- 2021-06-15 发布 |
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文档介绍
北京市顺义牛栏山第一中学西校区2020届高三下学期4月月考数学试题
牛栏山一中西校区4月月考试卷 高三数学 第一部分(选择题,共40分) 一、选择题(每个小题只有一个选项符合题意,每题4分,共计40分) 1.在复平面内,复数,下列说法正确的是( ) A. 的实部为1 B. C. D. 在第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的除法运算先求得,再根据复数有关概念一一判断即可. 【详解】解:, 位于第四象限,的实部为,,故选A、C、D错误; ,B正确, 故选:B. 【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算,考查共轭复数、复数的模、实部、复数的几何意义等有关内容,属于基础题. 2.一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图可能为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由几何体的正视图和俯视图可知,三棱锥的顶点在底面内的射影在底面棱上,则原几何体如图所示,从而侧视图为D.故选D. 3.已知定义在上的偶函数的最小值为2,则( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意,函数为偶函数,求得,再利用指数函数的性质,求得,得到函数的解析式,进而求得的值,得到答案. 【详解】由题意,函数为偶函数, 即,解得,所以函数, 又由指数函数的性质,可得, 所以函数的最小值为,解得,即, 所以. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用,以及函数值的求解,其中解答中熟记函数的奇偶性,求得函数的解析式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力. 4.已知实数,,则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 通过举反例得到“”推不出“”;再由“”“”能求出结果. 【详解】解:实数,,当,时,, “”推不出“”; 反之,实数,,由基本不等式可得, 由不等式的基本性质得,整理得,, 由基本不等式得,即“”“”. 实数,,则“”是“”必要不充分条件. 故选:B. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中等题. 5.等差数列的前项和为,若,公差,则下列命题不正确的是( ) A. 若,则必有 B. 若,则必有是中最大的项 C. 若,则必有 D. 若,则必有 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意,结合等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式,以及等差数列的性质,逐项分析,即可求解. 【详解】对于A中,若,则,可得, 所以,所以是正确的; 对于B中,若,则, 又由,可得,所以必有是中最大的项,所以是正确的; 对于C中,若,则,又由,则必有, 可得,所以必有,所以是正确的; 对于D中,若,则,而的符号不能确定,所以不一定成立,所以是错误的. 故选:D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和公式,以及等差数列的性质的应用,其中解答中熟记等差数列的通项公式和求和公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力. 6.若两个非零向量、满足,且,则与夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设平面向量与的夹角为,由已知条件得出,在等式两边平方,利用平面向量数量积的运算律可求得的值,即为所求. 【详解】设平面向量与的夹角为,,可得, 在等式两边平方得,化简得. 故选:A. 【点睛】 本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值,考查平面向量数量积的运算性质的应用,考查计算能力,属于中等题. 7.已知双曲线的左,右焦点分别为,O为坐标原点,P为双曲线在第一象限上的点,直线PO,分别交双曲线C的左,右支于另一点,且,则双曲线的离心率为( ) A. B. 3 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本道题结合双曲线的性质以及余弦定理,建立关于a与c的等式,计算离心率,即可. 【详解】 结合题意,绘图,结合双曲线性质可以得到PO=MO,而,结合四边形对角线平分,可得四边形平行四边形,结合,故 对三角形运用余弦定理,得到, 而结合,可得,,代入上式子中,得到 ,结合离心率满足,即可得出,故选D. 【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质,难度偏难. 8.若函数在区间上存在最小值-2.则非零实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 分和两种情况,结合三角函数的性质即可得出结论. 【详解】解:由已知可得: ①当时, 函数在区间上存在最小值-2, ,可得; ②当时,, 函数在区间上存在最小值-2, ,可得:; 综上所述,非零实数的取值范围; 故选:C. 【点睛】本题主要考查三角函数的性质,考查分类讨论的思想方法,属于中档题. 9.函数在上的最小值为,最大值为2,则的最大值为( ) A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质,求出最大值和最小值对应的x的取值,然后利用数形结合即可得到结论. 【详解】当x≥0时,f(x)=x(|x|﹣1)=x2﹣x=(x﹣)2﹣, 当x<0时,f(x)=x(|x|﹣1)=﹣x2﹣x=﹣(x+)2+, 作出函数f(x)的图象如图: 当x≥0时,由f(x)=x2﹣x=2,解得x=2. 当x=时,f()=. 当x<0时,由f(x)=)=﹣x2﹣x=. 即4x2+4x﹣1=0,解得x==, ∴此时x=, ∵[m,n]上的最小值为,最大值为2, ∴n=2,, ∴n﹣m的最大值为2﹣=, 故选B. 【点睛】本题主要考查函数最值的应用,利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键,利用数形结合是解决本题的基本数学思想. 10.已知定义域为的函数满足:对任何,都有,且当时,.在下列结论: (1)对任何,都有;(2)任意,都有; (3)函数的值域是; (4)“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在,使得”. 其中正确命题是( ) A. (1)(2) B. (1)(2)(3) C. (1)(3)(4) D. (2)(3)(4) 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题设条件,结合函数的周期性和单调性,合理赋值,逐项判定,即可求解. 【详解】对于(1)中,对任何,都有,且当时,, 所以,所以是正确的; 对于(2)中,因为当时,, 可得,解得, 即当时,,所以不正确; 对于(3)中,取,则, 可得, 从而函数的值域为,所以是正确的; 对于(4)中,令,则, 所以 , 所以函数在区间上单调递减,而必要性显然成立,所以是正确的, 所以正确的命题为(1)(3)(4). 故选:C. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用,其中解答中涉及到函数的周期性,单调性,以及函数额基本性质的应用,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题. 第二部分(非选择题,共110分) 二、填空题(每空5分,共25分) 11.已知,则_________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据两角差的正弦公式,化简得,再结合三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式,即可求解. 【详解】根据两角差的正弦公式,可得, 整理得, 平方可得, 所以. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式,以及正弦的倍角公式的化简求值,着重考查了推理与运算能力. 12.已知向量、满足,且与的夹角等于,则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 建立直角坐标系,设,得到,过点作倾斜角为或的直线,结合图象,即可求解向量的取值范围. 【详解】由题意,建立如图所示的直角坐标系,设, 因为向量满足,则, 过点作倾斜角为或的直线,如图所示,则, 在射线取点,设,则,所以与的夹角等于, 结合图象可得,向量的取值范围为. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,以及向量的夹角、向量的模的运算,着重考查了数形结合思想,以及推理与运算能力. 13.五声音阶是中国古乐基本音阶,故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为:宫、商、角、徵、羽,如果把这五个音阶全用上,排成一个五个音阶的音序,且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧,可排成______种不同的音序. 【答案】32 【解析】 【分析】 按照“角”的位置分类,分“角”在两端,在中间,以及在第二个或第四个位置上,即可求出. 【详解】①若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧,此时有种; ②若“角”在中间,则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧; ③若“角”在第二个或第四个位置上,则有种; 综上,共有种. 故答案为:32. 【点睛】本题主要考查利用排列知识解决实际问题,涉及分步计数乘法原理和分类计数加法原理的应用,意在考查学生分类讨论思想的应用和综合运用知识的能力,属于基础题. 14.已知直线与轴交于点,与的终边(始边为轴正半轴)交于点,为坐标原,若点横坐标为,,则直线的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】 由直线方程和点横坐标为,求得,进而得到,再根据斜率公式,求得直线的斜率,利用直线的点斜式方程,即可求解. 【详解】由题意知,直线的终边,交于点,为坐标原,即, 又由点横坐标为,可得,所以, 又因为,则,所以,即, 又由,所以直线的斜率为, 所以直线的方程为,即, 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解,其中解答中涉及到直线的极坐标系的应用,以及直线的点斜式方程的应用,着重考查了推理与计算能力. 15.已知函数,集合,集合,若,则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意,求得,集合B化为,运用判别式,列出不等式组,即可求解. 【详解】由题意,函数,则集合, 又由, 由,令, 即,解得, 所以 要使得,则满足,解得, 所以,所以实数的取值范围是. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了集合的运算,以及一元二次不等式的解法等知识点的综合应用,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力. 三、解答题(共6小题,共85分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 16.在①;②这两个条件中任选-一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题. 在中,角的对边分别为,已知 ,. (1)求; (2)如图,为边上一点,,求的面积 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)结合正弦定理,条件选择①,则,再利用公式求; 若选择条件②,由正弦定理和诱导公式可得,再根据二倍角公式求得,再根据求解. (2)解法1:设,在中由余弦定理,解得,再由(1),解得边长,最后求得到的面积;解法2:由 可知,,,再根据正弦定理和面积公式 . 【详解】解:若选择条件①,则答案为: (1)在中,由正弦定理得, 因为,所以, 所以,因为,所以. (2)解法1:设,易知 在中由余弦定理得:,解得. 所以 在中, 所以,所以, 所以 解法2:因为,所以, 因为所以, 所以 因为为锐角,所以 又 所以 所以 若选择条件②,则答案为: (1)因为,所以, 由正弦定理得, 因为,所以, 因为,所以, 则,所以. (2)同选择① 【点睛】本题考查正余弦定理,面积公式解三角形,意在考查转化与化归的思想,和计算能力,属于中档题型,本题属于开放性试题,需先选择条件,再求解. 17.在四棱锥的底面中,∥,,平面,是的中点,且 (1)求证:∥平面; (2)求二面角的余弦值; (3)在线段内是否存在点,使得?若存在指出点的位置,若不存在,请说明理由. 【答案】(1)证明见解析; (2); (3)线段上存中点,使得. 【解析】 【分析】 (1)连接,证得四边形为平行四边形,得到,利用线面平行的判定定理,即可证得∥平面; (2)建立空间直角坐标系,求得平面和平面的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解; (3)假设存在,设出点E的坐标,通过时,向量的数量积为0,建立方程,即可求解. 【详解】(1)连接,因为是的中点,, 所以,且, 所以四边形为平行四边形,所以, 又因为平面,平面, 所以∥平面; (2)由(1)可知,四边形也是平行四边形, 又由,所以四边形是正方形,所以, 又由平面,所以以O为原点,所在的直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则, 可得, 设平面的一个法向量为,则,可取, 设平面的一个法向量为,则,可取, 设二面角的平面角为, 即二面角的余弦值为. (3)假设线段上存在点E,且满足, 设,则,所以,即, 所以, 又由,可得, 所以,解得, 即线段上存在中点,使得. 【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明,以及空间角的求解及应用,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理,通过严密推理是线面位置关系判定的关键,同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解. 18.某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有6 名特约嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾评分情况如下表;场内外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评分按照,,分组,绘成频率分布直方图如下: 嘉宾 评分 96 95 96 89 97 98 (1)从观众中任取三人,求这三人中恰有1人分数在另2人分数在的概率; (2)从嘉宾中随机选3人,记3人中分数不低于96分的人数为,求的期望; (3)嘉宾评分的平均数为,场内外的观众评分的平均数为,试写出与的大小关系(不需要证明). 【答案】(1); (2)2; (3)嘉宾的平均分高于观众的平均分. 【解析】 【分析】 (1)根据频率分布直方图,即可求解内的概率和在的概率; (2)由题意,得到从嘉宾中随机去3人,分数不低于96分的人数为的可能取值为,求得相应的概率,得到随机变量的分布列,利用期望的公式,即可求解; 可得, (3)利用平均数的计算公式和频率分布直方图的平均数的计算方法,分别求得的值,即可得到结论. 【详解】(1)由题意,根据频率分布直方图可得,在内的概率为,在 的概率为,所以概率. (2)由题意,6名特约嘉宾中,其中4人的得分不低于96分,2人的得分低于96分, 所以从嘉宾中随机选3人,分数不低于96分的人数为的可能取值为, 可得, 所以随机变量的分布列为: 1 2 3 所以期望为. (3)由表格中的数据可得,嘉宾的平均数为, 观众的平均得分为, 所以,即嘉宾的平均分高于观众的平均分. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用,以及离散型随机变量的分布列与期望的求解,其中解答中认真审题,准确计算相应的概率是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力. 19.已知椭圆经过点,离心率为. (1)求椭圆的方程; (2)过点的直线交椭圆于、两点,若,在线段上取点,使,求证:点在定直线上. 【答案】(1);(2)见解析. 【解析】 分析】 (1)根据题意得出关于、、的方程组,解出、的值,进而可得出椭圆 的标准方程; (2)设点、、,设直线的方程为,将该直线的方程与椭圆的方程联立,并列出韦达定理,由向量的坐标运算可求得点的坐标表达式,并代入韦达定理,消去,可得出点的横坐标,进而可得出结论. 【详解】(1)由题意得,解得,. 所以椭圆的方程是; (2)设直线的方程为,、、, 由,得. ,则有,, 由,得,由,可得, , , 综上,点在定直线上. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了点在定直线上的证明,考查计算能力与推理能力,属于中等题. 20.若函数为奇函数,且时有极小值. (1)求实数的值; (2)求实数的取值范围; (3)若恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(1); (2); (3). 【解析】 【分析】 (1)由题意,得到在定义域上恒成立,列出方程,即可求解; (2)由(1)可得,求得导数,分和,两种情况讨论,即可求解; (3)由代入,构造新函数,求得函数的单调性与最值,得到,即可求解实数的取值范围. 【详解】(1)由题意,函数为奇函数, 可得在定义域上恒成立,即, 化简整理得,所以. (2)由(1)可得,则, 当时,又由恒成立,即恒成立,所以不存在极小值; 当时,令,则方程有两个不等的正根, 故可知函数在上单调递增,在上单调递减, 可得当时函数取得极小值, 所以实数的取值范围是. (3)由(2)和函数为奇函数,当时有极小值, 可得,且,即, 代入,可得, 所以, 构造新函数,则, 当,则,所以当时,恒成立, 故函数在定义域上单调递减,其中,则, 可转化为,所以, 由,设,可得, 所以函数在上递增,故, 又由(2)可知,所以实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及恒成立问题的求解,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题. 21.数列的前项和为,若存在正整数,且,使得,同时成立,则称数列为“数列”. (1)若首项为,公差为的等差数列是“数列”,求的值; (2)已知数列为等比数列,公比为. ①若数列为“数列”,,求的值; ②若数列为“数列”,,求证:为奇数,为偶数. 【答案】(1);(2)①;②证明见解析 【解析】 【分析】 (1)根据题意,以及“数列”的概念,得到,求解,即可得出结果; (2)①根据数列为“数列”,得到,再由,即可得出结果; ②根据数列为“数列”,得到,令,分别讨论:为偶数;为偶数,为奇数;为奇数三种情况,结合导数的方法进行处理,即可得出结果. 【详解】解:(1)若首项为,公差为的等差数列是“数列”, 由题意可得,,解得:; (2)①若数列为“数列”,则, 又, 所以或; ②若数列为“数列”,则, 令, 若为偶数,则,不符合题意; 若为偶数,为奇数,不符题意; 若为奇数,, 则, 令,,则, 所以在上单调递减,在上单调递增; ∴ 即单调增,与题意不符; 综上为奇数,为偶数. 【点睛】本题主要考查数列新定义与导数的综合,熟记等差与等比的求和公式,以及导数的方法求函数最值即可,难度较大. 查看更多