数学理卷·2017届山西大学附中高三5月模块诊断考试（2017

数学理卷·2017届山西大学附中高三5月模块诊断考试（2017

山西大学附属中学 ‎2016-2017学年高三第二学期5月模块诊断 数学试题（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.‎ ‎1.设复数（为虚数单位），则的虚部是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合，，若，则的值为（ ）‎ A．3 B． C．或3 D．3或 ‎3．若按如右图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是( )‎ A.5 B.6 B.7 D.8‎ ‎4.如右图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,且该几何体的体积为, 则该几何体的俯视图可以是（ ）‎ ‎ A B C D ‎5.定积分（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6． 以下判断正确的个数是（ ）‎ ‎①相关系数值越小，变量之间的相关性越强.‎ ‎②命题“存在”的否定是“不存在”.‎ ‎③“”为真是“”为假的必要不充分条件.‎ ‎④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是.‎ A. 4 B. 2 C. 3 D. 1‎ ‎7. 已知函数，则的图象大致为( )‎ ‎ A B C D ‎8. 已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，若∥平面,则动点的轨迹所形成的区域面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.在直角中，，，为边上的点且，若，则实数的最大值是（ ）‎ A． B． C. 1 D．‎ ‎10.数列前项和是，且满足，，，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知函数的图象与直线相切，当函数恰有一个零点时，实数的取值范围是（　　）‎ A.{0} B. C. D.‎ ‎12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，直线过与双曲线交于，两点，若，，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为( )‎ A.和 B.和 C.和 D.和 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知角的终边上一点的坐标为,则角的最小正值为 ．‎ ‎14．甲乙两人做报数游戏，其规则是：从1开始两人轮流连续报数，每人每次最少报1个数，最多可以连续报6个（如第一个人先报“1，2”，则另一个人可以有“3”，“3，4”，…，“3，4，5，6，7，8”等六种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是_________．‎ ‎15.过平面区域内一点作圆：的两条切线，切点分别为 ‎，记，当最大时，点坐标为 ．‎ ‎16.设函数，其中，.‎ 若，，是的三条边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎①，；‎ ‎②，使，，不能构成一个三角形的三条边长；‎ ‎③若为直角三角形，对于，恒成立.‎ ‎④若为钝角三角形，则，使；‎ 三、解答题 （本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分） 在中，角， ， 的对边分别为， ， ， .‎ ‎（1）证明： 是正三角形；‎ ‎（2）如图，点在边的延长线上，且， ，求的值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 某工程设备租赁公司为了调查A，B两种挖掘机的出租情况，现随机抽取了这两种挖掘机各100台，分别统计了每台挖掘机在一个星期内的出租天数，统计数据如下表：‎ ‎（1）根据这个星期的统计数据，将频率视为概率，求该公司一台A型挖掘机，一台B型挖掘机一周内合计出租天数恰好为4天的概率；‎ ‎（2）如果A，B两种挖掘机每台每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种挖掘机中购买一台，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种类型，并说明你的理由．‎ ‎19. （本小题满分12分）如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，，，，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值.‎ ‎20. (本小题满分12分)已知，，曲线上的任意一点满足：.（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）过点的直线与曲线交于，两点，交轴于点，设，，试问是否为定值？如果是 定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由.‎ ‎21. (本小题满分12分)已知函数，，（其中是自然对数的底数）.‎ ‎（1），使得不等式成立，试求实数的取值范围.‎ ‎（2）若，求证：. ‎ ‎22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为（）.‎ ‎（1）以曲线上的点与点连线的斜率为参数，写出曲线的参数方程；‎ ‎（2）设曲线与曲线的两个交点为，，求直线与直线的斜率之和.‎ ‎23. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 ‎（1）若不等式成立的充分不必要条件为，求实数的取值范围.‎ ‎（2）已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：(ax＋by)(bx＋ay)≥xy．‎ 山西大学附属中学 ‎2016-2017学年高三第二学期5月模块诊断 数学试题（文理）答案 ‎1.设复数（为虚数单位），则的虚部是（ A ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合，，若，则的值为（A）‎ A．3 B． C．或3 D．3或 ‎3．若按如右图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是( B )‎ A.5 B.6 B.7 D.8‎ ‎4.如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是 某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,‎ 且该几何体的体积为, 则该几何体的俯视图可以是（ D ）‎ ‎ ‎ ‎5.(理)定积分（ C ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.(文)一个样本，3，5，7的平均数是，且，分别是数列的第2项和第4项，则这个样本的方差是（ C ）‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎6． 以下判断正确的个数是（ B ）‎ ‎①相关系数值越小，变量之间的相关性越强.‎ ‎②命题“存在”的否定是“不存在”.‎ ‎③“”为真是“”为假的必要不充分条件.‎ ‎④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是.‎ A. 4 B. 2 C. 3 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】关系数值越小，变量之间的相关性越弱，故错误；②命题“存在”‎ 的否定是“任意”，故错误；③“”为真时，“”为假不一定成立，故“”为真是“”为假的不充分条件，“”为假时，“”为真，“”为真，故“”为真是“”为假的必要条件，故“”为真是“”为假的必要不充分条件，故正确；④若回归直线的斜率估计值是，样本点的中心为，则，则回归直线方程是，故正确；故选B.‎ ‎7. 已知函数，则的图象大致为( A )‎ A．解析：取特殊值，即可排除BCD选项；法二：求导研究单调性可得；法三：利用常见结论，由于，可排除BD，时，，可排除C．‎ ‎8.已知正方体的棱长为1，E是棱的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面,则动点F的轨迹所形成的区域面积是（ C ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.在直角中，，，为边上的点且，若，则实数的最大值是（ C ）‎ A． B． C. 1 D．‎ ‎10.数列前n项和是，且满足，，，则的值为（ D ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知函数的图象与直线相切，当函数恰有一个零点时，实数的取值范围是（　A　）‎ A.{0} B. C. D.‎ ‎12. 12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，直线过与双曲线交于，两点，若，，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为( C )‎ A.和 B.和 C.和 D.和 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.. 已知角的终边上一点的坐标为,则角的最小正值为 ‎14．甲乙两人做报数游戏，其规则是：从1开始两人轮流连续报数，每人每次最少报1个数，最多可以连续报6个（如第一个人先报“1，2”，则另一个人可以有“3”，“3，4”，…，“3，4，5，6，7，8”等六种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是___1,2 ‎ ‎15.过平面区域内一点作圆：的两条切线，切点分别为，记，当最大时，点坐标为 ． ‎ ‎16. 设函数，其中，.‎ 若，，是的三条边长，则下列结论正确的是①②④ ．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎①，；‎ ‎②，使，，不能构成一个三角形的三条边长；‎ ‎③若为直角三角形，对于，恒成立.‎ ‎④若为钝角三角形，则，使；‎ ‎17. 在中，角， ， 的对边分别为， ， ， .‎ ‎（1）证明： 是正三角形；‎ ‎（2）如图，点的边的延长线上，且， ，求的值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用配方法，可得，即三边长相等，得证正三角形；（2）首先在中应用余弦定理求出边长，从而得长，再在中应用正弦定理可得．‎ 解析：（1）由,得,所以，所以,即是正三角形.‎ ‎（2）因为是等边三角形，，所以，,所以在中，由余弦定理可得：，可得，解得,在中，，由正弦定理可得.‎ ‎18．(文) 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001,002，…，800进行编号．‎ ‎（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；‎ ‎（下面摘取了第7行到第9行）‎ ‎（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：‎ 成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有．‎ ‎①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求的值：‎ ‎②在地理成绩及格的学生中，已知，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．‎ ‎18．（1）785,667,199‎ ‎（2）①，∴，.‎ 因为，，所以的搭配；‎ ‎，共有14种.‎ 设，，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件，.‎ 事件包括：，共2个基本事件；‎ ‎，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为.‎ ‎ 18.(理)(本小题满分12分)‎ 某工程设备租赁公司为了调查A，B两种挖掘机的出租情况，现随机抽取了这两种挖掘机各100台，分别统计了每台挖掘机在一个星期内的出租天数，统计数据如下表：‎ ‎(I)根据这个星期的统计数据，将频率视为概率，求该公司一台A型挖掘机，一台B型挖掘机一周内合计出租天数恰好为4天的概率；‎ ‎(II)如果A，B两种挖掘机每台每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种挖掘机中购买一台，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种类型，并说明你的理由．‎ 解：（I）设“事件表示一台Ａ型挖掘机在一周内出租天数恰好为天”，‎ ‎“事件表示一台Ｂ型挖掘机在一周内出租天数恰好为天”，其则该公司一台A型挖掘机，一台B型挖掘机一周内合计出租天数恰好为4天的概率为 ‎　 ………………2分 所以该公司一台A型车，一台B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为…4分 ‎（Ⅱ）设为A型挖掘机出租的天数，则的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎ 3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎ 7‎ ‎0.05‎ ‎ 0.10‎ ‎0.30‎ ‎0.35‎ ‎0.15‎ ‎0.03‎ ‎0.02‎ ‎ …………………………………6分 设为B型挖掘机出租的天数，则的分布列为 ‎ ‎1‎ ‎ ‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎7‎ ‎0.14‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.16‎ ‎ 0.15‎ ‎ 0.10‎ ‎0.05‎ ‎ …………………………………8分 ‎…10分 一台A类型的挖掘机一个星期出租天数的平均值为3.62天，一台辆B类型的挖掘机一个星期出租天数的平均值为3.48天，选择A类型的挖掘机更加合理 . ………………12分 ‎19. (文)（本小题满分12分）等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点.点 在边上，且.现沿将折起到的位置，使. ‎ ‎ (Ⅰ)证明平面；‎ ‎（Ⅱ）记，表示四棱锥的体积,求的最值。‎ ‎19. 解:（Ⅰ），故，而，‎ 所以平面. ‎ ‎（Ⅱ），平面，即为四棱锥的高.‎ 由高线及得∥，，由题意知 ‎=. ‎ 而，，‎ 当时 ‎ ‎19.(理)如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，，，，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值.‎ ‎19.解：（1）因为是直径，所以，因为平面，所以，‎ 因为，所以平面，因为，，‎ 所以四边形是平行四边形，所以，所以平面，‎ 因为平面，所以平面平面.‎ ‎（2）因为平面，，‎ 所以平面，，在中，，‎ 由（1）知当且仅当时，等号成立.‎ 如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，.‎ 则，，，.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，∴，取，则，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，∴，取，则，‎ ‎∴，∴二面角的余弦值为.‎ ‎20.已知，，曲线上的任意一点满足：.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）过点的直线与曲线交于，两点，交轴于点，设，，试问是否为定值？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由.‎ ‎20.解：（1）设，则，，，‎ ‎∵，∴，‎ 化简得，为所求点的轨迹方程.‎ ‎（2）设，.‎ ‎①当直线与轴不重合时，设直线的方程为，‎ 则，从而，，由得 ‎，，，‎ 同理由得，∴.①‎ 由，得.∴，，‎ 代入①式得，∴.‎ ‎②当直线与轴重合时，，，.‎ 由，，得，，∴，‎ 综上，为定值.‎ ‎21.(文) 已知函数．1111]‎ ‎（1）证明：对任意的，都有；‎ ‎（2）设，比较与的大小，并说明理由．‎ ‎ 21.（1）因为，故在上是增加的，在上是减少的 ‎，‎ 设，则，‎ 故在上是增加的，在上是减少的，故，‎ ‎.所以对任意的恒成立 ‎（2）， 且，‎ ‎∵，∴，故只需比较与的大小，‎ 令，设，‎ 则.‎ 因为，所以，所以函数在上是增加的,故.‎ 所以对任意恒成立.即，‎ 从而有.‎ ‎21. (理) 已知函数，，（其中是自然对数的底数）.‎ ‎（1），使得不等式成立，试求实数的取值范围.‎ ‎（2）若，求证：. ‎ ‎21.解：（1）因为不等式等价于，‎ 所以，使得不等式成立，‎ 等价于，即，‎ 当时，，‎ 故在区间上单调递增，所以时，取得最小值.‎ 又，由于，，，‎ 所以，故在区间上单调递减，因此时，取得最大值.‎ 所以，所以.所以实数的取值范围为.‎ ‎（2）当时，要证，只要证，‎ 只要证，‎ 只要证，‎ 由于，，只要证.‎ 下面证明时，不等式成立，‎ 令，则，‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增.‎ 所以当且仅当时，取得极小值也就是最小值为1.‎ 令，其可看作点与点连线的斜率，‎ 所以直线的方程为，‎ 由于点在圆，所以直线与圆相交或相切.‎ 当直线与圆相切且切点在第二象限时，直线的斜率取得最大值为1.‎ 故时，；时，.‎ 综上所述：时时，成立.‎ ‎22．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为（）.‎ ‎（1）以曲线上的点与点连线的斜率为参数，写出曲线的参数方程；‎ ‎（2）设曲线与曲线的两个交点为，，求直线与直线的斜率之和.‎ 解：（1）由得.‎ 故曲线的参数方程为.（为参数，且）.‎ ‎（2）由，得，.‎ 将代入整理得，‎ 故直线与直线的斜率之和为4.‎ ‎23.（1）若不等式成立的充分不必要条件为，求实数的取值范围.‎ ‎（2）已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：(ax＋by)(bx＋ay)≥xy．‎ 解：（1）不等式的解集为，依题意有，‎ 则，解得.‎ ‎（2）证明：因为a，b是正数，且a＋b＝1，‎ 所以(ax＋by)(bx＋ay)＝abx2＋(a2＋b2)xy＋aby2‎ ‎＝ab(x2＋y2)＋(a2 ＋ b2)xy ≥ab2xy＋(a2 ＋ b2)xy ＝(a＋b)2xy＝xy 即(ax＋by)(bx＋ay)≥xy成立． ‎