2018-2019学年江西省临川第一中学高二下学期第二次月考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年江西省临川第一中学高二下学期第二次月考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 江西省临川第一中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知复数在复平面上对应的点分别为A（1，2）、B（﹣1，3），则的虚部为（　　）‎ A．1 B． i C．i D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 点的坐标得到复数z1，z2，代入后由复数代数形式的除法运算化简求值即可得到的虚部．‎ ‎【详解】‎ 解：由复数在复平面上对应的点分别是A（1，2），B（﹣1，3），‎ 得：＝1+2i，＝﹣1+3i 则．‎ 的虚部为 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数代数形式的表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．‎ ‎2．已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（　　）‎ x ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ y ‎6‎ m ‎3‎ ‎2‎ A．变量x，y之间呈现负相关关系 B．可以预测，当x＝20时，y＝﹣3.7‎ C．m＝4‎ D．由表格数据可知，该回归直线必过点（9，4）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意得，由，得变量，之间呈负相关，故A正确；当时，则，故B正确；由数据表格可知，，则，解得，故C错；由数据表易知，数据中心为，故D正确.故选C.‎ ‎3．“三角函数是周期函数，是三角函数，所以是周期函数．”在以上演绎推理中，下列说法正确的是(　　)‎ A．推理完全正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．推理形式不正确 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据演绎推理的方法进行判断，首先根据判断大前提的正确与否，若正确则一步一步往下推，若错误，则无须往下推．‎ ‎【详解】‎ ‎∵对于y=tanx，而言，由于其定义域为，不符合周期函数的定义，它不是三角函数，‎ ‎∴对于“三角函数是周期函数，y=tanx，是三角函数，所以y=tanx，是周期函数”这段推理中，大前提正确，小前提不正确，故结论不正确．但推理形式是三段论形式，是正确的．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查演绎推理的基本方法，前提的正确与否，直接影响后面的结论，此题比较简单．‎ ‎4．正项等差数列中的，是函数的极值点，则=(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，由题意可得，是对应方程的实根，由韦达定理可得，的值，然后由等差数列的性质可得的值，代入化简即可．‎ ‎【详解】‎ 解：求导数可得f′（x）＝x2﹣8x+4，‎ 由题意可得，是方程x2﹣8x+4＝0的实根，‎ 由韦达定理可得+＝8，‎ 由等差数列的性质可得2＝+＝8，‎ 解得4，∴＝4‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的性质和韦达定理，函数的极值点，考查推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎5．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：按程序框图，循环体执行时，‎ 第五次后退出循环，输出，故选C．‎ 考点：程序框图．‎ ‎6．如果把的三边a，b，c的长度都增加m（m＞0），则得到的新三角形的形状为(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设出原来的三边为a、b、c且c2＝a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+m、b+m、c+m，知c+m为最大边，可得所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，可得最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．‎ ‎【详解】‎ 解：设增加同样的长度为m，原三边长为a、b、c，且c2＝a2+b2，c为最大边；‎ 新的三角形的三边长为a+m、b+m、c+m，知c+m为最大边，其对应角最大．‎ 而（a+m）2+（b+m）2﹣（c+m）2＝m2+2（a+b﹣c）m＞0，‎ 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦0，则为锐角，‎ 那么它为锐角三角形．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力，属于基础题．‎ ‎7．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥4个侧面中，直角三角形共有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用题中所给的三视图，将该四棱锥放到长方体中，利用相关数据，得到长方体的长宽高，利用线面垂直得到直角三角形，最后一个利用勾股定理得到其为直角三角形，最后得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由已知中的某四棱锥的三视图，可得该几何体的直观图如下图所示：‎ 根据俯视图是等腰直角三角形，结合图中所给的数据，‎ 可知所以对应的长方体的长宽高分别是，‎ 其中三个可以通过线面垂直得到其为直角三角形，‎ 右上方那个侧面可以利用勾股定理得到其为直角三角形，‎ 所以四个侧面都是直角三角形，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关棱锥的侧面中直角三角形的个数问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，利用长方体研究棱锥，线面垂直的判定和性质，勾股定理证明垂直关系，属于中档题目.‎ ‎8．已知命题；命题.若为假命题，则实数的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得p与q均为假命题，求出p与q均为假命题的a的范围，取交集得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵为假命题，∴均为假命题，‎ 若命题为假命题，则，即，解得；‎ 若命题为假命题，则 ‎∴实数的取值范围是 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题的真假判断与应用，考查恒成立（存在性）问题的求解方法，是中档题．‎ ‎9．已知抛物线,焦点为，点,直线过点与抛物线交于两点,若,则直线的斜率等于(　　)‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设AB方程y＝k（x﹣1），与抛物线方程y2＝4x联立，利用，建立k的方程，求出k，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 设AB方程y＝k（x﹣1），设A（，），B（，）‎ y＝k（x﹣1）与y2＝4x联立可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0‎ 可得＝1，+2，＝﹣4，‎ ‎•0，即（+1，）•（+1，）＝0，‎ 即 ‎∴‎ 索易k=2‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数量积的坐标运算，正确运用韦达定理是解题的关键．‎ ‎10．已知正数均小于2，若、、2能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形的三条边长的概率是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由几何概型中的面积型，作图求面积即可得到它们能构成钝角三角形的三条边长的概率.‎ ‎【详解】‎ 解：由a、b、2能作为三角形的三条边长，且正数a、b小于2，则 记事件A为“它们能构成钝角三角形三条边长”，‎ 则，‎ 由古典概型中的面积型，‎ 由图可得：P（A）1‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 几何概型概率公式的应用：‎ ‎（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；‎ ‎（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；‎ ‎（3‎ ‎）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.‎ ‎11．已知双曲线中，左右顶点为，左焦点为，为虚轴的上端点，点在线段上（不含端点）,满足，且这样的P点有两个，则双曲线离心率的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出直线的方程为bx﹣cy+bc＝0，利用直线与圆的位置关系，结合a＜b，即可求出双曲线离心率e的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意，（﹣c，0），B（0，b），则直线BF的方程为bx﹣cy+bc＝0，‎ ‎∵在线段B上（不含端点）存在不同的两点P，‎ 使得△PA1A2构成以线段为斜边的直角三角形，‎ ‎∴a，‎ ‎∴e4﹣3e2+1＜0，‎ ‎∵e＞1，‎ ‎∴e ‎∵在线段上（不含端点）有且仅有两个不同的点P，使得∠，‎ 可得a＜b，‎ ‎∴a2＜c2﹣a2，‎ ‎∴e，‎ ‎∴e．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎12．已知函数，若不等式恰有三个不同的整数，则的取值范围(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造新函数g（x）和h（x），研究函数g（x）的单调性与最值，数形结合可得a的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：令g（x）＝（x﹣2）ex，h（x）＝a，‎ 由题意知，存在3个正整数，使g（x）在直线h（x）的下方，‎ ‎∵g′（x）＝（x﹣1）ex，‎ ‎∴当x＞1时，g′（x）＞0，当x＜1时，g′（x）＜0，‎ ‎∴g（x）min＝g（1）＝﹣e，‎ 直线h（x）恒过点（﹣1，0），且斜率为a，‎ 若不等式恰有三个不同的整数且，则三根为0，1,2‎ 由题意可知：，‎ 故实数a的取值范围是[，2），‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的综合应用，及数形结合思想的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知函数，则___________‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，将x=代入即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ f’(x)=2cos2x+，‎ 则 故答案为：3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数公式的应用，考查计算能力.‎ ‎14．已知向量，且，若实数均为正数，则最小值是______‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的平行的得到3x+y＝1，再根据基本不等式即可求出答案．‎ ‎【详解】‎ 解：∵向量，且，‎ ‎∴1×（1﹣y）＝3x，‎ ‎∴3x+y＝1．‎ ‎∴（）（3x+y）＝1010+216，当且仅当x 时取等号，‎ 故的最小值是16，‎ 故答案为：16．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的坐标运算与基本不等式的应用问题，是基础题目．‎ ‎15．不难证明：一个边长为，面积为的正三角形的内切圆半径，由此类比到空间，若一个正四面体的一个面的面积为，体积为，则其内切球的半径为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意得，故．‎ 将此方法类比到正四面体，设正四面体内切球的半径为，‎ 则，‎ ‎∴，即内切球的半径为．‎ 答案：‎ 点睛：类比推理应用的类型及相应方法 ‎(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；‎ ‎(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；‎ ‎(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．‎ ‎16．若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______‎ ‎【答案】e ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设公切线与f（x）、g（x）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：设公切线与f（x）＝x2+1的图象切于点（，），‎ 与曲线C：g（x）＝切于点（，），‎ ‎∴2，‎ 化简可得，2，‎ ‎∴‎ ‎∵2，‎ a，‎ 设h（x）（x＞0），则h′（x），‎ ‎∴h（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减，‎ ‎∴h（x）max＝h（），‎ ‎∴实数a的的最大值为e，‎ 故答案为：e．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，已知曲线的极坐标方程为 ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线（为参数）与曲线交于， 两点，求的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接把极坐标方程转化为直角坐标方程；‎ ‎（2）利用点到直线的距离公式，进一步利用垂径定理求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）曲线的极坐标方程为，即.‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为. ‎ ‎（2）设直线（为参数）的直角坐标方程为.‎ ‎，配方为，可得圆心，半径 ‎∴圆心到直线的距离 ∴‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用，垂径定理的应用．‎ ‎18．南昌市在2018年召开了全球VR产业大会，为了增强对青少年VR知识的普及，某中学举行了一次普及VR知识讲座，并从参加讲座的男生中随机抽取了50人，女生中随机抽取了70人参加VR知识测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得到如左的列联表：‎ 优秀 非优秀 总计 男生 a ‎35‎ ‎50‎ 女生 ‎30‎ d ‎70‎ 总计 ‎45‎ ‎75‎ ‎120‎ ‎（1）确定a,d的值；‎ ‎（2）试判断能否有90%的把握认为VR知识测试成绩优秀与否与性别有关；‎ ‎（3）现从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传普及小组．从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求“到校外宣传的2名同学中至少有1名是男生”的概率.‎ 附： ‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）；（2）没有；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合题表信息，即可计算a,d，即可。（2）结合，代入数据，计算，判定，即可。（3）计算概率，可以从反面进行进展，计算总数，计算2人全部都是女生的总数，计算概率，即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1），解得 ‎（2）结合卡方计算方法可知n=120，得到而要使得概率为则90%,，不满足条件，故没有。‎ ‎（3）结合a=15，结合分层抽样原理，抽取6人，则男生中抽取2人，女生抽取4人，则从6人中抽取2人，一共有，如果2人全部都是女生，则有，故概率为 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了古典概率计算方法，考查了计算方法，考查了列联表，难度中等。‎ ‎19．如图，在三棱锥中，，，，，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）已知为棱上一点，若，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取AC中点O，连结PO，BO，则PO＝BO＝1，且BO⊥AC，从而PO⊥BO，进而BO⊥平面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC；‎ ‎（2）由D为棱PC上一点，四面体ABCD的体积为，过D作DE⊥AC，交AC于E，能求出点D到平面ABC的距离为DE，从而CE，进而AE＝2．由此能求出线段AD的长．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PC，AB⊥BC，AB＝BC，PB＝，AC＝2，∠PAC＝30°．‎ 取AC中点O，连结PO，BO，则PO＝BO＝1，且BO⊥AC，∴PO2+BO2＝PB2，∴PO⊥BO，‎ ‎∵PO∩AC＝O，∴BO⊥平面PAC，∵BO⊂平面ABC，∴平面SAC⊥平面ABC．‎ ‎（2）D为棱PC上一点，四面体ABCD的体积为，‎ ‎＝1，‎ 过D作DE⊥AC，交AC于E，则点D到平面ABC的距离为DE＝h，‎ 则VABCD＝＝＝，‎ 解得DE＝h＝，∴CE＝＝，∴AE＝2﹣＝．‎ ‎∴线段AD的长为：AD＝＝＝．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运用求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎20．已知数列 满足 ，且 .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若 ，求数列 的前 项和 .‎ ‎【答案】（1）（2）当 为偶数时， ，当 为奇数时， .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)利用题意累加可得数列的通项公式为;‎ ‎(2)结合(1)的结论对数列的通项公式进行裂项求和，分类讨论可得当 为偶数时， ，当 为奇数时， .‎ 试题解析：‎ 解：(1)由于 ‎ ‎ .‎ ‎(2)由 ，可得 ‎ ，‎ 当 为偶数时，‎ ‎，‎ 当 为奇数时，‎ ‎.‎ 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．‎ ‎21．已知椭圆的焦距为，且经过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）A是椭圆与y轴正半轴的交点，椭圆上是否存在两点M，N，使得△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个，并求出直线MN；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，有3个．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先用待定系数法求出椭圆方程，因为，直角边AM，AN不可能垂直或平行于轴，设的斜率为，则的斜率为，写出的直线方程，分别与椭圆方程联立，解出点的坐标，同理把，写出点的坐标，求出，由，列出方程求出值.‎ 试题解析：(Ⅰ)由题解得，．所以椭圆Ω的方程为．‎ ‎(Ⅱ)由题意可知，直角边AM，AN不可能垂直或平行于 轴，故可设AM所在直线的方程为，不妨设，则直线AM所在的方程为．‎ 联立方程消去整理得，解得，将代入可得，故点 .‎ 所以．‎ 同理可得，由，得，‎ 所以，则，解得或．‎ 当AM斜率时，AN斜率；当AM斜率时，AN斜率；当AM斜率时，AN斜率．‎ 综上所述，符合条件的三角形有个.‎ 考点：1.求椭圆方程；2.设而不求思想；3.灵活运用方程组和一元二次方程的根及根与系数关系；4.存在性命题的解法；‎ ‎22．已知函数，‎ ‎（1）若，求的单调区间和极值；‎ ‎（2）设，且有两个极值点， ，若，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）在单调递增，在单调递减; 极小值；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出f（x）的导数，解不等式，即可得到函数的单调区间，进而得到函数的极值；‎ ‎（2）由题意可得，，求出的表达式，，求出h（t）的最小值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将代入中，得到，求导，‎ 得到，结合，‎ 当得到： 在单调递增，当，得到在单调递减，‎ 且在时有极小值， ‎ ‎（2）将解析式代入，得，求导 得到，‎ 令,得到,‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 因为，所以设,令，‎ 则所以在单调递减,又因为 所以,所以 或 又因为，所以 所以,‎ 所以的最小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数的极值的意义，考查转化思想与减元意识，是一道综合题．‎