2018届二轮复习数列学案文（全国通用）

2018届二轮复习数列学案文（全国通用）

专题 02 数列 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1＋λan，其中 λ≠0. （1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式； （2）若 S5＝ 31 32，求 λ. 因此{an}是首项为 1 1－λ，公比为 λ λ－1的等比数列， 于是 an＝ 1 1－λ( λ λ－1)n－1 . (2)由(1)得 Sn＝1－( λ λ－1) n . 由 S5＝ 31 32得 1－( λ λ－1) 5 ＝ 31 32，即( λ λ－1) 5 ＝ 1 32. 解得 λ＝－1. 2．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且 x1+x2=3，x3-x2=2 （1）求数列{xn}的通项公式； （2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1) 得到折线 P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线 y=0， 所围成的区域的面积 . 【答案】(1) （2） 1 1nx x x x += =, nT 12 .n nx −= (2 1) 2 1.2 n n nT − × += 【解析】（1）设数列的公比为 ，由题意，得 ， 则 因为 ,所以 ， 因此数列 的通项公式为 由题意 ， 所以 ……+ = ……+ ① 又 ……+ ② 3．已知 为等差数列，前 n 项和为 ， 是首项为 2 的等比数列，且公比大 于 0， ， ， ． （1）求 和 的通项公式； ( 0)q q > 1 1 2 1 1 3 2 x x q x q x q + =  − = 23 5 2 0q q− − = 0q > 12, 1q x= = { }nx 12 .n nx −= 1 2( 1) 2 (2 1) 22 n n n n nb n− −+ += × = + × 1 2 3nT b b b= + + + nb 1 0 13 2 5 2 7 2−× + × + × + 3 2(2 1) 2 (2 1) 2n nn n− −− × + + × 0 1 22 3 2 5 2 7 2nT = × + × + × + 2 1(2 1) 2 (2 1) 2n nn n− −− × + + × { }na ( )nS n ∗∈N { }nb 2 3 12b b+ = 3 4 12b a a= − 11 411S b= { }na { }nb （2）求数列 的前 n 项和 ． 【答案】（1） ， ；（2） ． 【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ． 由已知 ，得 ，而 ，所以 ． 又因为 ，解得 ．所以， ． 由 ，可得 ①． 由 ，可得 ②， 联立①②，解得 ， ，由此可得 ． 所以，数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ． 上述两式相减，得 ，得 ． 所以，数列 的前 项和为 ． 【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程组求数列的首项 和公差或公比，进而写出通项公式及前 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求， 数列求和的方法有 倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的 是错位相减法求和． 4．设 和 是两个等差数列，记 ， 其中 表示 这 个数中最大的数． （1）若 ， ，求 的值，并证明 是等差数列； 2 2 1{ }n na b − ( )n ∗∈N 3 2na n= − 2n nb = 13 2 843 3 nn +− × + { }na d { }nb q 2 3 12b b+ = 2 1( ) 12b q q+ = 1 2b = 2 6 0q q+ − = 0q > 2q = 2n nb = 3 4 12b a a= − 13 8d a− = 11 4=11S b 1 5 16a d+ = 1 1a = 3d = 3 2na n= − { }na 3 2na n= − { }nb 2n nb = 2 3 1 12 (1 4 )3 2 4 3 4 3 4 3 4 (3 1) 4 4 (31 4 n n n nT n n+ × −− = × + × + × + + × − − × = − − −− 1 11) 4 (3 2) 4 8n nn+ +× = − − × − 13 2 843 3 n n nT +−= × + 2 2 1{ }n na b − n 13 2 843 3 nn +− × + n n { }na { }nb 1 1 2 2max{ , , , }n n nc b a n b a n b a n= − − ⋅⋅⋅ − ( 1,2,3, )n = ⋅⋅⋅ 1 2max{ , , , }sx x x⋅⋅⋅ 1 2, , , sx x x⋅⋅⋅ s na n= 2 1nb n= − 1 2 3, ,c c c { }nc （2）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时， ；或者存在正整 数 ，使得 是等差数列． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】（1） ， . 当 时， ， 所以 关于 单调递减. 所以 . 所以对任意 ，于是 ， 所以 是等差数列. ①当 时，取正整数 ，则当 时， ，因此 . 此时， 是等差数列. ②当 时，对任意 ， 此时， 是等差数列. ③当 时， M m n m≥ nc Mn > m 1 2, , ,m m mc c c+ + ⋅⋅⋅ 1 1 1 1 1 0,c b a= − = − = 2 1 1 2 2max{ 2 , 2 } max{1 2 1,3 2 2} 1c b a b a= − − = − × − × = − 3 1 1 2 2 3 3max{ 3 , 3 , 3 } max{1 3 1,3 3 2,5 3 3} 2c b a b a b a= − − − = − × − × − × = − 3n ≥ 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 0k k k k k k k kb na b na b b n a a n+ + + +− − − = − − − = − < k kb na− *k ∈N 1 1 2 2 1 1max{ , , , } 1n n nc b a n b a n b a n b a n n= − − − = − = − 1, 1nn c n≥ = − 1 1n nc c+ − = − { }nc 1 0d > 2 1 dm d > n m≥ 1 2nd d> 1 1nc b a n= − 1 2, , ,m m mc c c+ +  1 0d = 1n ≥ 1 1 2 1 1 2 1( 1)max{ ,0} ( 1)(max{ ,0} ).nc b a n n d b a n d a= − + − = − + − − 1 2 3, , , , ,nc c c c  1 0d < 当 时，有 . 所以 对任意正数 ，取正整数 ， 故当 时， . 5．某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红 500 万元，该企业 2010 年年底分红后的资金为 1 000 万元. (1)求该企业 2014 年年底分红后的资金； (2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元. 即数列{an－500}是以 a1－500＝1 000 为首项，2 为公比的等比数列， ∴an－500＝1 000×2n－1， ∴an＝1 000×2n－1＋500. (1)∵a4＝1 000×24－1＋500＝8 500， ∴该企业 2014 年年底分红后的资金为 8 500 万元. （2）由 an>32 500，即 2n－1>32，得 n>6，∴该企业从 2017 年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元. 6．设数列 满足 . （1）求 的通项公式； 2 1 dn d > 1 2nd d< 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 ( 1)( ) ( )nc b a n n d nd b dn d d a dn n n − + − − −= = − + − + + 1 1 1 2 1 2( ) | |.n d d a d b d≥ − + − + − − M 1 2 1 1 2 2 1 1 | |max{ , }M b d a d d dm d d + − + − −> − n m≥ nc Mn > { }na 1 23 (2 1) 2na a n a n+ + + − = { }na （2）求数列 的前 项和. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）因为 +3 +…+（2n-1） =2n，故当 n≥2 时， +3 +…+（ -3） =2（n-1）. 两式相减得（2n-1） =2， 所以 = (n≥2). 又由题设可得 =2， 从而{ }的通项公式为 = . （2）记{ }的前 n 项和为 ， 由（1）知 = = - . 则 = - + - +…+ - = . 【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累 加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零 的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)， 还有一类是隔一项的裂项求和，如 或 . 7．已知 是公差为 3 的等差数列，数列 满足 . （1）求 的通项公式； （2）求 的前 n 项和. 2 1 na n   +  n 12 2 −= nan 12 2 +n n 1n n c a a +       { }na 1 ( 1)( 3)na n n = + + 1 ( 2)na n n = + { }na { }nb 1 2 1 1 1= = 3 n n n nb b a b b nb+ ++ =1， ， { }na { }nb 【答案】（1） ；（2） （2）由（1）和 得 ，因此 是首项为 1，公比为 的等比数 列.记 的前 项和为 ，则 【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方 程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因 此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一 种行之有效的方法. 3 1na n= − 1 3 1 .2 2 3n−− × 1 1n n n na b b nb+ ++ = 1 3 n n bb + = { }nb 1 3 { }nb n nS 1 11 ( ) 3 13 .1 2 2 31 3 n n nS − − = = − ×−