2017-2018学年四川省眉山一中高二下学期5月月考数学（理）试题-解析版

2017-2018学年四川省眉山一中高二下学期5月月考数学（理）试题-解析版

绝密★启用前 四川省眉山一中2017-2018学年高二下学期5月月考数学（理）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．4×5×6×…×n=（　　）‎ A. B. . C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据排列数的定义可得．‎ 详解：．‎ 故选B．‎ 点睛：排列数的定义：．‎ 阶乘定义：．‎ ‎2．下列命题中正确的为（　　）‎ A. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强 B. 线性相关系数r越小，两个变量的线性相关性越弱 C. 用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好 D. 残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好 ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据相关系数、残差的概念进行判断．‎ 详解：相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，A错；相关系数的绝对值越小，线性相关性越弱，B错；用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，C错；R2越大时，残差平方和越小，模型拟合的效果越好，D正确．‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查两个变量的线性相关性，在此问题中要掌握线性相关系数r与两个变量的线性相关性强弱的关系，掌握相关指数R2与残差平方和之间的关系．‎ ‎3．曲线y=sinx+ex在点（0，1）处的切线方程是（　　）‎ A. x﹣3y+3=0 B. 2x﹣y+1=0 C. x﹣2y+2=0 D. 3x﹣y+1=0‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求出导数，由导数得切线斜率．‎ 详解：由题意，时，，‎ ‎∴切线方程为，即．‎ 故选B．‎ 点睛：函数在点处的切线方程是，要注意函数图象在某点处的切线只有一条，但过某点的切线可能多于一条．‎ ‎4．某班有学生60人，现将所有学生按1，2， 3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3, 33, 48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）‎ A. 28 B. 23 C. 18 D. 13‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵高三某班有学生60人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，‎ ‎∴样本组距为60÷4=15，‎ 则3+15=18，‎ 即样本中还有一个学生的编号为18，‎ 故选：C．‎ ‎5．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据正态分布密度曲线的对称性可知，若，函数的对称轴是 ，所以，故选B.‎ ‎6．下列求导运算正确的是（　　）‎ A. B. （其中e为自然对数的底数）‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：运算导数的加减乘除的运算法则进行计算．‎ 详解：，，，，因此只有B正确．‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查导数的运算法则，掌握导数的回加减乘除法运算法则是解题的基础．‎ ‎7．已知函数的导函数为，且满足，则=（　　）‎ A. B. 1 C. ﹣1 D. ﹣‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：对已知等式求导后令，求得，再计算.‎ 详解：由已知，∴，，‎ ‎∴，.‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查导数的运算，解题中只要注意到是一个常数，这样就可以求出导函数，从而先求出，本题属于基础题型.‎ ‎8．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=2，且对任意x∈R都有f′（x）＞3，则不等式f（x）＞3x﹣1的解集为（　　）‎ A. （1，2） B. （0，1） C. （1，+∞） D. （﹣∞，1）‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：构造函数，则，从而能确定的单调性，由此单调性求解题中不等式.‎ 详解：设，则，∴单调递增，‎ 又，∴的解集为.‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，解题关键是构造新函数，新函数要求能通过已知不等式确定导数的正负，从而确定单调性.常用构造的新函数有：，，，，等等.‎ ‎9．对任意的实数，有，则的值是（ ）‎ A. 3 B. 6 C. 9 D. 21‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据题意，由于任意的实数，有，则为，则根据展开式通项公式可知，第三项故可知的值是6，故答案为B。‎ 考点：二项式定理 点评：主要是考查了二项式定理的运用，属于基础题。‎ ‎10．男女共名同学从左至右排成一排合影，要求左端排男同学，右端排女同学，且女同学至多有人排在一起，则不同的排法种数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，假设从左到右有6个位置，分2步进行分析：‎ ‎①、要求左端排男同学，右端排女同学，‎ 在3个男生中任选1人，安排在左端的1号位置，在女生中任选1人，安排在右端的6号位置，有种选法；‎ ‎②、对5号位置分2种情况讨论：‎ 若5号位置为女生，有2种情况，则4号位置必须为男生，有2种情况，‎ 将剩余的2人全排列,安排在2、3号位置,有种情况，‎ 此时有2×2×2=8种情况，‎ 若5号位置为男生，有2种情况，‎ 将剩余的3人全排列,安排在2、3、4号位置,有种情况，‎ 此时有2×6=12种情况，‎ 则剩余的4个位置有8+12=20种情况，‎ 故有9×20=180种不同的排法；‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．‎ ‎11．如图所示，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则△AOB的面积小于的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：求出面积小于时点所在弧长，再由几何概型概率公式计算.‎ 详解：，则，即点到半圆直径的距离小于，对应弧长为，又半圆弧长为，所以所求概率为.‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查几何概型，解题关键是确定几何测度，根据测度不同有长度型、面积型、体积型等.‎ ‎12．已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设ξ为取出的次数，求P（ξ=4）=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：假设10个球都不相同，取4次，符合要求的是前3次取球中有两个是次品一个正品，第4次是正品.‎ 详解：，‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查古典概型概率，解题关键是确定基本事件的个数．本题中取4次球，要求4次取出2个正品，可认为是特殊位置特殊元素的排列问题，由此可得题中解法．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是，则f（1）+f′（1）=___．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】分析：利用切线方程得．‎ 详解：由题意，∴．‎ 故答案为3．‎ 点睛：本题考查导数的几何意义，由此得函数图象在点处的切线方程是．‎ ‎14．对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观察数据（xi，yi）（i=1，2，…8），其回归直线方程是： =2x+a，且x1+x2+x3+…+x8=8，y1+y2+y3+…+y8=16，则实数a的值是___．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】分析：由回归直线一定过点可得．‎ 详解：由已知，，∴，解得．‎ 故答案为0．‎ 点睛：数据点不一定在回归直线上，但点一定在回归直线上．‎ ‎15．甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为______ ．‎ ‎【答案】0.58‎ ‎【解析】由题意可得：两人是否击中目标是相互独立的，‎ 因为两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，‎ 所以两人都击中目标的概率为：0.6×0.7=0.42，‎ 所以甲、乙至多一人击中目标的概率为：1−0.42=0.58.‎ 故答案为：0.58.‎ ‎16．一膄轮船在航行中的燃油费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃油费是每小时6元。其他与速度无关的费用是每小时96元，则使行驶每公里的费用总和最小时，该轮船的航行速度为___________公里/小时 ‎【答案】20‎ ‎【解析】分析：列出费用与速度的函数关系式．再利用基本不等式求得最小值．‎ 详解：设速度为分里/小时，则公里费用，又，∴，‎ ‎∴，，当且仅当，即时取等号．‎ 故答案为20．‎ 点睛：本题考查求解数学应用题，解题时应根据题意列出函数关系式，然后可根据函数的知识或基本不等式求得最小值．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，求实数b的值；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：设出切点，求出切线，由两条切线是同一条直线可求得结论．‎ 详解：设与和的切点分别为 由导数的几何意义可得，得 由切点也在各自的曲线上，可得，‎ 联立①②③④解得．‎ 点睛：常规解法：设两曲线上切点分别，则两曲线的切线分别为，，即，，它们是同一条直线，∴，解得，∴切线方程为，即．‎ 这样的解法学生容易理解并模仿．‎ ‎18．已知函数 ‎（1）若a=1，求f（x）的极值；‎ ‎（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）f（x）的极小值是f（1）=1，无极大值（2）‎ ‎【解析】分析：（1）求出导数，由不等式确定增区间，由确定减区间，从而得极值；‎ ‎（2）问题等价于，因此用导数研究函数的最小值，由最小值小于0可求得的范围，注意要分类讨论．‎ 详解：（1）a=1时，f（x）=x﹣lnx，函数f（x）的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）=1﹣=，令f′（x）＞0，解得x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，‎ f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）的极小值是f（1）=1，无极大值；‎ ‎（2）存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，等价于[f（x）﹣g（x）]min＜0，‎ ‎（x∈[1，e]）成立，设h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx+，‎ 则h′（x）=，令h′（x）=0，解得：x=﹣1（舍），x=1+a；‎ ‎①当1+a≥e，h（x）在[1，e]递减，∴h（x）min=h（e）=e2﹣ea+1+a，‎ 令h（x）min＜0，解得：a＞；‎ ‎②当1+a＜e时，h（x）在（1，a+1）递减，在（a+1，e）递增，‎ ‎∴h（x）min=h（1+a）=a[1﹣ln（a+1）]+2＞2与h（x）min＜0矛盾，‎ 综上，a＞．‎ 点睛：本题考查导数的应用，考查转化与化归思想，命题“若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立”等价于“时，”，转化后只要研究函数的最小值即可，而这又可用导数研究．‎ ‎19．从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为， ， ．‎ ‎（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．‎ ‎（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析： 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数, 的所有可能取值为0,1,2,3.分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数学期望， ‎ 表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和.‎ 试题解析：（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以，随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望.‎ ‎（Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 ‎.‎ 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.‎ ‎【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望 ‎【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.‎ ‎20．设函数 ‎（I）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为 ‎，再根据点斜式写切线方程；（2）由函数图像可知，极大值大于零且极小值小于零，解不等式可得c的取值范围 试题解析：解：（I）由，得．‎ 因为， ，‎ 所以曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（II）当时， ，‎ 所以．‎ 令，得，解得或．‎ 与在区间上的情况如下：‎ 所以，当且时，存在， ，‎ ‎，使得．‎ 由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）证明： ．‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可知， 表示直线的斜率，然后结合直线所过的点求得切线方程即可；‎ ‎(2)利用题意构造，结合 的性质即可证得题中的不等式.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵，∴， ，又切点为，‎ 所以切线方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）设函数， ， ，‎ 设， ，则，令，则，‎ 所以， ； ， ．‎ 则，‎ 令 ，‎ 所以， ； ， ；‎ 则，从而有当， ．‎ ‎22．通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表： ‎ 男 女 总计 读营养说明 ‎16‎ ‎28‎ ‎44‎ 不读营养说明 ‎20‎ ‎8‎ ‎28‎ 总计 ‎36‎ ‎36‎ ‎72‎ ‎(1)根据以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别和是否看营养说明有关系呢？‎ ‎(2)从被询问的28名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到女生人数 的分布列及数学期望.‎ 附：‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1） 能（2）分布列见解析，期望为．‎ ‎【解析】分析：(1)根据所给数据与公式计算，可得结论；‎ ‎(2)的取值分别为，根据超几何分布计算出名概率，可得分布列，再由期望公式可计算出期望．‎ 详解：（1）由计算可得的观测值为．‎ 因为，而,‎ 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“性别与读营养说明之间有关系”.‎ ‎（2）的取值为0，1，2.‎ ‎，，.‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 数学期望为.‎ 点睛：本题考查独立性检验与随机变量的分布列与数学期望，解题时只要根据所给公式与数据进行计算，因此本题也考查了学生的运算求解能力．‎