，即可得到所求范围． 本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查基本不等式 和三角形的三边关系，以及运算能力，属于中档题．