数学卷·2018届江苏省南京市高三上学期期中考试（2017

数学卷·2018届江苏省南京市高三上学期期中考试（2017

南京市2017～2018学年度第一学期期中考试 高三数学 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. ‎ ‎ 1. 已知集合A＝{2，3，5}，B＝{x|2≤x≤4}，则A∩B＝________. ‎ ‎ 2. 若复数z满足z(1－i)＝2i，其中i是虚数单位，则复数z＝________. ‎ ‎ 3. 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为奇数的概率是________________________________________________________________________. ‎ ‎ 4. 某中学共有学生2 000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19，则该校高三学生共有________人. ‎ ‎ 5. 下面是一个算法的伪代码．如果输出的y值是30，那么输入的x值是________. ‎ ‎ 6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6的值为________．‎ ‎ 7. 若曲线y＝在点(3，2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则实数a的值为________. ‎ ‎ 8. 已知函数f(x)＝sin，x∈R，若f(x)在区间上的最大值和最小值分别为a，b，则a＋b的值为________．‎ ‎ 9. 已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x，那么f(6)的值为________. ‎ ‎10. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b－c＝a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为________. ‎ ‎11. 已知a>b>0，a＋b＝1，则＋的最小值等于________. ‎ ‎12. 在△ABC中，已知AB＝4，AC＝，BC＝，M为边AB的中点，P是△ABC内(包括边界)一点，则·的最小值是________. ‎ ‎13. 设函数y＝的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形(其中O为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是______________．(e为自然对数的底数)‎ ‎14. 在平面直角坐标系中，已知⊙O1与⊙O2交于P(3，2)，Q两点，两圆半径之积为.若两圆均与直线l：y＝kx和x轴相切，则直线l的方程为________. ‎ 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎15. (本小题满分14分)‎ 设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(－1，1)，c＝(1，1)，其中x∈[0，π]．‎ ‎(1) 若(a＋b)∥c，求实数x的值；‎ ‎(2) 若a·b＝，求函数sin的值. ‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点. ‎ ‎(1) 若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；‎ ‎(2) 若AB＝PC，求证：CG⊥平面PBD. ‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ 如图，把一块边长为30cm的正六边形铁皮剪去阴影部分，制成一个正六棱柱形的无盖容器．设容器的底面边长为xcm，棱柱的高为hcm，容积为Vcm3.‎ ‎(1) 求出V关于x的函数关系式V(x)；‎ ‎(2) 当容器的底面边长为多大时，无盖容器的容积最大？最大是多少？‎ ‎18. (本小题满分16分)‎ 已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，椭圆C的离心率为e. ‎ ‎(1) 若点A的坐标为，求椭圆C的方程；‎ ‎(2) 记AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上. ‎ ‎①证明·为定值；‎ ‎②设直线AB的斜率为k，若k≥，求e的取值范围. ‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ 设函数f(x)＝x3－ax，a∈R，g(x)＝xex，h(x)＝(e为自然对数的底数)．‎ ‎(1) 当a>0时，求函数f(x)的极值；‎ ‎(2) 若函数h(x)的最小值为－，求实数a的取值范围；‎ ‎(3) 当h(x)＝g(x)时，求实数a的值. ‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 已知函数f(x)＝ax－3，g(x)＝bx－1＋cx－2(a，b，c是实数)且g－g(1)＝f(0)．‎ ‎(1) 试求b，c所满足的关系式；‎ ‎(2) 若b＝0，方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)有唯一解，求实数a的取值范围；‎ ‎(3) 若b＝1，集合A＝{x|f(x)>g(x)且g(x)<0}，试求集合A. ‎ 密封线 ‎(这是边文，请据需要手工删加)‎ 密封线 ‎____________　号学　　____________　名姓　　____________　级班　　____________　校学 ‎(这是边文，请据需要手工删加)‎ 南京市2017～2018学年度第一学期期中考试·数学附加题　第页(共2页)‎ ‎(这是边文，请据需要手工删加)‎ 南京市2017～2018学年度第一学期期中考试 数学附加题21. 【限选题】共2小题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ B. 选修42：矩阵与变换 若点A(2，1)在矩阵M＝对应变换的作用下得到点B(4，5)，求矩阵M的逆矩阵M－1. ‎ C. 选修44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是(t是参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，选取相同的单位长度，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值. ‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎22. (本小题满分10分)‎ 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AA1＝AC＝4.‎ ‎(1) 求二面角A1BC1B1的正弦值；‎ ‎(2) 在线段BC1上是否存在点D，使得AD⊥A1B？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎23. (本小题满分10分)‎ 如图，已知正六棱锥PABCDEF的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积. ‎ ‎(1) 求概率P(X＝)的值；‎ ‎(2) 求X的分布. ‎ 密封线 ‎(这是边文，请据需要手工删加)‎ 南京市2017～2018学年度第一学期期中考试·数学参考答案　第页(共4页)‎ ‎(这是边文，请据需要手工删加)‎ 南京市2017～2018学年度第一学期期中考试 数学参考答案 ‎1. {2，3}　2. －1－i　3. 　4. 600　5. 2或5　6. 12　7. －2　8. －1　9. －4　10. － ‎11. 9　12. －4　13. 　14. y＝2x ‎15. (1) a＋b＝(sinx－1，cosx＋1)．‎ 因为(a＋b)∥c，所以sinx－1＝cos x＋1，‎ 则sinx－cosx＝2，‎ 可得2＝2，‎ 故sin＝1.‎ 因为x∈[0，π]，所以x－∈，‎ 故x－＝，解得x＝.‎ ‎(2) 因为a·b＝，所以－sinx＋cosx＝，即sinx－cosx＝－，‎ 可得2＝－，‎ 故sin＝－.‎ 因为－＝，‎ 所以sin＝sin＝cos.‎ 由x∈[0，π]，可得x－∈，‎ 又sin＝－<0，则x－∈，故可得cos>0.‎ 因为sin2＋cos2＝1，‎ 所以cos＝＝.‎ ‎16. (1) 如图，连结OE.‎ 由四边形ABCD是正方形知O为BD的中点．‎ 因为PD∥平面ACE，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝OE，‎ 所以PD∥OE.‎ 在△PBD中，PD∥DE，O为BD为中点，‎ 所以E为PB的中点．‎ ‎(2) 在四棱锥PABCD中，AB＝PC，‎ 因为四边形ABCD是正方形，‎ 所以AC＝AB＝2OC，则AB＝OC，‎ 所以PC＝OC.‎ 在△CPO中，PC＝OC，G为PO的中点，‎ 所以CG⊥PO.‎ 因为PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，‎ 所以PC⊥BD.‎ 因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，‎ 因为AC，PC⊂平面PAC，AC∩PC＝C，‎ 所以BD⊥平面PAC，‎ 因为CG⊂平面PAC，所以BD⊥CG.‎ 因为PO，BD⊂平面PBD，PO∩BD＝O，‎ 所以CG⊥平面PBD.‎ ‎17. (1) 由题意可知A1B1＝CD＝x，CA1＝DB1＝h，‎ 则AC＝(AB－x)＝(30－x)，‎ h＝AC·tan60°＝(30－x)，‎ 故V(x)＝Sh＝6××(30－x)＝x2(30－x)，00；当x∈(20，30)时，V′(x)>0，‎ 所以V(x)在(0，20)单调递增，在(20，30)单调递减，‎ 所以当且仅当x＝20时，V(x)取得最大值9 000.‎ 答：当容器的底面边长为20cm时，容器的容积最大，最大容积为9 000 cm3.‎ ‎18. (1) 由题意知＋＝1，即＝，‎ 所以3a4－16a2＋16＝0，解得a2＝4或a2＝.‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1或＋y2＝1.‎ ‎(2) 设F2(c，0)，A(x1，y1)，则F1(－c，0)，B(－x1，－y1)，‎ 故M，N.‎ ‎①由题意，得·＝0.化简，得x＋y＝c2，‎ ·＝(－c－x1，－y1)·(c－x1，－y1)＝x＋y－c2＝0(定值)．‎ ‎②由题意得到k2(a4－2a2)＝1.‎ 因为k≥，所以a4－2a2＝∈(0，3]，‎ 即00时，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：‎ x ‎(－∞，‎ ‎－)‎ ‎－ ‎(－，‎ )‎ ‎(，‎ ‎＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值  极小值  所以当x＝－时，f(x)取极大值f(－)＝＝，‎ 当x＝时，f(x)取极小值f＝－＝－.‎ ‎(2) g′(x)＝(x＋1)ex.‎ 当x>－1时，g′(x)>0；当x<－1时，g′(x)<0，‎ 所以函数g(x)在区间(－∞，－1)上是单调减函数，在区间(－1，＋∞)上是单调增函数，‎ 所以g(x)min＝g(－1)＝－.‎ 因为函数h(x)的最小值为－，‎ 所以x＝－1是不等式f(x)≤g(x)的解，‎ 所以－1＋a≤－，即a≤1－.‎ 故实数a的取值范围是.‎ ‎(3) 因为h(x)＝g(x)，所以g(x)≥f(x)恒成立，即xex≥x3－ax对一切x∈R恒成立．‎ 令p(x)＝x2－ex，即p′＝2x－ex，p″(x)＝2－ex，‎ 当x>ln 2，p″(x)<0；当x0，‎ 所以p′(x)max＝2ln 2－2<0，‎ 所以p(x)＝x2－ex在R上单调递减．‎ xex≥x3－ax对一切x∈R恒成立等价于 ‎①当x>0时，问题转化为a≥p(x)在R上恒成立；‎ ‎②当x＝0时，不等式恒成立，则a∈R；‎ ‎③当x<0时，问题转化为a≤p(x)在R上恒成立．‎ 因为p(x)＝x2－ex是R上的单调减函数，‎ 所以当x>0时，p(x)p(0)＝－1，所以a≤－1.‎ 综上所述，a＝－1.‎ ‎20. (1) 由g－g(1)＝f(0)，得(－2b＋4c)－(b＋c)＝－3，‎ 故b、c所满足的关系式为b－c－1＝0.‎ ‎(2) 方法一：由b＝0，b－c－1＝0，可得c＝－1.‎ 方程f(x)＝g(x)，即ax－3＝－x－2，可转化为ax3－3x2＋1＝0在(0，＋∞)上有唯一解．‎ 令h(x)＝ax3－3x2＋1，则h′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．‎ 当a≤0时，h′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减．‎ 又h(0)＝1>0，h(1)＝a－2<0，h(x)在(0，＋∞)上连续，由零点存性定理，知h(x)在(0，1)内存在唯一零点，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；‎ 当a>0时，令h′(x)＝0，得x＝0或x＝，‎ 所以h(x)在上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，‎ 所以h(x)min＝h＝1－.‎ 若h＝0，即a＝2，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)≥0，当且仅当x＝时，h(x)＝0，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；‎ 若h>0，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上不存在零点；‎ 若h<0，因为h(0)＝1>0，h＝1>0，‎ 所以h(x)在和内各有一个零点，即函数h(x)的零点不唯一．‎ 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0)∪{2}．‎ 方法二：由方法一可知a＝3x－1－x－3.‎ 令x－1＝t，则由题意可得a＝3t－t3在(0，＋∞)上有唯一解．‎ 令h(t)＝3t－t3(t>0)，则由h′(t)＝3－3t2＝0，可得t＝1，‎ 当00，可知h(t)在(0，1)上是单调增函数；‎ 当t>1时，由h′(t)<0，可知h(t)是在(1，＋∞)上是单调减函数，‎ 故当t＝1时，h(t)取得最大值2；‎ 当0h(0)＝0，‎ 所以f(x)＝g(x)在(0，1)无解；‎ 当t>1时，因为h()＝0，所以当t>时，h(t)<0，‎ 由零点存在性定理可知h(t)在(1，＋∞)只有一个零点．‎ 故当a＝2或a≤0时，方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)有唯一解．‎ 从而所求a的取值范围是{a|a＝2或a≤0}．‎ ‎(3) 由b＝1，b－c－1＝0，可得c＝0.‎ 由A＝{x|f(x)>g(x)且g(x)<0}得 ax－3>且x<0，即ax2－3x－1<0且x<0.‎ 当a>0时，A＝；‎ 当a＝0时，A＝；‎ 当a<－时，A＝(－∞，0)；‎ 当－≤a<0时，A＝(－∞，)∪(，0)．‎ 数学附加题 ‎21. B. 由题意知M＝，则＝，‎ 所以解得 所以M＝.‎ 由|M|＝＝－7得M－1＝. ‎ C. 因为ρ＝cos θ－sin θ，‎ 即ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，‎ 所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－x＋y＝0，即＋＝1，‎ 所以圆心的直角坐标为.‎ 因为直线的普通方程为x－y＋4＝0，‎ 所以圆心C到直线l距离是＝5，‎ 故直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是＝2.‎ ‎22. (1) 如图，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)．‎ 设平面A1BC1的法向量为n1＝(x，y，z)，‎ 则即 取z＝3，则x＝0，y＝4，‎ 所以平面A1BC1的一个法向量为n1＝(0，4，3)．‎ 同理可得平面BB1C1的一个法向量为n2＝(3，4，0)，‎ 所以cos〈n1，n2〉＝＝.‎ 因为〈n1，n2〉∈[0，π]，‎ 所以二面角A1BC1B1的正弦值为.‎ ‎(2) 假设存在．‎ 设D(x，y，z)是线段BC1上一点，且＝λ，0≤λ≤1，则(x，y－3，z)＝λ(4，－3，4)，‎ 所以x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ，‎ 所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．‎ 因为AD⊥A1B，所以·＝0，‎ 即9－25λ＝0，解得λ＝. ‎ 因为∈[0，1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，此时＝λ＝.‎ ‎23. (1) 从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，‎ 共有C＝35(种)取法．‎ 其中X＝的三角形如△ABF，这类三角形共有6个，‎ 所以P(X＝)＝. ‎ ‎(2)由题意，X的可能取值为，2，，2，3.‎ 其中X＝的三角形如△ABF，这类三角形共有6个；‎ 其中X＝2的三角形有两类，如△PAD(3个)，△PAB(6个)，共有9个；‎ 其中X＝的三角形如△PBD，这类三角形共有6个；‎ 其中X＝2的三角形如△CDF，这类三角形共有12个；‎ 其中X＝3的三角形如△BDF，这类三角形共有2个，‎ 因此P(X＝)＝，P(X＝2)＝，P(X＝)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.‎ 所以随机变量X的概率分布列为 X ‎2‎ ‎2 ‎3 P