2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第五章 数列 热点跟踪训练3

2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第五章 数列 热点跟踪训练3

www.ks5u.com 热点跟踪训练3‎ ‎1．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.‎ ‎(1)求b1，b2，b3；‎ ‎(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎(3)求{an}的通项公式．‎ 解：(1)由条件可得an＋1＝an.‎ 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.‎ 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.‎ 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.‎ ‎(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，‎ 又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ ‎(3)由(2)可得＝2n－1，‎ 所以an＝n·2n－1.‎ ‎2．(2020·湛江一模)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a2＝0，b2＝1，且a3＝b3，a4＝b4.‎ ‎(1)求an和bn；‎ ‎(2)求数列{nbn}的前n项和Sn.‎ 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，因为a2＝0，b2＝1，且a3＝b3，a4＝b4，‎ 所以a1＋d＝0，b1q＝1，a1＋2d＝b1q2，a1＋3d＝b1q3，‎ 四式联立解得a1＝－2，d＝2，b1＝，q＝2，‎ 所以an＝－2＋2(n－1)＝2n－4，bn＝2n－2.‎ ‎(2)数列{nbn}的前n项和Sn＝＋2＋3×2＋4×22＋…＋n·2n－2，‎ 所以2Sn＝1＋2×2＋3×22＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，‎ 所以－Sn＝＋1＋2＋22＋…＋2n－2－n·2n－1＝‎ －n·2n－1，‎ 即Sn＝(n－1)·2n－1＋.‎ ‎3．(2020·安庆二模)已知等比数列{an}满足：S1＝1，S2＝4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S1＝1，S2＝4，‎ 所以a1＝1，a1(1＋q)＝4，解得q＝3.所以an＝3n－1.‎ 所以Sn＝＝(3n－1)．‎ ‎(2)bn＝＝＝－，‎ 所以数列{bn}的前n项和Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.‎ ‎4．(2020·河南百校联盟模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＝5，S7＝49.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：Tn<3.‎ ‎(1)解：设数列{an}的公差为d，‎ 则由已知得 解之得，a1＝1，d＝2，‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.‎ ‎(2)证明：bn＝＝，‎ 所以Tn＝＋＋＋…＋，‎ Tn＝＋＋＋…＋＋，‎ 两式相减得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝－－，‎ 故Tn＝3－－＝3－<3.‎ ‎5．(2020·孝感一模)已知在等比数列{an}中，a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＝＋2log2an－1，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由a1，a2，a3－2成等差数列，得2a2＝a1＋a3－2，‎ 即4q＝2＋2q2－2，解得q＝2(q＝0舍去)，‎ 则an＝a1qn－1＝2n，n∈N*.‎ ‎(2)bn＝＋2log2an－1＝＋2log22n－1＝＋2n－1，‎ 则数列{bn}的前n项和Sn＝＋(1＋3＋…＋2n－1)＝＋n(1＋2n－1)＝1－＋n2.‎ ‎6．(2020·湖南百所重点名校大联考)已知数列{an}满足：a1＋a2＋a3＋…＋an＝n－an(n＝1，2，3，…)．‎ ‎(1)求证：数列{an－1}是等比数列；‎ ‎(2)令bn＝(2－n)(an－1)(n＝1，2，3，…)，如果对任意n∈N*，都有bn＋t≤t2，求实数t的取值范围．‎ ‎(1)证明：由a1＋a2＋a3＋…＋an＝n－an，①‎ 得a1＋a2＋a3＋…＋an＋1＝n＋1－an＋1，②‎ ‎②－①可得2an＋1－an＝1.‎ 即an＋1－1＝(an－1)，‎ 又a1－1＝－，‎ 所以{an－1}是以－为首项，为公比的等比数列．‎ ‎(2)解：由(1)可得an＝1－，‎ 故bn＝.‎ 设数列{bn}的第r项最大，‎ 则有 解得 所以3≤r≤4，‎ 故数列{bn}的最大项是b3＝b4＝.‎ 因为对任意n∈N*，都有bn＋t≤t2，‎ 即bn≤t2－t成立，‎ 所以≤t2－t.‎ 解得t≥或t≤－.‎ 所以实数t的取值范围是∪.‎