2019-2020学年河南省郑州市高二上期期末数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年河南省郑州市高二上期期末数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省郑州市高二上期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．不等式的解集为（ ）‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据一元二次不等式的解法，求得原不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 依题意，解得或.所以不等式的解集为或.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2．命题“，”的否定是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据全称命题的否定为特称命题解答.‎ ‎【详解】‎ 解：，为全称命题，故其否定为，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.‎ ‎3．在中，，则（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用正弦定理求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得，所以，解得.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.‎ ‎4．焦点为，长轴长为10的椭圆的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据已知求得，以及椭圆焦点所在坐标轴，再由求得的值，由此求得椭圆的标准方程.‎ ‎【详解】‎ 由于椭圆的焦点为，长轴长为，所以椭圆焦点在轴上，且，所以由解得，所以椭圆的标准方程为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆标准方程的求法，属于基础题.‎ ‎5．已知抛物线上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为（ ）‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据抛物线的定义，求得到轴的距离.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的准线为，由于到焦点的距离为，根据抛物线的定义，到准线的距离为，所以到轴的距离为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.‎ ‎6．已知函数，则为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求得函数的导函数，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查导数的计算，属于基础题.‎ ‎7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，满足，且则解下4个环所需的最少移动次数为（ ）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据已知条件，依次求得的值，由此选出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由于满足，且，所以，，.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据数列递推关系式求某一项的值，考查中国古代数学文化，属于基础题.‎ ‎8．已知实数满足则的最小值为（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线到可行域点位置，此时目标函数取得最小值为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎9．“方程表示的曲线为椭圆”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】根据方程表示椭圆的条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围，由此判断充分、必要条件.‎ ‎【详解】‎ 由于方程表示的曲线为椭圆，所以，解得且.所以“方程表示的曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查方程表示椭圆的条件，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.‎ ‎10．若函数的导函数的图象如右图所示，则函数的图象可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据导函数的零点和函数值的符号，判断出的图象.‎ ‎【详解】‎ 由于的图象可知是的零点，所以的零点为和.当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以.由此可知正确的的图象为D.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查主要考查导函数图象的运用，属于基础题.‎ ‎11．等差数列满足，则使前n项和成立的最大正整数n是（ ）‎ A．2018 B．2019 C．4036 D．4037‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等差数列前项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n项和成立的最大正整数n.‎ ‎【详解】‎ 由于等差数列满足，所以，且，所以，所以使前n项和成立的最大正整数n是.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等差数列前项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.‎ ‎12．设函数，若是函数的两个极值点，现给出如下结论：（ ）‎ ‎①若，则；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若，则其中正确的结论个数为 A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用求得的关系式，利用差比较法计算，根据计算结果判断出正确的结论.‎ ‎【详解】‎ 依题意，，其判别式，解得.依题意，是的两个零点，所以（），，两式相加得，将（）代入上式化简得（）.所以 ‎，将（）、（）代入上式得：.由于，所以当或时，，，故①②错误.当时，，，故③正确.‎ 综上所述，正确的个数有个.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数导数与极值，考查一元二次方程根与系数关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查作差比较法，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．是等差数列，…的第_____项.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出首项，公差，从而，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：等差数列，，中，‎ 首项，公差，‎ ‎，‎ ‎，．‎ 故是等差数列，，的第100项．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的某一项的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎14．某市在进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别为700m，300m，800m，这个区域的面积是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用余弦定理求得三角形的一个角的余弦值，进而求得其正弦值，由三角形的面积公式求得三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ 设，则，由于，所以，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎15．已知是椭圆的两焦点，过且垂直于y轴的直线与椭圆交于两点，若为直角三角形，则该椭圆离心率的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合三角形是直角三角形，以及椭圆的定义，求得，由此求得椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 由于三角形是直角三角形，根据椭圆的对称性可知，且三角形是等腰直角三角形.‎ 不妨设，则.‎ 根据椭圆的定义有,，‎ 所以椭圆的离心率为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的对称性和定义，考查等腰直角三角形的几何性质，属于中等题.‎ ‎16．已知为正实数，直线与曲线相切于点，则的最小值是______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】利用切点和斜率列方程组，化简求得的关系式，进而利用基本不等式求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ 依题意令，解得，所以，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查导数与切线有关的计算问题，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知是首项为2的等比数列，各项均为正数，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（I）将已知条件转化为的形式解方程，由此求得的值，进而求得数列的通项公式.‎ ‎（II）利用裂项求和法求得数列的前n项和.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）设的公比为，由，‎ 得 或.‎ 又的各项均为正数，‎ ‎（II）‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查裂项求和法，属于基础题.‎ ‎18．在三角形中，角所对的边分别为，已知.‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）已知，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（I）利用正弦定理化简已知条件，然后利用余弦定理求得的值，进而求得的大小.‎ ‎（II）利用余弦定理，结合基本不等式，求得的最大值，由此求得三角形面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由结合正弦定理得：‎ ‎，‎ 所以又 ‎（II）由余弦定理得.‎ 又,∴.‎ ‎∴.‎ 当且仅当时取等号,∴的面积.‎ 即面积的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值，属于基础题.‎ ‎19．已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题.‎ ‎（Ⅰ）若为假命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或 ‎【解析】（I）利用判别式大于零列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎（II）先求得为真命题是的取值范围.根据为真命题,为假命题判断出一真一假，由此进行分类讨论，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）p为真命题,则应有，解得 ‎（II）若q为真命题,则有,即.‎ 因为为真命题,为假命题,‎ 则p,q应一真一假．‎ ‎①当p真q假时,有,得；‎ ‎②当p假q真时,有,得． ‎ 综上,m的取值范围是或．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查一元二次方程根的个数与判别式，考查根式运算，考查根据含有逻辑联结词命题的真假性求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎20．《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》已经政府常务会议审议通过，自2019年12月1日起施行.垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.所谓垃圾其实都是资源，当你放错了位置时它才是垃圾.某企业在市科研部门的支持下进行研究，把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品.已知该企业每周的加工处理量最少为75吨，最多为100吨.周加工处理成本y（元）与周加工处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理一吨厨余垃圾得到的产品售价为16元.‎ ‎（Ⅰ）该企业每周加工处理量为多少吨时，才能使每吨产品的平均加工处理成本最低？‎ ‎（Ⅱ）该企业每周能否获利？如果获利，求出利润的最大值；如果不获利，则需要市政府至少补贴多少元才能使该企业不亏损？‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）故该企业不获利，需要市政府每周至少补贴1125元，才能不亏损．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意，周加工处理成本y（元）与周加工处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，两边同时除以，然后利用基本不等式从而求出最值；‎ ‎（2）设该单位每月获利为，则，把值代入进行化简，然后运用配方法进行求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由题意可知，‎ 每吨平均加工成本为： ‎ 当且仅当即时，才能使每吨的平均加工成本最低． ‎ ‎（Ⅱ）设该单位每月获利为，则 时，‎ 故该企业不获利，需要市政府每周至少补贴1125元，才能不亏损．‎ ‎【点睛】‎ 此题是一道实际应用题，考查了函数的最值和基本不等式，及运用配方法求函数的最值，属于基础题．‎ ‎21．设椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若椭圆C的离心率为，的周长为8.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线与椭圆C交于两点，是否存在实数k使得以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，‎ ‎【解析】（I）根据椭圆离心率、椭圆的定义列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆的标准方程.‎ ‎（II）设出两点的坐标，联立直线的方程和椭圆方程，计算判别式求得的取值范围，并写出根与系数关系，根据圆的几何性质得到，由此得到，由此列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由题意知，所以所求椭圆的标准方程是.‎ ‎（II）假设存在这样的实数使得以为直径的圆恰好经过原点.‎ 设，联立方程组，‎ 消去得，‎ 由题意知，是此方程的两个实数解，‎ 所以，解得或，‎ 所以.‎ 又因为以为直径的圆过原点，所以，所以，‎ 而， ‎ ‎，即，解得.‎ 故存在这样的直线使得以为直径的圆过原点.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查圆的几何性质，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，若存在，使得成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）当时，在单调递减，当时，在单调递增；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（I）先求得函数的定义域和导函数，对分成两种情况，讨论的单调区间.‎ ‎（II）构造函数，将问题转化为在上的最小值小于0来求解.利用导数讨论在区间上的单调性的最小值，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）的定义域为 所以，当时，，在上递减；‎ 当时，，所以，在上递增.‎ ‎（II）在上存在一点使成立，‎ 即函数在上的最小值小于0,‎ ‎.‎ ‎①当，即时，在上单调递减，‎ 所以在上的最小值为，由，‎ 得；‎ ‎②当，即时，，不合乎题意；‎ ‎③当，即时，的最小值为，故.‎ 此时不成立.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究不等式成立的存在性问题，考查利用导数研究函数在闭区间上的最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.‎