湖北省黄冈市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

湖北省黄冈市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

黄冈市2018-2019学年高二下学期期末考试数学文试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1. 以下是解决数学问题的思维过程的流程图：‎ 在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( )‎ A. ①—综合法，②—分析法 B. ①—分析法，②—综合法 C. ①—综合法，②—反证法 D. ①—分析法，②—反证法 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：对于①，是由已知可知（即结论），执因导果，属于综合法；对于②，是由未知需知，执果索因，为分析法，故选A.‎ 考点：1.流程图；2.综合法与分析法定义.‎ ‎2.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（ ）‎ A. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份 B. 年接待游客量逐年增加 C. 月接待游客量逐月增加 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据折线图依次判断各个选项，可通过反例得到错误.‎ ‎【详解】由折线图可知，每年游客量最多的月份为：月份，可知正确；‎ 年接待游客量呈现逐年递增的趋势，可知正确；‎ 以年月和月为例，可得到月接待游客量并非逐月增加，可知错误；‎ 每年月至月月接待游客量相对于月至月的变化较小，数量更加稳定，可知正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据统计中的折线图判断数据特征的问题，属于基础题.‎ ‎3.用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程有有理实数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是(　　)‎ A. 假设至多有一个是偶数 B. 假设至多有两个偶数 C. 假设都不是偶数 D. 假设不都是偶数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用反证法法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求．‎ ‎【详解】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，‎ 而命题：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，则a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“假设a，b，c都不是偶数”，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了用反证法的应用 ，关键是求命题的否定，属于基础题．‎ ‎4.函数的导函数的图象如图所示，则（ ）‎ A. 为的极大值点 B. 为的极大值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察各极值点附近左右的导数符号，可得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，当时，，当时，，为的极大值点，A选项正确；‎ 对于B选项，当时，，当时，，为的极小值点，B选项错误；‎ 对于C选项，当时，，当时，，为的极小值点，C选项错误；‎ 对于D选项，由于函数为可导函数，且，不是的极值点，D选项错误.故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数的图象判断极值点，解题时要充分利用极大值点和极小值点的概念加以理解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎5.函数的图象可能为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合函数的奇偶性、在区间上的零点以及函数在区间上的函数值符号进行排除，可得出正确选项.‎ ‎【详解】，该函数为奇函数，排除A、B选项；‎ 当时，令，得或，得或，‎ 当时，，，则，排除D选项，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象识别，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、零点以及特殊点函数值的符号来进行排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎6.设，“”是“复数是纯虚数”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】当a=0时，如果b=0，此时 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B ‎【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义 ‎7.若函数的值域是，则函数的值域是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的值域可知，利用不等式知识可知，从而得到的值域.‎ ‎【详解】值域为 ‎ 的值域为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数值域的求解问题，关键是能够通过的值域得到所处的范围，属于基础题.‎ ‎8.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为，若方程，有两个相等的根，则实数（ ）‎ A. － B. C. 或－ D. 或－‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，可知、为方程的两根，且，利用韦达定理可将、用表示，再由方程有两个相等的根，由求出实数的值.‎ ‎【详解】由于不等式的解集为，‎ 即关于的二次不等式的解集为，则.‎ 由题意可知，、为关于的二次方程的两根，‎ 由韦达定理得，，，，‎ ‎，‎ 由题意知，关于的二次方程有两相等的根，‎ 即关于的二次方程有两相等的根，‎ 则，，解得，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎9.下列命题中正确的个数①“，”的否定是“，”；②用相关指数可以刻画回归的拟合效果，值越小说明模型的拟合效果越好；③命题“若，则”的逆命题为真命题；④若的解集为，则.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据含量词命题的否定可知①错误；根据相关指数的特点可知越接近，模型拟合度越低，可知②错误；根据四种命题的关系首先得到逆命题，利用不等式性质可知③正确；分别在和的情况下，根据解集为确定不等关系，从而解得范围，可知④正确.‎ ‎【详解】①根据全称量词的否定可知“，”的否定是“，”，则①错误；‎ ‎②相关指数越接近，模型拟合度越高，即拟合效果越好；越接近 ‎，模型拟合度越低，即拟合效果越差，则②错误；‎ ‎③若“，则”的逆命题为：若“若，则”，根据不等式性质可知其为真命题，则③正确；‎ ‎④当时，，此时解集不为，不合题意；‎ 当时，若解集为，只需：‎ 解得：，则④正确.‎ 正确的命题为：③④‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查命题真假性的判断，涉及到含量词命题的否定、四种命题的关系及真假性的判断、相关指数的应用、根据一元二次不等式解集为求解参数范围的知识.‎ ‎10.设函数，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的定义可知为定义域，为值域；根据对数型复合函数定义域的要求可求得集合，结合对数型复合函数单调性可求得值域，即集合；根据图可知阴影部分表示，利用集合交并补运算可求得结果.‎ ‎【详解】的定义域为：，即： ‎ 在上单调递增，在上单调递减 在上单调递增，在上单调递减 ‎；当时，；当时，‎ 的值域为： ‎ 图中阴影部分表示：‎ 又， ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查集合基本运算中的交并补混合运算，关键是能够明确两个集合表示的含义分别为函数的定义域和值域，利用对数型复合函数的定义域要求和单调性可求得两个集合；涉及到图的读取等知识.‎ ‎11.已知且，则不等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，可得出，计算出的值，并设，由题意得出，得出数列为等差数列，可求出数列的通项公式，进而得出的表示，于是可求出数列的前项和.‎ ‎【详解】，，‎ 构造函数，则，且，‎ 令，则，‎ 令，，得，‎ ‎，即，‎ 所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，，‎ ‎，则.‎ ‎，‎ ‎，合乎题意；‎ ‎，合乎题意；‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查数列求和，结合抽象函数解析式来考查，解题的关键就是构造新函数得出数列的通项公式，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎ ‎12.设是定义在上的可导偶函数，且，若当时，，则函数的零点个数为（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，利用偶函数的性质得出函数在上的单调性，由，得出，转化为函数与直线的交点个数，结合题中条件可得出结果.‎ ‎【详解】当时，，则，‎ 构造函数，则，‎ 则当时，，所以函数在上为减函数，‎ 由于函数为偶函数，则函数也为偶函数，‎ 所以函数在上为增函数，‎ ‎，，又，‎ 所以，函数与直线的交点个数为，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点个数，解题的关键就是要根据不等式的结构构造新函数，并利用导数研究函数的单调性，但也不要忽略函数奇偶性的应用，考查分析问题与解决问题的能力，属于难题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产品（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出样本数据的中心点的坐标，将该点坐标代入回归直线可求出实数的值.‎ ‎【详解】由题意可得，，‎ 将点的坐标代入回归直线方程得，解得，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用回归直线方程计算原始数据，解题的关键就是利用回归直线过样本的中心点这一结论，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎14.，，则__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 分析： 由，可得，直接利用对数运算法则求解即可得，计算过程注意避免计算错误.‎ 详解：由，可得，‎ 则，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查指数与对数的互化以及对数的运算法则，意在考查对基本概念与基本运算掌握的熟练程度.‎ ‎15.已知定义在上的奇函数满足，当，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定义推导出函数的周期为，于是得出可得出结果.‎ ‎【详解】由于函数在上为奇函数，则，‎ ‎，即，‎ 所以，函数的周期为，‎ 则，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数求值，当自变量绝对值较大时，一般要结合函数的周期性求解，解题的关键就是利用题中定义推导出函数的周期性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎16.已知数集，且有下列说法：①；②；③，则满足的数值有________组.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列举出符合条件的数组即可.‎ ‎【详解】，，，则的取值可以是或.‎ ‎①时，，，即数组为；‎ ‎②时，则，或，，即数组为和.‎ 因此，符合题中条件的数组有组，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合相等的应用，根据条件进行分类讨论是解本题的关键，考查分类讨论数学思想，属于中等题.‎ 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分。解答应写出文字说明0证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知复数，是纯虚数，是虚数单位.‎ ‎（1）求复数的共轭复数；‎ ‎（2）若复数所表示的点在第二象限，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入，利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，由实部为零求出的值，可得出复数，即可得出复数的共轭复数；‎ ‎（2）由（1）得出，利用复数的乘方法则得出，由该复数所表示的点在第二象限得出，从而求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，‎ 由于复数是纯虚数，则，，因此，；‎ ‎（2），，，‎ 又复数所表示的点在第二象限，则，解得.‎ 因此，当时，复数所表示的点在第二象限.‎ ‎【点睛】本题考查复数的基本概念以及复数的几何意义，解题的关键在于利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，确定复数的实部与虚部，利用实部与虚部来求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎18.设函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点代入切线方程得出，求出函数的导数，由列出有关、的方程组，解出、，可得出函数的解析式；‎ ‎（2）设点为函数图象上任意一点的坐标，利用导数求出函数 在该点处的切线方程，求出切线与轴和直线的交点坐标，再利用三角形的面积来证明结论.‎ ‎【详解】（1）将点的坐标代入直线的方程得，‎ ‎，则，直线的斜率为，‎ 于是，解得，故；‎ ‎（2）设点为曲线上任意一点，由（1）知，‎ ‎，又，‎ 所以，曲线在点的切线方程为，‎ 即，‎ 令，得，从而得出切线与轴的交点坐标为，‎ 联立，解得，‎ 从而切线与直线的交点坐标为.‎ 所以，曲线在点处的切线与直线、所围成的三角形的面积为 故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值且此定值为.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查三角形的面积的计算，解题时要将切线方程求出来，并求出交点坐标，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎19.已知是定义在上的奇函数，当时，.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，则，可先求出的表达式，利用奇函数的性质得出，从而得出函数的解析式；‎ ‎（2）由，由，得出，对的取值分和两种情况讨论，借助相应的对数函数的单调性求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，由题意知．‎ 又是定义在上的奇函数，所以．‎ 所以当时，，‎ 所以函数的解析式为；‎ ‎（2）因为，所以，即.‎ ‎①当时，原不等式等价于，解得；‎ ‎②当时，原不等式等价于，解得.‎ 综上所述：实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了对数不等式的求解，在底数范围不确定的前提下，要对底数的取值分和 两种情况，利用对数函数的单调性求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎20.中国是世界互联网服务应用最好的国家，一部智能手机就可以跑遍国内所有地方，中国市场的移动支付普及率高得惊人.一家大型超市委托某高中数学兴趣小组调查该超市的顾客使用移动支付的情况，调查人员从年龄在内的顾客中，随机抽取了人，调查他们是否使用移动支付，结果如下表：‎ 年龄 使用 不使用 ‎（1）为更进一步推动移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送个环保购物袋,若某日该超市预计有人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？‎ ‎（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为使用移动支付与年龄有关？‎ 年龄 年龄 小计 使用移动支付 不使用移动支付 合计 附：下面的临界值表供参考：‎ 参考数据： ‎ ‎，其中.‎ ‎【答案】（1）；（2）列联表见解析，没有.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用表格中的数据计算出该超市顾客使用移动支付的概率，再乘以可得出所准备的购物袋数目；‎ ‎（2）根据题意列出列联表，并计算出的观测值，再将与临界值比较大小，可对题中的结论判断正误.‎ ‎【详解】（1）由频率估计概率，根据上表可预估该超市顾客使用移动支付的概率为，‎ 所以超市当天应准备的环保购物袋个数为；‎ ‎（2）由题知列联表：‎ 年龄 年龄 总计 使用移动支付 不使用移动支付 合计 假设移动支付与年龄无关，则 的观测值，‎ ‎，所以没有的把握认为使用移动支付与年龄有关.‎ ‎【点睛】本题考查频率、频数之间的关系，考查独立性检验的基本思想，解题时要注意频率、频数以及样本容量三者之间的关系，另外在处理独立性检验的问题时，要列出列联表，结合相关公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎21.设函数，.‎ ‎（1）判断函数：在的单调性；‎ ‎（2）对于区间上的任意不相等实数、，都有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，解方程得正根，然后对与区间的位置关系进行分类讨论，分析导数的符号，可得出函数在区间上的单调性；‎ ‎（2）设，由函数、的单调性将化为，然后构造函数，得出该函数在上单调递减，转化为在上恒成立，利用参变量分离法得，并求出在上的最小值可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1），，‎ 令，得（舍负）.‎ ‎①当即时，，‎ 所以在区间上的单调递增；‎ ‎②当即时，，‎ ‎.‎ 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增.‎ 综上得：①当时，在区间上的单调递增；‎ ‎②当时，在内单调递减，在内单调递增；‎ ‎（2）不妨设，当时，，，‎ 可化，‎ ‎，‎ 设，则.‎ 上单调递减，恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ ‎，函数在区间上单调递增，‎ 则，，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及求解函数不等式恒成立，本题涉及双变量函数不等式，要将含同一自变量的代数式放在不等式的一边，结合式子的结构构造合适的函数，转化为新函数的单调性来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号 选修4－4：极坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，‎ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与圆相切，求的值.‎ ‎【答案】（1）,；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程的方法可直接得到结果；（2）利用直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，从而构造方程求得.‎ ‎【详解】（1）由题意得：直线的普通方程为：‎ 圆的极坐标方程可化为：‎ 圆的直角坐标方程为：，即：‎ ‎（2）由（1）知，圆圆心坐标为；半径为 与相切 ，解得：‎ ‎【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程、根据直线与圆的位置关系求解参数值的问题；关键是能够明确直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，从而在直角坐标系中来求解问题.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别在、、去除绝对值符号可得到不等式；综合各个不等式的解集可求得结果；（2）根据的范围可转化为在上恒成立，通过分离变量可得，通过求解最大值可得到结果.‎ ‎【详解】（1）当时，，解集为 当时，，解得：‎ 当时，，解得：‎ 综上所述，的解集为：‎ ‎（2）当时，‎ 不等式可化为：，即：‎ 当时，‎ 当，即时， ‎ 即的取值范围为：‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；解绝对值不等式的关键是能够通过分类讨论的方式得到函数在每个区间上的解析式；常用的恒成立问题的处理方法是通过分离变量的方式将问题转化为所求变量与函数最值之间的关系.‎ ‎ ‎