重庆市渝中区巴蜀中学校2020届高三9月月考数学试题

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巴蜀中学 2020 届高考适应性月考（样卷）理科数学 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分,在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 求解分式不等式 可得： ， 求解函数 定义域可得： ， 结合交集的定义可得： . 本题选择 C 选项. 2.“非 p 为假命题”是“p 且 q 是真命题”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也木必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】“非 p 为假命题”，则“p 为真命题”， “p 为真命题”推不出“p 且 q 是真命题”， 但反之，“p 且 q 是真命题”说明 p 和 q 都是真命题， 所以能推出“非 p 为假命题”，故选 B. 考点：本小题主要考查充要条件的判定，考查学生的推理能力. 点评：判定充分条件和必要条件，关键是分清谁是条件谁是结论，另外要注意推理的严谨性. 3.已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，则 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 的 01 xA x x  = ≤ −  { }21B x y x= = − A B = [ ]1,1− [ ]0,1 [ )0,1 ( )0,1 01 x x ≤− { }| 0 1A x x= ≤ < 21y x= − { }| 1 1B x x x= ≥ ≤ −或 [ )0,1A B∩ = 2: 4C y x= F ( )0 ,2 2M x C MF = 由题意可得： ，即 ， 而抛物线 的焦点坐标为 ， 则 . 本题选择 B 选项. 4.已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，则下列正确的是（ ） A. ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 【答案】B 【解析】 逐一考查所给的命题： A．若 ， ，不一定可得 ，该命题错误； B．若 ， ，则 ，该命题正确； C．若 ， ，可能 m∥两平面的交线，不一定 ，该命题错误； D．若 ， ，可能两平面有交线,不一定 ，该命题错误. 本题选择 B 选项. 5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C ( )2 0 02 2 4 , 2x x= × ∴ = ( )2,2 2M 2: 4C y x= ( )1,0F ( ) ( )222 1 2 2 0 3MF = − + − = ,m n , ,α β γ m α∥ n α∥ m n∥ m α⊥ n α⊥ m n∥ m α∥ m β∥ α β∥ α γ⊥ β γ⊥ α β∥ m α∥ n α∥ m n∥ m α⊥ n α⊥ m n∥ m α∥ m β∥ α β∥ α γ⊥ β γ⊥ α β∥ 3 2 − 1− 1 2 【解析】 由题意结合所给的程序框图可得，程序框图输出的结果为： . 本题选择 C 选项. 6.已知直线 是函数 的一条对称轴，则（ ） A. B. 在 上单调递增 C. 由 的图象向左平移 个单位可得到 的图象 D. 由 的图象向左平移 个单位可得到 的图象 【答案】D 【解析】 分析】 由正弦型函数的对称性，我们可以判断出选项 A 错误，由正弦型函数的单调性可以判断出选 项 B 错误，根据正弦型函数的平移变换可以判断出选项 C 错误和选项 D 正确. 【详解】由题意可得： ，据此可得： ，令 k=0 可得： ，选项 A 错误；函数 解析式为： ，若 ，则 ， 函 数 不 具 有 单 调 性 ； 由 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 可 得 到 的函数图象，选项 C 错误；由 的图象向左平 移 个单位可得到 的图象，选项 D 正确. 本题选择 D 选项. 【点睛】本题考查三角函数图象和性质的综合应用，熟练掌握正弦型函数的对称性及平移变 【 的 2 3 1008 1009 1009 1cos cos cos cos cos cos3 3 3 3 3 3 2S  π π π π π π= + + + + + = = 3x π= ( ) ( )2sin 2 2f x x πϕ ϕ = + <   6 π=ϕ ( )f x 0, 2 π     ( )f x 6 π 2sin 2y x= ( )f x 12 π 2sin 2y x= 2 ( )3 2k k Z π πϕ π× + = + ∈ ( )6k k Z πϕ π= − ∈ 6 πϕ = − ( ) 2sin 2 6f x x π = −   0, 2x π ∈   52 ,6 6 6x π π π − ∈ −   ( )f x 6 π 2sin 2 2sin 26 6 6y x x π π π    = + − = +         ( )f x 12 π 2sin 2 2sin 212 6y x x π π  = + − =     换法则是解答本题的关键，属基础题. 7.若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意结合两角和差正切公式有： ，则： 本题选择 A 选项. 8.函数 是定义在 上的奇函数， 是偶函数，且当 时， ，则 （ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 ∵f(x)是奇函数,f(x+1)是偶函数， ∴f(x+1)=f(−x+1),则 f(x+2)=f(−x)=−f(x),即 f(x+2)=−f(x)， ∴f(x+4)=−f(x+2)=f(x)， 则奇函数 f(x)是以 4 为周期 周期函数，的 tan 34 π α + =   2 sin 2 sin sin cos cos2 1 α α α α α =+ − − 4 5 − 4 5 3 5- 3 5 tan tan 14 3, tan 21 tan tan4 π α απ α + = ∴ = − + 2 2 2 2 sin2 sin sin cos cos2 1 2sin cos sin sin cos 2cos 2tan tan tan 2 4.5 α α α α α α α α α α α α α α + − − = + − = + − = − ( )f x R ( )1f x+ 0 1x< ≤ ( ) 2018logf x x= − 12018 2018f  − =   1− 则： . 本题选择 A 选项. 9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】A 【解析】 试题分析：该几何体的直观图如图所示，连接 ，则该几何体由直三棱柱 和四 棱锥 组合而成，其体积为 ．故应选 A． 考点：三视图． 10.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 为异于 的两点， 且 的中点在双曲线 的左支上，点 关于 和 的对称点分别为 ，则 的值为（ ） A. 26 B. C. 52 D. 【答案】D 1 1 1 12018 2 12018 2018 2018 2018f f f f       − = − = − = − =               14 3 16 3 BD ABD EFG− C BDGF− 1 1 4 141 2 2 2 52 3 35 × × × + × × × = 2 2 : 1169 25 x yC − = 1 2F F， M N， 1 2F F， M N， C M 1F 2F A B， NA NB− 26− 52− 【解析】 设 MN 与双曲线的交点为点 P，由几何关系结合三角形中位线可得： ， 则： ， 点 P 位于双曲线的左支，则： . 本题选择 D 选项. 点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点 三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验． (2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上． 11.将某商场某区域的行走路线图抽象为一个 的长方体框架（如图），小红欲从 处行 走至 处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有（ ） A. 360 种 B. 210 种 C. 60 种 D. 30 种 【答案】C 【解析】 根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路； 所以一共要走 3 次向上，2 次向右，2 次向前，一共 7 次； 因为不能连续向上,所以先把不向上的次数排列起来,也就是 2 次向左和 2 次向前全排列 ， 因为 2 次向左是没有顺序的,所以还要除以 ， 同理 2 次向前是没有顺序的,再除以 ， 1 22 , 2NA PF NB PF= = ( )1 22NA NB PF PF− = − ( ) ( )1 22 2 2 4 4 13 52NA NB PF PF a a− = − = × − = − = − × = − 2 2 3× × A B 4 4A 2 2A 2 2A 接下来,就是把 3 次向上插到 4 次不向上之间的空当中 5 个位置排三个元素,也就是 ， 则共有 种； 本题选择 C 选项. 点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事 情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特 殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． (2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组； ②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 12.已知 是定义在 上的可导函数，且满足 ，则（ ） A. B. C. 为减函数 D. 为增函数 【答案】A 【解析】 构造函数 g(x)=x3exf(x)，g′(x)=x2ex[(x+3)f(x)+xf′(x)]， ∵(x+1)f(x)+xf'(x)>0，∴g′(x)=x2ex[(x+1)f(x)+x′(x)]>0， 故函数 g(x)在 R 上单调递增，而 g(0)=0 ∴x>0 时，g(x)=x3exf(x)>0⇒f(x)>0；x<0 时，g(x)=x3exf(x)<0⇒f(x)>0； 在(x+3)f(x)+xf'(x)>0 中取 x=0，得 f(0)>0． 综上，f(x)>0． 本题选择 A 选项. 点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某 些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本 质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性 进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点， 构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这 种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。 3 5C 4 34 52 2 2 2 60A CA A = ( )f x R ( ) ( ) ( )3 0x f x xf x+ ′+ > ( ) 0f x > ( ) 0f x < ( )f x ( )f x 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.如果复数 为实数，则 __________. 【答案】 【解析】 利用复数的运算法则有： ， 满足题意时，虚部 ，解方程可得： . 14.若 ，则 展开式的常数项为__________. 【答案】240 【解析】 由微积分基本定理有： ， 则代数式为： ，其展开式的通项公式为： , 令 可得： ， 即常数项为： . 15.已知 为正实数，则当 __________时 取得最小值. 【答案】1 【解析】 题中所给的代数式即： ， ( )2 i R1 i a a − ∈+ a = 2− ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 1 2 22 1 1 1 2 ai i a a iai i i i − − − − +− = =+ + − 2 02 a +− = 2a = − ln3 0 e dxa x= ∫ 6 2 ax x  −   ( )1 3 ln3 ln3 0 0 0 | 2 n x xa e dx e e e= = = − =∫ 6 2 2x x  −   ( ) ( )62 12 3 1 6 6 2 2 r r rr r r rT C x C xx − − +  = − = −   12 3 0r− = 4r = ( )4 4 62 240C− × = ,m n n m = 9 2 2 m n m n m ++ 9 2 9 92 1 1 2 2 1 1 52 1 2 1 2 m n n n n nm n m m m m m    + = + × + − ≥ × × + − =   +    + × + × 当且仅当 即 时等号成立. 故答案为：1. 16.函数 若 对 恒成立，则 的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 令 ，则 ， ， 即 对 恒成立， 因为 是 R 上的奇函数，也是增函数， 所以 即 ， 令 ，则 ，求其最大 值可得 ，所以 ， 故填 . 点睛：本题综合考查了指数函数的增减性、幂函数的增减性，函数的奇偶性、单调性、恒成 立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题.解决已知函数 奇偶性求解析式中参数问题时，注意特殊值的使用，可以使问题简单迅速求解，但要注意检 验，在处理恒成立问题时，注意利用分离参数求参数的取值范围，注意分离参数后转化为求 函数最值问题. 三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 9 2 1 1 2 n n m m = × + + × 1n m = 31( ) 2017 2017 1.2 x xf x x −+ = + − + (sin cos ) (sin 2 ) 2f f tθ θ θ+ + − < ∀ ∈θ R t ( )2,+∞ 3( ) 2017 2017x xg x x −= + − 31( ) 2017 2017 1 ( ) 12 x xf x x g x−+ = + − + = + ( ) ( ) 1 1 1 1sin cos sin2 (sin cos ) (sin2 )2 2 2 2f f t f f tθ θ θ θ θ θ+ + − = + − + + − − + 1 1(sin cos ) (sin2 ) 2 22 2g g tθ θ θ= + − + − − + < 1 1(sin cos ) (sin2 ) 02 2g g tθ θ θ+ − + − − < Rθ∀ ∈ 3( ) 2017 2017x xg x x −= + − 1 1(sin cos ) ( sin2 )2 2g g tθ θ θ+ − < − + + sin cos sin2 1 tθ θ θ+ + − < sin cos ,( 2 2)m mθ θ+ = − ≤ ≤ 2sin cos sin2 1 2m mθ θ θ+ + − = + − 2 2t > ( 2, )+∞ 17.函数 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求 解析式； （Ⅱ）设 ，求函数 的最小正周期及在区间 上的最小值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ， . 【解析】 试题分析： (Ⅰ)结合题中所给的图形可得： ， ，则 .结合最高点坐标可得 ， 则函数的解析式为 . (Ⅱ)结合(Ⅰ)中求得的函数解析式可得 ，利用最小正周期 公式可得 的最小正周期 ，且当 时， . 试题解析： （Ⅰ）由图象知： ， ， ∴ ，∴ . 又∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ . 的 ( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ 0 0 2A πω ϕ > > <  ， ， ( )f x ( ) ( ) 2sin sin3 6g x f x x x π π   = + − +       ( )g x 0, 2 π     ( ) sin 2 6f x x π + =  π ( )min 1 3 2g x −= 1A = 3 3 4 4T π= 2ω = 6 πϕ = ( ) 2 6f x sin x π = +   ( ) ( )2 3 1 22 4g x sin x π−  = −   ( )g x T π= 0x = ( ) 1 3 2ming x −= 1A = 3 3 4 4T π= 2T π πω= = 2ω = ( )2 2 Z6 2 k k π πϕ π⋅ + = + ∈ ( )2 Z6 k k πϕ π= + ∈ 2 πϕ < 6 πϕ = ∴ . （Ⅱ） ， ∴ 的最小正周期 ， ∵ ，∴ ， ∴当 ，即 时， . 18.我市准备实施天然气价格阶梯制，现提前调查市民对天然气价格阶梯制的态度，随机抽查 了 名市民，现将调查情况整理成了被调查者的频率分布直方图（如图）和赞成者的频数表 如下： 年龄（岁） 赞成人数 ( ) 2 6f x sin x π = +   ( ) 2 26g x sin x π = + +   3 3 2sin x sin x π π π    − − +         2 26 3 3sin x sin x cos x π π π     = + + − −           22 26 3sin x sin x π π   = + + −       3 1 1 32 2 2 22 2 2 2sin x cos x sin x cos x= + − − ( )3 1 2 22 sin x cos x −= − ( )2 3 1 22 4sin x π−  = −   ( )g x 2 2T π π= = 0, 2x π ∈   32 ,4 4 4x π π π − ∈ −   2 4 4x π π− = − 0x = ( ) 1 3 2ming x −= 50 [ )15,25 [ )25,35 [ )35,45 [ )45,55 [ )55,65 [ ]65,75 4 6 9 6 3 4 （1）若从年龄在 ， 的被调查者中各随机选取 人进行调查，求所选取的 人 中至少有 人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率； （2）若从年龄在 ， 的被调查者中各随机选取 人进行调查，记选取的 人中 对天然气价格实施阶梯制持不赞成态度的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望. 【答案】（1） ；（2）分布列见解析， . 【解析】 【分析】 （1）结合频率分布直方图与频数表先得到各组的情况，根据对立事件的性质，将 1 减去所选 取的 人中只有 1 人对天然气价格阶梯制持不赞成态度的概率即可得到结果；（2）判断 的 可能取值，求出每个取值的概率，然后列出分布列，最后求期望即可. 【详解】（1）结合频率分布直方图与频数表可得各组的情况如下： 年龄（岁） 赞成人数 不赞成人数 总人数 故所选取的 人中至少有 人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率为： . （2） 的可能取值为 0，1，2，3， [ )15,25 [ )45,55 2 4 2 [ )15,25 [ )25,35 2 4 X X 71 75 6 5 4 X [ )15,25 [ )25,35 [ )35,45 [ )45,55 [ )55,65 [ ]65,75 4 6 9 6 3 4 1 4 6 4 2 1 5 10 15 10 5 5 4 2 1 1 2 1 4 4 1 2 2 5 10 711 75 C C CP C C = − = X 且 ； ； ； . 的分布列为： . 【点睛】本题考查了随机事件的概率，离散型随机变量的分布列，考查了学生的分析思考能 力以及解决实际问题的应用能力，属于中档题.求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为： 第一步是”判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望 值”. 19.如图，梯形 中， ，矩形 所在的平面与平面 垂直，且 . （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）若 为线段 上一点，直线 与平面 所成的角为 ，求 的最大值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) . 【解析】 试题分析： (Ⅰ)由题意结合几何关系可证得 平面 ，结合面面垂直的判断定理可得平面 2 2 4 6 2 2 5 10 15( 0) 75 C CP X C C = = = 1 1 2 2 1 1 1 4 6 4 4 6 2 2 5 10 34( 1) 75 C C C C C CP X C C += = = 1 1 1 1 2 2 1 4 4 6 4 4 2 2 5 10 22( 2) 75 C C C C C CP X C C += = = 1 1 2 1 4 4 2 2 5 10 4( 3) 75 C C CP X C C = = = X X 0 1 2 3 P 15 75 34 75 22 75 4 75 15 34 22 4 6( ) 0 1 2 375 75 75 75 5E X = × + × + × + × = ABCD AB CD∥ BFED ABCD 1 22AD DC CB BF AB= = = = = ADE ⊥ BFED P EF AD PAB θ θ 3 π AD ⊥ BFED 平面 . (Ⅱ)由题意建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量可得 . 试题解析： （Ⅰ）证明：如图，取 的中点 ，连接 ， 则 ，所以 ，从而四边形 为平行四边形， 所以 ，从而 . 又因为平面 平面 且平面 平面 ， 所以 平面 .又 平面 ， 所以平面 平面 . （Ⅱ）解：由于 是矩形，所以 ， 由（Ⅰ）知： 平面 ， 以 为坐标原点，分别以 为 的正方向建立空间直角坐标系 ， 各点坐标如下： ， ， ， ，设点 ， 平面 的法向量为 ， 则 ， ， 令 ，得平面 的一个法向量为 ， 所以 ， 当 时， ，从而 . ADE ⊥ BFED 3max πθ = AB G DG 1 2CD AB CD BG BCDG 1 2DG BC AB AG BG= = = = AD BD⊥ ABCD ⊥ BFED ABCD ∩ BFED BD= AD ⊥ BFED AD ⊂ ADE ADE ⊥ BFED BFED BD DE⊥ AD ⊥ BFED D , ,DA DB DE   , ,x y z D xyz− ( )0,0,0D ( )2,0,0A ( )0,2 3,0B ( )2,0,0DA = ( )0, ,2P t PAB ( )0 0 0, ,m x y z= ( )2,2 3,0AB = − ( )2, ,2AP t = − 0 0 0 0 0 2 2 3 0, 2 2 0, m AB x y m AP x ty z  ⋅ = − + = ⋅ = − + + =   0 2y = PAB ( )2 3,2,2 3m t= − ,sin cosDA mθ = =  ( )2 4 3 2 16 2 3 t+ − 2 3t = ( ) 3 2maxsinθ = 3max πθ = 点睛：证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直， 找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种 转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键． 20.已知椭圆 的离心率为 ，过点 的椭圆 的两条切线 相互垂直. （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）在椭圆 上是否存在这样的点 ，过点 引抛物线 的两条切线 ，切 点分别为 ，且直线 过点 ？若存在，指出这样的点 有几个（不必求出点的坐 标）；若不存在，请说明理由. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)满足条件的点 有两个. 【解析】 试题分析： (1) 结合椭圆的离心率可求得 ，则椭圆方程为 . (2)由题意首先求得切线方程的参数形式，据此可得直线 的方程为 ，则点 的轨迹方程为 ，原问题转化为直线 与椭圆 的交点个数，即满足条件 的点 有两个. 试题解析： （Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设在 轴上方的切点为 ， 轴下方的切点为 ， 则 ， 的直线方程为 ， 因为椭圆 的离心率为 ， 所以椭圆 ， 2 2 1 2 2: 1x yC a b + = ( )0a b> > 1 2 ( )7,0E 1C 1C 1C P P 2 2 : 4C x y= 1 2,l l ,B C BC ( )1,1A P 2 2 14 3 x y+ = P 1c = 2 2 14 3 x y+ = BC 0 02 xy x y= − P 1 12y x= − 1 12y x= − 1C P x M x N 1NEk = NE 7y x= − 2 2 1 2 2: 1x yC a b + = ( )0a b> > 1 2 2 2 1 2 2: 14 3 x yC c c + = 所以 ，则 ， 所以椭圆方程为 . （Ⅱ）设点 ， ， ， 由 ，即 ，得 ， ∴抛物线 在点 处的切线 的方程为 ， 即 ， ∵ ，∴ . ∵点 在切线 上，∴ .① 同理， .② 综合①、②得，点 ， 的坐标都满足方程 . ∵经过 ， 两点的直线是唯一的， ∴直线 的方程为 ， ∵点 在直线 上，∴ ， ∴点 的轨迹方程为 . 又∵点 在椭圆 上，又在直线 上， ∴直线 经过椭圆 内一点 ， ∴直线 与椭圆 交于两点. ∴满足条件的点 有两个. 21.已知函数 存在两个极值点 ，且 . （Ⅰ）求实数 的取值范围； 2 2 2 2 7, 1,4 3 y x x y c c  = − + = 0∆ = 1c = 2 2 14 3 x y+ = ( )1 1,B x y ( )2 2,C x y ( )0 0,P x y 2 4x y= 21 4y x= 1 2y x′ = 2C B 1l ( )1 1 12 xy y x x− = − 21 1 1 1 2 2 xy x y x= + − 2 1 1 1 4y x= 1 12 xy x y= − ( )0 0,P x y 1l 1 0 0 12 xy x y= − 2 0 0 22 xy x y= − ( )1 1,B x y ( )2 2,C x y 0 02 xy x y= − ( )1 1,B x y ( )2 2,C x y BC 0 02 xy x y= − ( )1,1A BC 0 0 1 12y x= − P 1 12y x= − P 1C 1 12y x= − 1 12y x= − 1C ( )0, 1− 1 12y x= − 1C P ( ) ( )( )2 ln 4 Rf x x a x a= − + ∈ 1 2,x x 1 2x x< a （Ⅱ）若 ，求证： . 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析. 【解析】 试题分析： (Ⅰ)求得函数 的导函数，则原问题转化为 在 内有 2 个不等实 根，利用函数的定义域和二次函数图象的性质可得 . (Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论构造新函数 ，结合 函数的性质二次求导即可证得题中的结论. 试题解析： （Ⅰ）解：由题意： ， ∵ 存在两个极值点 ， ∴关于 的方程 ，即 在 内有 2 个不等实根. 令 ， ， 则 与 的图象有两个不同的交点，结合图象可得 . （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 . 令 ， 则 ， 令 ， 则 ， 21 0x− < < ( )1 29 0f x x+ > ( )8,0a∈ − ( )f x 22 8 0x x a+ − = ( )4,− +∞ ( )8,0a∈ − ( ) ( ) ( )16 8 2 4g x x x ln xx = + + − + − ( )1 0x− < < ( ) ( )2 44 af x x xx = − > −+ ′ ( )f x 1 2,x x x 2 04 ax x − =+ 22 8 0x x a+ − = ( )4,− +∞ ( ) ( )22 8 4s x x x x= + > − ( )t x a= ( )s x ( )t x ( )8,0a∈ − 1 2 1 2 4, 2 x x ax x + = − ⇒ = − ( )1 2 1 2 2 2 4 , 2 2 4 . x x a x x x x = − −  = − = + ( ) ( )2 1 1 1 2 2 4f x x aln x x x − += = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 4 2 4x x x ln x x − − − + − ( ) ( )2 2 2 2 16 8 2 4x x ln xx = + + − + − ( ) ( ) ( )16 8 2 4g x x x ln xx = + + − + − ( )1 0x− < < ( ) ( )2 161 2g x ln xx −′ = − − ( ) 2 1 162 4x x x − + = − − ( )8 1 2ln xx − − − ( ) ( ) ( )2 16 8 1 2F x g x ln xx x = = − − − − −′ ( )1 0x− < < ( ) 3 2 32 8 2F x x x x = + −′ = ( )2 3 2 4 16 0 x x x − − − < ∴ 在 单调递减，从而 ， 即 ， ∴ 在 单调递减，从而 . 即 ，又∵ ，∴ ， 故 . 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知 识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及 命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何 意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知 单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形 结合思想的应用． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清 题号. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 的 极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）. （Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程； （Ⅱ）若动点 分别在曲线 与曲线 上运动，求 的最大值. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ) . 【解析】 试题分析： (Ⅰ)将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程即 ，曲线 的参数方程消 ( )F x ( )1,0− ( ) ( )1 9 0F x F< − = − < ( ) 0g x′ < ( )g x ( )1,0− ( ) ( )1 9g x g< − = − ( )1 2 9f x x < − ( )2 1,0x ∈ − ( )1 29f x x> − ( )1 29 0f x x= > xOy O x 1C 2 114 sin 04 ρ ρ θ− − = 2C 2cos , sin , x y θ θ =  = θ 1C 2C ,P Q 1C 2C PQ max 2 21 3 3 3 2PQ = + 1C ( )22 272 4x y+ − = 2C 去参数可得普通方程即 . (Ⅱ)由题意三角换元可得 ，结合三角函数的性质可知 ，据此可得 . 试题解析： （Ⅰ） 的直角坐标方程为： ，整理为标准型即： ； 消去参数 可得 的普通方程为 . （Ⅱ）∵ （当且仅当 共线，且 位于线段 之间时取等号） 设 ， 则 . ∵ ，∴当 时 ， ∴ . ∴ . 选修 4-5：不等式选讲 23.设函数 的最小值为 ，且 . （Ⅰ）求 及 的值； 2 2 14 x y+ = 2 2 1 2 283 3 3QC sinθ = − + +   2 1 28 3maxQC = 2 21 3 3 3 2maxPQ = + 1C 2 2 114 04x y y+ − − = ( )22 272 4x y+ − = θ 2C 2 2 14 x y+ = 1 1 1 3 3 2PQ QC C P QC≤ + = + 1P Q C， ， 1C PQ ( )2 ,Q cos sinθ θ ( ) ( )2 22 1 2 2QC cos sinθ θ= + − = 2 24 4 4cos sin sinθ θ θ+ − + 23 4 8sin sinθ θ= − − + 22 283 3 3sinθ = − + +   [ ]1,1sinθ ∈ − 2 3sinθ = − 2 1 28 3maxQC = 1 3 3 2PQ QC≤ + 2 21 3 3 3 2 ≤ + 2 21 3 3 3 2maxPQ = + ( ) 2 1 3f x x x= + + − m ( )f a m= m a （Ⅱ）若实数 满足 ，证明： . 【答案】(Ⅰ) ， .(Ⅱ)证明见解析. 【解析】 试题分析： (Ⅰ)利用绝对值不等式的性质可得 ，然后解方程可得 . (Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论，原不等式即 ，利用不等式的性质和均值不等式的结 论即可证得题中的结论. 试题解析： （Ⅰ）∵ ， 当且仅当 即 时， ，∴ ， . （Ⅱ）由（Ⅰ）知： ， ∵ ， ， ∴ ， 即 ，∴ . , ,p q r 2 2 22p q r m+ + = ( ) 2q p r+ ≤ 4m = 1a = − 4m = 1a = − 2 2 22 4p q r+ + = ( ) 2 1 3f x x x= + + − 1 3x x≥ + + − ( ) ( )1 3 4x x≥ + − − = ( )( ) 1 0, 1 3 0, x x x + =  + − ≤ 1x = − ( ) 4minf x = 4m = 1a = − 2 2 22 4p q r+ + = 2 2 2p q pq+ ≥ 2 2 2q r qr+ ≥ 2 2 22 2p q r pq+ + ≥ ( )2 2qr q p r+ = + ( )2 4q p r+ ≤ ( ) 2q p r+ ≤