江苏省苏北地区2019-2020学年高二上学期学情调研数学试题 Word版含解析

江苏省苏北地区2019-2020学年高二上学期学情调研数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2019～2020学年度第一学期学情调研 高二数学试题 本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.‎ ‎3.回答非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，将答案必须写在答题卡指定区域的位置上，写在本试卷上无效.‎ ‎4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设，则“”是“”的（ ）条件．‎ A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 既不充分也不必要 D. 充要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件与必要条件的概念，可直接得出结果.‎ ‎【详解】若，则，所以“”是“”的充分条件；‎ 若，则或，所以“”不是“”的必要条件；‎ 因此，“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎2.若数列的前项分别是、、、，则此数列一个通项公式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 17 -‎ 分析】‎ 设所求数列为，可得出，，，，由此可得出该数列的一个通项公式.‎ ‎【详解】设所求数列为，可得出，，，，‎ 因此，该数列的一个通项公式为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎3.在等差数列中，若，，则等差数列的公差（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可解出的值.‎ ‎【详解】由题意可得，即，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列公差的计算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.已知等比数列中，，公比，则（ ）‎ A. 1 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的通项公式可得结果》‎ ‎【详解】由数列是等比数列，所以 则，又，‎ - 17 -‎ 所以 故选：B ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式，属基础题.‎ ‎5.已知，，则最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数解析式变形为，利用基本不等式可求出的最小值.‎ ‎【详解】，则，由基本不等式得，‎ 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6.已知命题，，如果命题是命题的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出命题q中的不等式，根据题中条件得出两集合的包含关系，可得出关于实数的不等式，解出即可.‎ ‎【详解】解不等式，即，解得或.‎ 命题是命题的充分不必要条件，或，.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ - 17 -‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系来求解，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.‎ ‎7.在等比数列中，，，则（ ）‎ A. 或 B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为，根据题意建立和的方程组，即可求出的值.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，由题意可得，解得或，因此，或.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，根据题意建立有关首项和公比的方程组是解答的关键，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎8.设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可判断选项的对错．‎ ‎【详解】选项中，若，错；‎ 选项中，因为，所以，即，正确；‎ 选项中，，错；‎ - 17 -‎ 选项中，，错；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.‎ ‎9.我国古代用诗歌的形式提出一个数列问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共有三百八十一，试问塔顶几盏灯？”，请问塔顶一共（ ）盏灯.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设塔顶有盏灯，由等比数列的求和公式可得，解方程即可.‎ ‎【详解】由题设知七层塔中，各层塔上灯的个数成等比数列，且公比为，‎ 设塔顶有盏灯，则，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的前项和的应用，从实际问题中抽象出数列问题是解决本题的关键，属基础题．‎ ‎10.观察下列一组数据 ‎…‎ 则从左到右第一个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 17 -‎ ‎【分析】‎ 先计算前行数字的个数，进而可得从左到右第一个数．‎ ‎【详解】由题意可知，可表示为个连续的奇数相加，从到共有个奇数，‎ 所以从左到右第一个数是第个奇数，第个奇数为，‎ 所以第个奇数为．‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎11.等差数列中，为它的前项和，若，，，则当（ ）时，最大.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的前项和公式与项的性质，得出且，由此求出数列的前项和最大时的值．‎ ‎【详解】等差数列中，前项和为，且，，‎ 即，，‎ ‎，所以，，则，‎ 因此，当时，最大.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质和前项和最值问题，考查等差数列基本性质的应用，是中等题．‎ - 17 -‎ ‎12.设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值.‎ 详解】，，‎ 设，‎ 则，‎ 两式相加得，因此，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.命题“，.”的否定是______.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果.‎ ‎【详解】命题为特称命题，则命题的否定为“，”.‎ 故答案为：，.‎ ‎【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ - 17 -‎ ‎14.不等式对于任意的实数恒成立，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出，即可解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由于不等式对于任意的实数恒成立，则，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题是二次不等式恒成立问题，一般结合首项系数和判别式来分析，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.‎ ‎15.数列满足，且，则数列的前项和为___________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵，∴，，…，累加可得：，∴，故，故数列的前项和为，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查了累加法求数列的通项公式，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.‎ - 17 -‎ ‎16.已知正数、满足，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出，将所求代数式变形为，利用基本不等式求出的最小值，即可得出的最大值.‎ ‎【详解】正数、满足，.‎ ‎，‎ 由基本不等式得，即，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ ‎，因此，的最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查基本不等式的性质、变形方法，考查了推理能力与计算能力，属于中等题．‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.解下列不等式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ - 17 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）原不等式可化为，然后按一元二次不等式的解法解出即可；‎ ‎（2）原不等式可化为，等价变形为，解此不等式组即可.‎ ‎【详解】（1）原不等式可化为，解得，所以原不等式的解集；‎ ‎（2）原不等式可化为，等价于，解得或.‎ 所以原不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式和分式不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎18.已知等差数列前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求证：数列是等差数列.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，利用已知条件列出方程组求解数列的首项与公差，即可得到数列的通项公式；‎ ‎（2）求出等差数列的前项和，化简，然后利用定义可证明出数列是等差数列.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，‎ ‎；‎ ‎（2），，‎ - 17 -‎ 从而（常数），所以数列是等差数列.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用定义证明等差数列，考查计算能力与推理能力，属于基础题.‎ ‎19.已知数列的前项和为，.‎ ‎（1）求的通项公式 ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先计算出，然后由求出，再看是否与相符，相符就是一个表达式，不相符就用分段函数形式表示；‎ ‎（2）用错位相减法求数列的前项和．‎ ‎【详解】（1）由得：，因为，解得 ‎ 由知，‎ 两式相减得 因为，所以，即 因此是首项为，公比为的等比数列 所以 ‎ ‎（2）由（1）知，所以数列前项和为：‎ ‎ …① ‎ 则 …② ‎ ‎②-①得 ‎ ‎ ‎ - 17 -‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查已知前项和和的关系求数列的通项公式，考查用错位相减法求数列的和．在已知和的关系求数列的通项公式时，要注意与后面的（）的求法是不相同的，即中，而．‎ ‎20.某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．‎ ‎（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；‎ ‎（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？‎ ‎【答案】（1）（2）100千件 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，分，两种情况，分别求出函数解析式，即可求出结果；‎ ‎（2）根据（1）中结果，根据二次函数性质，以及基本不等式，分别求出最值即可，属于常考题型.‎ ‎【详解】解（1）因为每件商品售价为0.05万元，则千件商品销售额为万元，依题意得：‎ 当时，． ‎ 当时，‎ - 17 -‎ ‎ ‎ 所以 ‎（2）当时，．‎ 此时，当时，取得最大值万元．‎ 当时，‎ ‎．‎ 此时，即时，取得最大值1050万元． ‎ 由于，‎ 答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，‎ 最大利润为1050万元 ‎【点睛】本题主要考查分段函数模型的应用，二次函数求最值，以及根据基本不等式求最值的问题，属于常考题型.‎ ‎21.设函数.‎ ‎（1）若不等式的解集为，求、的值；‎ ‎（2）若，求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知，与是方程的两根，利用一元二次方程根与系数的关系可求出、的值；‎ ‎（2）由，将所求不等式变形为，然后对 - 17 -‎ 进行分类讨论，并比较与的大小关系，即可得出不等式的解集.‎ ‎【详解】（1）由不等式的解集为，‎ 可知方程的两根为和，且，‎ 由根与系数的关系可得，解得；‎ ‎（2）当，不等式即，‎ 即.‎ ‎①时，不等式可化为，，所以或；‎ ‎②时，原不等式可化为.‎ 当时，，所以；‎ 当时，原不等式可化为，所以；‎ 当时，，所以.‎ 综上：当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，含参数的一元二次不等式的解法，注意分类讨论的思想方法的运用，属于中档题．‎ ‎22.已知数列的前n项和为，且满足，数列中，‎ - 17 -‎ ‎，对任意正整数，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，请求出实数及公比q的值，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）求数列前n项和.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）存在，， ‎ ‎（3）（）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据与的关系即可求出；‎ ‎（2）假设存在实数，利用等比数列的定义列式，与题目条件，比较对应项系数即可求出，即说明存在这样的实数；‎ ‎（3）由（2）可以求出，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 当时，；‎ 当时，． ‎ 故；‎ - 17 -‎ ‎（2）假设存在实数，使得数列是等比数列，数列中，，‎ 对任意正整数，可得，且，‎ 由假设可得，即，‎ 则，可得，‎ 可得存在实数，使得数列是公比的等比数列；‎ ‎（3）由（2）可得，则，‎ 则前n项和 当n为偶数时，‎ 当n为奇数时，‎ 则（）．‎ ‎【点睛】本题主要考查与的关系的应用，等比数列定义的应用，以及分组求和法和分类讨论法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．‎ - 17 -‎ - 17 -‎