人教A数学必修二直线的交点坐标与距离公式

人教A数学必修二直线的交点坐标与距离公式

第一课时 3.3-1两直线的交点坐标 一、教学目标 ‎（一）知能目标：1。直线和直线的交点 ‎ 2．二元一次方程组的解 ‎（二）情感目标：1。通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内 ‎ 的联系。‎ ‎ 2．能够用辩证的观点看问题。‎ 二、教学重点，难点 重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。‎ 难点：两直线相交与二元一次方程的关系。‎ 三、教学过程：‎ ‎（一）课题导入 用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？‎ （二） 探研新知 分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系已知两直线 L1：A1x+B1y +C1=0,L2： A2x+B2y+C2=0‎ 如何判断这两条直线的关系？‎ ‎ 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。‎ ‎ ‎ 几何元素及关系 ‎ 代数表示 点A ‎ A（a，b）‎ 直线L L：Ax+By+C=0‎ 点A在直线上 直线L1与 L2的交点A 课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？‎ 学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？‎ （1） 若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。‎ （2） 若二元一次方程组无解，则L 1与 L2平行。‎ （3） 若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。‎ 课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？‎ 1． 例题讲解，规范表示，解决问题 例题1：求下列两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0‎ L1：2x+y +2=0 ‎ 解：解方程组 ‎ ‎ ‎ 得 x=-2，y=2‎ 所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2），如图3。3。1。‎ 教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解。‎ 同类练习：书本114页第1，2题。‎ 例2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。‎ （1） L1：x-y=0，L2：3x+3y-10=0‎ （2） L1：3x-y=0，L2：6x-2y=0‎ （3） L1：3x+4y-5=0，L2：6x+8y-10=0‎ ‎ 这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。‎ 一． 启发拓展，灵活应用。‎ 课堂设问一。当变化时，方程 3x+4y-2+（2x+y+2）=0表示何图形，图形 有何特点？求出图形的交点坐标。‎ （1） 可以一用信息技术，当 取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。‎ （2） 找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。‎ （3） 结论，方程表示经过这两条直线L1 与L2的交点的直线的集合。‎ ‎ ‎ （二） 小结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。‎ （三） 练习及作业：‎ a) 光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程。‎ b) 求满足下列条件的直线方程。‎ 经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直。‎ 板书设计：略 第二课时 ‎3.3.2‎两点间距离 一、教学目标 ‎（一）知能目标：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。‎ ‎（二）情感目标：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题 二、教学重点，难点：‎ 重点，两点间距离公式的推导。‎ 难点，应用两点间距离公式证明几何问题。‎ 三教学过程：‎ ‎（一）课题导入 课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题 平面直角坐标系中两点，分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为 ‎（二）探研新知 直线相交于点Q。‎ 在直角中，，为了计算其长度，过点向x轴作垂线，垂足为 过点 向y轴作垂线，垂足为 ，于是有 所以，=。‎ 由此得到两点间的距离公式 在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。‎ 例题解答，细心演算，规范表达。例1 ：以知点A（-1，2），B（2， ），在x轴上求一点，使 ,并求 的值。‎ 解：设所求点P（x，0），于是有 由 得 解得 x=1。‎ 所以，所求点P（1，0）且 通过例题，使学生对两点间距离公式理解。应用。‎ 解法二：由已知得，线段AB的中点为，直线AB的斜率为k=‎ 线段AB的垂直平分线的方程是 y-‎ 在上述式子中，令y=0，解得x=1。‎ 所以所求点P的坐标为（1，0）。因此 同步练习：书本116页第1，2 题 ‎（三）　巩固反思，灵活应用。（用两点间距离公式来证明几何问题。）‎ 例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。‎ 分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。‎ 这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。‎ ‎ 证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。‎ 设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为 所以，‎ 所以，‎ 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。‎ 上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：‎ 第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。‎ 第二步：进行有关代数运算。‎ 第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。‎ 思考：同学们是否还有其它的解决办法？‎ 还可用综合几何的方法证明这道题。‎ 课堂小结：主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。‎ 课后练习1.：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等 ‎2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。‎ ‎3．（1994全国高考）点（0，5）到直线y=2x的距离是——‎ ‎。‎ 板书设计：略。 ‎ ‎ 第三课时 3．3．3 点到直线的距离 ‎3、3、4 两条平行线间的距离 一、教学目标：‎ ‎（一）知能目标：‎ ‎1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； ‎2 、会用点到直线距离公式求解两平行线距离 ‎（二）情感目标：‎ ‎1。 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题 二、教学重点、难点 教学重点：点到直线的距离公式 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.‎ 三、教学过程 （一）课题导入 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离。‎ ‎ 用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算？能否用两点间距离公式进行推导？‎ 两条直线方程如下：‎ ‎. ‎ ‎（二）探研新知 ‎1．点到直线距离公式：‎ 点到直线的距离为：‎ ‎（2）数行结合，分析问题，提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线的距离d是点P到直线的垂线段的长.‎ 这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。（1）提出问题 在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，直线＝0或B＝0时，以上公式，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢?‎ 学生可自由讨论。‎ 画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。‎ 方案一：‎ 设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥可知，直线PQ的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线的距离为d ‎ 此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法 方案二：设A≠0，B≠0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，‎ 由得.‎ 所以，｜PＲ｜＝｜｜＝‎ ‎｜PS｜＝｜｜＝‎ ‎｜ＲS｜＝×｜｜由三角形面积公式可知：·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜‎ 所以 可证明，当A=0时仍适用 这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力。意志品质等方面得到了提高。‎ ‎3．例题应用，解决问题。‎ 例1 求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。‎ 解：d=‎ 例2 已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。‎ 解：设AB边上的高为h，则 S=‎ ‎ ，‎ AB边上的高h就是点C到AB的距离 AB边所在直线方程为 即x+y-4=0。‎ 点C到X+Y-4=0的距离为h h=，‎ ‎ 因此，S=‎ 通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。‎ 同步练习：118页第1，2题。‎ ‎4．拓展延伸，评价反思。‎ ‎（1） 应用推导两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线和的一般式方程为：，‎ ‎：，则与的距离为 证明：设是直线上任一点，则点P0到直线的距离为 又 ‎ 即，∴d＝ ‎ 的距离.‎ 解法一：在直线上取一点P(４，0)，因为∥ ‎ 例3 求两平行线：，：，所以点P到的距离等于与的距离.于是 解法二：∥又.‎ 由两平行线间的距离公式得 ‎ 四、课堂练习：‎ 1， 已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3。且该直线过点（2，3），求该直线方程。‎ 五、小结 ：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式 六、课后作业：‎ ‎13.求点P（2，-1）到直线2＋3－3＝0的距离.‎ ‎14.已知点A（，6）到直线3－４＝2的距离d=4，求的值：‎ ‎15.已知两条平行线直线和的一般式方程为：，‎ ‎：，则与的距离为 七．板书设计：略 ‎ ‎