2020届二轮复习数列与函数、不等式相结合问题学案（全国通用）

2020届二轮复习数列与函数、不等式相结合问题学案（全国通用）

专题 03 数列与函数、不等式相结合问题 一．方法综述 数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问 题时会渗透多种数思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握 各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数 列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进 行分析. 二．解题策略 类型一 数列中的恒成立问题 【例 1】【2018 河南省豫南豫北联考二】数列 满足 ，若对 ，都有 成立，则最小的整数 是（ ） A. B. C. D. 又对 ，都有 成立， { }na ( )*1 1 16 ,5 1 n n n aa a n Na + −= = ∈− *n N∈ 1 2 1 1 1 n k a a a > + + + k 3 4 5 6 *n N∈ 1 2 1 1 1 n k a a a > + + + ∴ .故最小的整数 是 5.选 C. 【答案】C 【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是如何对 求和，根据题目的条件经过变形得到 ，可利用列项相消求和，在求得 数列和的基础上可得到 k 的取值范围，解题时要注意等号是否可以取得.& 【举一反三】【2017 陕西洛南永丰中高三月考】已知数列 的首项 ，其前 项和为 ，且满足 ，若对任意 恒成立，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 类型二 数列中的最值问题 【例 2】【辽宁省葫芦岛第六高级中 2018 届高三上期第二次阶段（期中）】已知数列 的前 项和 且 ，对一切正整数 都成立，记 的前 项和为 ，则数列 中的最 5k ≥ k 1 2 1 1 1 na a a + + + 1 1 1 1 1 1n n na a a + − = −− { }na 1a a= n nS ( )2 1 4 2,n nS S n n n N− ++ = ≥ ∈ 1, n nn N a a+ +∈ < a ( )3,5 ( )4,6 [ )3,5 [ )4,6 { }na n 1, 0nS a < 2 2n na a S S= + n 1 na       n nT 1 n n T T  −    大值为（ ） A. B. C. D. 当 为奇数时， 随 的增大而增大，所以 当 为偶数时， 随 的增大而减小，所以 综上，当 时，总有 故选 A & 【答案】A 【指点迷津】本题利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项， 在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中根据 的奇偶判断 的单调性是解题的关键 【举一反三】【2017 届安徽省宣城市高三下期第二次调研】设数列 为等差数列， 为其前 项和， 2 2 2 2 − 2 2− n nT n 1 1 2=- 2 1 2, 2 2n n n T T T T − ≤ < − ∴− ≤ − < − n nT n 1 2 2 1 22 ,2 2 2n n n T T T T − < < = − ∴− < − ≤ *n N∈ 1 22 2n n T T − ≤ − ≤ n nT { }na nS n 若 ， ， ，则 的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 类型三 数列性质的综合问题 【 例 3 】 【 福 建 省 福 州 市 闽 侯 第 六 中 2018 届 高 三 上 期 期 中 考 试 】 若 数 列 满 足 ： 且 ，数列 满足 ，则数列 的最大项 为第__________项． 【 解 析 】 由 ， 且 ， 得 ， 则 ， ， 累 加 得 ， ， 由 ， 得 ，即 ， 数列 的最大项为 第 项，故答案为 .& 【答案】6 【指点迷津】本题主要考查已知数列的递推公式求通项以及数列最大项问题，属于难题题.由数列的递推公 1 13S ≤ 4 10S ≥ 5 15S ≤ 4a 7− 5− { }na 1 0a = ( )* 1 2 1 , 2n na a n n N n−= + − ∈ ≥ { }nb 1 1 81 1 11 n n n nb a a − +  = + ⋅ + ⋅   { }nb 1 0a = ( )* 1 2 1 , 2n na a n n N n−= + − ∈ ≥ ( )1 2 1 2n na a n n−− = − ≥ 2 1 3 2 4 32 2 1, 2 3 1, 2 4 1,...a a a a a a− = × − − = × − − = × − ( )1 2 1 2n na a n n−− + − ≥ ( ) ( ) ( )( ) 22 12 3 ... 1 2 1 12n n na n n n n + −= + + + − − = × − + = − ( )1 1 22 1 8 81 1 111 11 n n n n nb a a n n − − +    ∴ = + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅       ( ) 1 2 8 11 n n n − = + ⋅   1 1 { n n n n b b b b − + ≥ ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 2 8 8 11 11{ 8 83 211 11 n n n n n n n n n n n n − − −    + ⋅ ≥ + ⋅          + ⋅ ≥ + + ⋅       16 19 3 3n≤ ≤ *, 6,n N n∈ ∴ = ∴ { }nb 6 6 式求通项常用的方法有：（1）累加法（相邻两项的差成等差、等比数列）；累乘法（相邻两项的积为特殊 数 列 ） ； （ 3 ） 构 造 法 ， 形 如 的 递 推 数 列 求 通 项 往 往 用 构 造 法 ， 即 将 利用待定系数法构造成 的形式，再根据等比数例求出 的通项，进而得出 的通项公式. 【 举 一 反 三 】 【 福 建 省 2017 届 高 三 4 月 单 质 量 检 测 】 已 知 数 列 满 足 ，则下列结论正确的是（ ） A. 只有有限个正整数 使得 B. 只有有限个正整数 使得 C. 数列 是递增数列 D. 数列 是递减数列 【答案】D 类型四 数列与函数的综合问题 【例 4】【陕西省西安市西北工业大附属中 2017 届高三下期第七次模拟】已知函数 的定义域为 ，当 时， ，且对任意的实数 ，等式 成立，若数列 满足 ， 且 ，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. ( )1 0, 1n na qa p p q−= + ≠ ≠ ( )1 0, 1n na qa p p q−= + ≠ ≠ ( )1n na m q a m−+ = + { }na m+ { }na { } { },n na b 1 1 1 11, 2 ,n n n n n na b a a b b a b+ += = = + = + n 2n na b< n 2n na b> { }2n na b− 2n n a b   −     【答案】D 【指点迷津】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关 系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可 实现去“f”，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系. 【 举 一 反 三 】 【 四 川 省 内 江 市 高 中 2018 届 高 三 第 一 次 模 拟 】 设 ， 函 数 ， ， ，…， ，曲线 的最低点为 ， 的面积为 ，则 A. 是常数列 B. 不是单调数列 C. 是递增数列 D. 是递减数列 【解析】根据题意得 ， …， *n N∈ ( )1 xf x xe= ( ) ( )' 2 1f x f x= ( ) ( )' 3 2f x f x= ( ) ( )' 1n nf x f x+ = ( )ny f x= nP 1 2n n nP P P+ +∆ nS { }nS { }nS { }nS { }nS ( ) ( ) ( )' 2 1 1 xf x f x x e= = + ( ) ( ) ( )' 3 2 2 xf x f x x e= = + 类型五 数列与其他知识综合问题 【例 5】【安徽省巢湖市柘皋中 2018 届高三上期第三次月考】将向量 组成的系列称为向量 列 ，并定义向量列 的前 项和 ．若 ，则下列 说法中一定正确的是（ ） A. B. 不存在 ，使得 C. 对 ，且 ，都有 D. 以上说法都不对 【解析】 由 ，则 ，所以数列 构成首项为 ，公比为 的等比数 列，所以 ，又当 时， ，& 所以当 ，且 时， 是成立的，故选 C. 1 2, , , na a a     { }na { }na n 1 2n nS a a a= + + +      ( )* 1 ,n na a R n Nλ λ+ = ∈ ∈  ( )1 1 1 n n a S λ λ − = −   *n N∈ 0nS = *m n N∀ ∈、 m n≠ m nS S   ( )* 1 ,n na a R n Nλ λ+ = ∈ ∈  1n n a a λ+ =   { }na 1a λ ( )1 1 , 1 { 1 , 11 nn na S a λ λ λλ = = − ≠−    1λ = − 2 0nS = *m n N∀ ∈、 m n≠ m nS S   【答案】C 【举一反三】【湖南省长沙市长郡中 2018 届高三第三次月考】将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有 ， ， 三种，其中 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 为 12 的最佳 分解.当 （ 且 ）是正整数 的最佳分解时，我们定义函数 ，例如 .数列 的前 100 项和为__________． 【答案】 【 解 析 】 当 为 偶 数 时 ， ； 当 为 奇 数 时 ， ， ，故答案为 .& 【 例 6 】 【 福 建 省 泉 州 市 2017 届 高 三 高 考 考 前 适 应 性 模 拟 （ 一 ） 】 斐 波 那 契 数 列 满 足 ： .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边 长为 1，记前 项所占的格子的面积之和为 ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为 ，则 下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. ,所以 B 正确；对于 C, 时， 1 12× 2 6× 3 4× 3 4× 3 4× p q× p q≤ *, Np q∈ n ( )f n q p= − ( )12 4 3 1f = − = ( ){ }3nf 503 1− n ( )3 0nf = n ( ) 1 1 1 2 2 23 3 3 2 3 n n n nf + − − = − = × ( ) 50 0 1 49 50 100 3 12 3 3 ... 3 2 3 13 1S −∴ = + + + = × = −− 503 1− { }na ( )* 1 2 1 21, 1, 3,n n na a a a a n n N− −= = = + ≥ ∈ n nS nc 2 1 1 1·n n n nS a a a+ + += + 1 2 3 2 1n na a a a a ++ + + + = − 1 3 5 2 1 2 1n na a a a a−+ + + + = − ( )1 2 14 ·n n n nc c a aπ− − +− = 1 2 3 3 1 1 31 ... 1 1 2 1n na a a a a a a− −⇔ + + + + = − ⇔ ⇔ = − ⇔ = − 1n = ；C 错误；对于 D, ,D 正确.故选 C. 【答案】C 【指点迷津】本题通过对多个命题真假的判断考察数列的各种性质及数化归思想，属于难题.该题型往往出 现在在填空题最后两题，综合性较强，同们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这 类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好 理解的命题. 【举一反三】【青海省西宁市 2017 届高三下期复习检测一】如图所示，矩形 的一边 在 轴 上，另外两个顶点 在函数 的图象上.若点 的坐标为 ，记 矩形 的周长为 ，则 （ ） A. 220 B. 216 C. 212 D. 208 【答案】B 1 2 1a a≠ − ( ) ( )( )2 2 2 1 1 1 1 2 14 4 ·4 4 n n n n n n n n n n a ac c a a a a a a π π π π− − − − − +  − = − = + − =    n n n nA B C D n nA B x ,n nC D ( ) 1 ( 0)f x x xx = + > nB ( )( ),0 2,n n n N+≥ ∈ n n n nA B C D na 2 3 10a a a+ + + =