2017-2018学年广东省汕头市潮南实验学校高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年广东省汕头市潮南实验学校高二上学期期中考试数学（理）试题

潮南实验学校高中部2017-2018学年上学期期中考试 高二理科数学试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知集合A={x|x2＜4，x∈R}，B={x|（x+3）（x-1）＞0}，则A∩（∁RB）=（　　）‎ A. （-∞，-3）∪（1，2）‎ B. [-3，1]‎ C. （1，2）‎ D. （-2，1]‎ 2. 设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B. 若l⊥α，l∥m，则m⊥α C. 若l∥α，m⊂α，则l∥m D. 若l∥α，m∥α，则l∥m 3. 已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（　　）‎ A. 21‎ B. 42‎ C. 63‎ D. 84‎ 4. 四边形ABCD中，=，且||=||，则四边形ABCD是（　　）‎ A. 平行四边形 B. 菱形 C.矩形 D. 正方形 5. 已知实数x，y满足条件，则z=2x+y+3的最大值是（　　）‎ A. 3‎ B. 5‎ C. 7‎ D. 8‎ 6. 等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，则公差d等于（　　）‎ A. -3‎ B. -2‎ C. -1‎ D. 2‎ 7. 已知点（x，y）在直线x+2y=3上移动，则2x+4y的最小值是（　　）‎ A. 8‎ B. 6‎ C. 3‎ D. 4‎ 8. 函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（　　）‎ A. 关于点（，0）对称 B. 关于点（-，0）对称 C. 关于直线x=-对称 D. 关于直线x=对称 9. 已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M（-3，4），则cos2θ的值为（　　）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 1. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（　　） ‎ A. 6π B. 5π C. 4π D. 3π ‎11.已知三条直线2x-3y+1=0，4x+3y+5=0，mx-y-1=0不能构成三角形，则实数m的取值集合为（　　）‎ A. {-，}‎ B. {，-}‎ C. {-，，}‎ D. {-，-，}‎ ‎12.已知x1、x2是方程 4x2-4mx+m+2=0的两个实根，当x12+x22取最小值时，实数 m的值是（　　）‎ A. 2‎ B. ‎ C. -‎ D. -1‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.以点（1，3）和（5，-1）为端点的线段的中垂线的方程是 ______ ．‎ ‎14.某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为 ______ ．‎ ‎15已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，有下列命题： ①若m，n平行于同一平面，则m与n平行； ‎ ‎②若m⊥α，n∥α，则m⊥n； ③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线； ④若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β； ⑤若m∥n，α∥β，则m与α所成角等于n与β所成角． 其中真命题有 ______ ．（填写所有正确命题的编号）‎ ‎16.自圆x2+y2=4上点A（2，0）引此圆的弦AB，则弦的中点的轨迹方程为 ______ ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17.在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=ab+c2． ‎ ‎ ‎ ‎18.已知等差数列{an}的公差为2，若a2，a3，a6成等比数列 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.已知函数f（x）=1+2sinxcosx-2sin2x，x∈R． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若把f（x）向右平移个单位得到函数g（x），求g（x）在区间[-，0]上的最小值和最大值． ‎ ‎ ‎ ‎20.已知直三棱柱ABC-A′B′C′满足∠BAC=90°，AB=AC=AA′=2，点M，N分别为A′B，B′C′的中点． ‎ ‎（1）求证：MN∥平面A′ACC′； （2）求证：A′N⊥平面BCN． （3）求三棱锥C-MNB的体积． ‎ ‎21已知函数f（x）=ax2+（b-8）x-a-ab，当x∈（-3，2）时，f（x）＞0，‎ 当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0． ‎ ‎ ‎ ‎22.已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0， （1）求直线2x-y+1=0截圆C所得的弦长． （2）是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由． ‎ 潮南实验学校高中部2017-2018学年上学期期中考试 答案和解析 一选择题（每题5分,共60分）‎ ‎1. D    2. B    3. B    4. C    5. D    6. B    7. D    8. C    9. A    10. B    11. D  12. D    ‎ 二填空题（每题5分,共20分）‎ ‎13. x-y-2=0‎ ‎14. 810‎ ‎15. ②⑤‎ ‎16. （x-1）2+y2=1，（x≠2）‎ 三解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）‎ ‎17.（10分）‎ 解：（Ⅰ）∵a2+b2=ab+c2，a2+b2-c2=ab， ∴cosC==， ∵C为△ABC内角， ∴C=， 则tan（C-）=tan（-）==2-；…… ……5分 （Ⅱ）由ab+3=a2+b2≥2ab，得ab≤3， ∵S△ABC=absinC=ab， ∴S△ABC≤， 当且仅当a=b=时“=”成立， 则S△ABC的最大值是．…… ……10分 ‎18.（12分）‎ 解：（1）由题可知a3=a2+2，a6=a2+8， 因为a2，a3，a6成等比数列， 所以（a2+2）2=a2（a2+8），解得a2=1， 所以an=a2+（n-2）d=2n-3； …… ……6分 （2）由（1）可知=•=（-）， 所以Sn=（-1-1+1-+-+…+-）=（-1-）=， 所以．…… ……12分 19.（12分）‎ 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=1+2sinxcosx-2sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+）， 令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，‎ 可得函数f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z； 令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，‎ 可得函数f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z． …… ……6分 ‎（Ⅱ）若把函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数 g（x）=2sin[2（x-）+]=2sin（2x-）的图象， ∵x∈[-，0]，∴2x-∈[-，-]，∴sin（2x-）∈[-1，]，‎ ‎∴g（x）=2sin（2x-）∈[-2，1]． 故g（x）在区间上的最小值为-2，最大值为1．…… ……12分 ‎20.（12分）‎ 解：（1）证明：如图，连接AB′，AC′， ∵四边形ABB′A′为矩形，M为A′B的中点， ∴AB′与A′B交于点M，且M为AB′的中点，又点N为B′C′的中点，‎ ‎∴MN∥AC′， 又MN⊄平面A′ACC′，且AC′⊂平面A′ACC′， ∴MN∥平面A′ACC′． …… ……4分 ‎ （2）直三棱柱ABC-A′B′C′满足∠BAC=90°，AB=AC=AA′=2，点M，N分别为A′B，B′C′的中点． 可得A′N⊥B′C′，A′N⊥CC′，B′C′∩CC′=C′，‎ ‎∴A′N⊥平面B′C′CB ‎∴A′N⊥平面BCN …… ……8分 ‎（3）由图可知VCMNB=VMBCN， ∵∠BAC=90°，∴BC==2， 又三棱柱ABCA ′B′C′为直三棱柱，且AA′=4， ∴S△BCN=×2×4=4． ∵A′B′=A′C′=2，∠B′A′C′=90°，点N为B′C′的中点，‎ ‎∴A′N⊥B′C′，A′N=． 由（2）知A′N⊥平面BCN． 又M为A′B的中点， ∴M到平面BCN的距离为， ∴VCMNB=VMBCN=×4×=．…… ……12分 ‎21.（12分）‎ 解：（1）由已知得，方程ax2+（b-8）x-a-ab=0的两个根为-3，2， 则 解得a=-3，b=5， ∴f（x）=-3x2-3x+18； …… ……4分 ‎（2）由已知得，不等式-3x2+5x+c≤0的解集为R， 所以△=52-4×（-3）×c≤0， ∴c≤-，即c的取值范围为（-∞，-]， …… ……8分 ‎（3）y==‎ ‎=-3×（x+）‎ ‎=-3×[（x+1）+-1]， 因为x＞-1，（x+1）+≥2， 当且仅当x+1=，即x=0时取等号， ∴当x=0时，ymax=-3．…… ……12分 ‎22.（12分）‎ 解：（1）圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的圆心C（1，-2），半径r==3， 圆心C（1，-2）到直线2x-y+1=0的距离d==， ∴弦长为：2=2=4． …… ……4分 ‎（2）假设存在斜率为1的直线l，使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点， 设直线l的方程为：y=x+b， ‎ ‎2x2+（2b+2）x+b2+4b-4，① 设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴y1y2=（x1+b）（x2+b）‎ ‎= ‎ ‎=， 又∵OA⊥OB， ∴x1x2+y1y2=0， ∴=0， 解得b=1或b=-4， 把b=1和b=-4分别代入①式，验证判别式均大于0，故存在b=1或b=-4， ∴存在满足条件的直线方程是：y=x-4或y=x+1…… ……12分