四川省成都市双流区双流棠湖中学2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

四川省成都市双流区双流棠湖中学2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

‎2019年秋四川省棠湖中学高三期末考试 理科数学试题 第I卷（选择题共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1.已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由,得，‎ 所以得在复平面内对应的点的坐标为是第一象限的点,故选A.‎ ‎2.圆的方程为，则圆心坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化为圆的标准方程可看出圆心坐标.‎ ‎【详解】将配方,化为圆的标准方程可得,‎ 即可看出圆的圆心为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了圆的一般式方程化为标准方程的运算,属于基础题.‎ ‎3.2019年第十三届女排世界杯共12支队伍参加，中国女排不负众望荣膺十冠王.将12支队伍的积分制成茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为（ ）‎ A. 17.5和17 B. 17.5和16‎ C. 17和16.5 D. 17.5和16.5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图将这12个数据按照从小到大的顺序排成一列,再根据中位数和平均数的概念可得答案.‎ ‎【详解】根据茎叶图概念可得这12个数据分别为:2,3,5,13,17,17,18,19,21,23,28,32,‎ 再根据中位数的概念可得中位数为17.5,‎ 根据平均数的概念可得平均数为.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了茎叶图的概念,中位数和平均数的定义,将这12个数据按照从小到大的顺序排成一列是答题的关键,属于基础题.‎ ‎4.某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（　　）‎ A. 44号 B. 294号 C. 1196号 D. 2984号 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有人.故抽得的号码为以15为公差的等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可.‎ ‎【详解】由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.又.其他选项均不满足.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型.‎ ‎5.已知直线，，若，则实数的值为（ ）‎ A. 8 B. 2 C. D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两条直线平行的充要条件求解．‎ ‎【详解】：∵直线l1：2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，l1∥l2， ∴， 解得a=8．‎ 故选A .‎ ‎【点睛】】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用．‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟运行过程，依次计算S，直到退出循环为止.‎ ‎【详解】由图，模拟执行程序得程序框图的功能是计算时的n的值，.‎ 模拟程序的运行，可得 S＝0，n＝1，‎ 执行循环体，S＝﹣1，不满足条件S2，n＝2，‎ 执行循环体，S＝1，不满足条件S2，n＝3，‎ 执行循环体， S，不满足条件S2，n＝4，‎ 执行循环体，S＝2，‎ 满足条件S2，退出循环，输出n的值为4．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎7.设，，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分条件也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求命题表示的两个集合，根据集合的包含关系，判断充分必要条件.‎ ‎【详解】， ‎ ‎， ，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎ 是的充分不必要条件.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查判断命题的充分必要条件，意在考查基本方法和基本计算能力，属于基础题型，当命题是集合形式时，，，若时，时的充分不必要条件，同时，是的必要不充分条件，若，则互为充分必要条件.‎ ‎8.若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】对于，开口向下，对称轴为 若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：；‎ 对于，其相当于将的图象向左平移个单位，得到如下函数图像：‎ 此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故的取值范围是 ‎9.已知两点A（－2，0），B（0，2），点C是圆x2＋y2‎ ‎－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是（ ）‎ A. 3－ B. 3＋ C. 3－ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：圆的标准方程为，圆心为，半径为1，直线方程为，即，到直线的距离为，点到的距离的最小值为，，所以面积最小值为．故选A．‎ 考点：点到直线的距离．‎ ‎10.将－颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则关于方程组，有实数解的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆心到直线的距离不大于半径可得的不等式关系，从而得到方程组有解的个数，利用古典概型的概率公式可求概率.‎ ‎【详解】因为方程组有解，故直线与圆有公共点，‎ 所以即，‎ 当时，，有3种情形；‎ 当时，，有3种情形；‎ 当时，，有4种情形；‎ 当时，，有18种情形；‎ 故方程有解有28种情形，而共有36种不同的情形，故所求的概率为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.‎ ‎11.如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 为等边三角形，不妨设 为双曲线上一点，‎ 为双曲线上一点,‎ 由 在中运用余弦定理得：‎ ‎,‎ 故答案选 点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率．‎ ‎12.如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三棱锥的体积关系可得,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直径可得,根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.‎ ‎【详解】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为,所以,所以,‎ 又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线,‎ 设外接球的半径为,所以,‎ 所以,当且仅当时,等号成立,‎ 所以,‎ 所以该三棱锥外接球体积为.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式,长方体的对角线长定理,基本不等式,属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13.已知x、y满足约束条件，则的最小值为________.‎ ‎【答案】－3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，目标函数过点时，取得最小值.‎ ‎【详解】作出可行域如图表示：‎ 目标函数，化为，‎ 当过点时，取得最大值，‎ 则取得最小值，‎ 由，解得，即，‎ 的最小值为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题.‎ ‎14.斜率为2的直线l经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于两点,则线段AB的长为__________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立直线与抛物线方程，根据抛物线焦点弦的计算公式：，即可求解出过焦点的弦长.‎ ‎【详解】因为焦点，所以，‎ 联立直线与抛物线可得：，所以即，‎ 所以，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线焦点弦的弦长计算，难度较易.抛物线中计算焦点弦弦长的两种方法：‎ ‎(1)直接利用弦长公式：；‎ ‎(2)利用焦半径公式简化计算：.‎ ‎15.若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求出的导数，计算可得的值，由导数的几何意义可得，由三角函数的恒等变形公式可得，代入数据计算可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，曲线，其导数，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则；‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于中档题．‎ ‎16.若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 设，圆的圆心为，则是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，以为直径的圆的方程为，即，两圆方程相减，即得的方程为，则直线与坐标轴的交点为，又因为焦点在轴上，则，，，所以椭圆方程为.‎ ‎【详解】设，圆的圆心为，则是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，以为直径的圆的方程为，即，两圆方程相减，即得的方程为，则直线与坐标轴的交点为，又因为焦点在轴上，则，，，所以椭圆方程为.‎ 考点：直线圆的位置关系、椭圆的标准方程.‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎17.某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.‎ ‎（1）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；‎ ‎（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：‎ 广告投入（单位：万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售收益（单位：百万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎7‎ 表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.‎ 附公式：，.‎ ‎【答案】（1）2;（2）;（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形的宽度；‎ ‎（Ⅱ）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值；‎ ‎（Ⅲ）求出回归系数，即可得出结论．‎ ‎【详解】（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次，‎ 其中点分别为，对应的频率分别为，‎ 故可估计平均值为；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知空白栏中填5．‎ 由题意可知，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 根据公式，可求得，，‎ 即回归直线的方程为．‎ ‎【点睛】本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档题．‎ ‎18.已知函数，‎ ‎（1）当时，求函数的最小值和最大值；‎ ‎（2）设的内角的对应边分别为，且，，若向量与向量共线，求的值.‎ ‎【答案】（1）最大值为，最小值为0；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用二倍角公式及化一公式，化简的表达式，再结合正弦函数的图象，在给定区域上求最值；（2）由，解得角，利用共线条件及正弦定理得到b=2a，再利用余弦定理解得的值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ 当 ，即时，有最小值为 当 ，即时，有最大值为 ‎ ‎ (2)‎ 与向量共线 ‎ 由正弦定理得① ‎ ‎，由余弦定理可得② ‎ ‎①②联立可得 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：（1）定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.（2）定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.（3）求结果.‎ ‎19.如图1，在等腰中，，，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且。‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值 ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点，连接，根据条件证明，即；‎ ‎（2）以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：取的中点，连接.‎ ‎∵，∴为的中点.‎ 又为的中点，∴.‎ 依题意可知，则四边形为平行四边形，‎ ‎∴，从而.‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2），且，‎ 平面，平面，‎ ‎，‎ ‎，且，‎ 平面，‎ 以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，‎ 则，，，，，‎ ‎，，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ 令，得.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ 令，得.‎ 从而，‎ 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行四边形，这些都是证明线线平行的常方法.‎ ‎20.已知动圆在圆：外部且与圆相切，同时还在圆：内部与圆相切．‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）记（1）中求出的轨迹为，与轴的两个交点分别为、，是上异于、的动点，又直线与轴交于点，直线、分别交直线于、两点，求证：为定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由直线与圆相切，则，则点的轨迹是以 ，为焦点的椭圆，即可求得椭圆方程；‎ ‎（2）方法一：设，分别求得直线的方程，直线的方程，分别求得点和的坐标，则，即可求得为定值； 方法二：设直线的斜率为，直线的斜率为，联立直线的方程与直线的方程，求出点坐标，将点坐标代入椭圆方程，即可求得，为定值．‎ ‎【详解】（1）设动圆的半径为，由已知得，，，‎ 点的轨迹是以 ，为焦点的椭圆，‎ 设椭圆方程：（），则，，则，‎ 方程为：；‎ ‎（2）解法一：设 ，由已知得， ，则，，‎ 直线的方程为：，‎ 直线的方程为：，‎ 当时，，，‎ ‎，‎ 又满足，‎ ‎，‎ 为定值．‎ 解法二：由已知得，，设直线的斜率为，直线的斜率为，由已知得，，存在且不为零，‎ 直线的方程为：，‎ 直线的方程为：，‎ 当时，，，‎ 联立直线和直线的方程，可得点坐标为，‎ 将点坐标代入椭圆方程中,得，‎ 即，‎ 整理得 ，‎ ‎，，‎ 为定值．‎ ‎【点睛】本题考查了轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系，解题时应注意分类讨论的数学思想方法，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理解题，属于高考常考题型.‎ ‎21.已知函数在点处的切线方程为．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）设函数（），求在上的单调区间；‎ ‎（3）证明：（）．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）利用导数的几何意义求解；（2）根据导函数的符号判断函数的单调性；（3）在（2）的基础上当时可得不等式，取，可得，变形后可得，然后把所得式子两边分别相加可得不等式成立．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴ ，‎ 依题意得 ‎ 解得 ‎∴．‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∴‎ 故函数在的单调性为：‎ 当时，的递减区间为；‎ 当时，的递减区间为，递增区间为；‎ 当；‎ 当 ‎（3）由（2）知时，‎ ‎∴ ，‎ 即 ，‎ 令，‎ 得，‎ 即,‎ 所以，‎ 上式中n=1，2，3，…，n，‎ 然后n个不等式相加得 ‎（）．‎ 故不等式成立．‎ 点睛：对于在函数中的数列不等式的证明，一般要用到前面所得到的函数的性质，构造合适的函数，再通过取特殊值的方法进行证明，在证明中还可能用到数列求和的常见方法，对于这种综合题的解法，要在平时要多观察、多尝试，做好相应的训练．‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极轴，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.‎ ‎（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点坐标为，圆与直线交于两点,求的值.‎ ‎【答案】(1)直线的普通方程为：，圆的直角坐标方程为：(2)4.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)结合所给的方程可得：直线的普通方程为：，圆的直角坐标方程为：；‎ ‎(2)联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，结合直线参数方程中参数的几何意义可得：的值是4.‎ 试题解析：‎ ‎（1）消去参数t可得直线的普通方程为：，‎ 极坐标方程即：，则直角坐标方程为：，‎ 据此可得圆的直角坐标方程为：‎ ‎（2）将代入得： ‎ 得，则 ‎ ‎23.已知 ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）设为正数，求证： .‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）把条件平方，利用作差法证明不等式；（2）利用分析法，要证不等式转化为，结合均值不等式，不难证明上述不等式成立.‎ 试题解析：(1），，‎ 则 ‎，当且仅当时取等号，‎ ‎ ‎ ‎(2)要证，需证，即证：，需证， 为正数，由基本不等式，可得，当且仅当时取等号，将以上三个同向不等式相乘得，所以原不等式成立.‎ ‎ ‎